Quando l’intuizione sbaglia: Esercizi pratici sul Teorema di Bayes

Il nostro cervello è una macchina meravigliosa, ma ha un difetto di fabbrica: è pessimo a calcolare le probabilità. Se senti dire che un test medico è accurato al 99%, il tuo istinto ti dice che un risultato positivo è una certezza quasi assoluta. La matematica, invece, potrebbe dirti che hai appena il 10% di probabilità di essere davvero malato.

Non è magia nera, è il Teorema di Bayes.

In statistica, i numeri non servono solo a riempire fogli di calcolo, ma a correggere questi errori di valutazione che facciamo ogni giorno. Che tu stia preparando un esame universitario o voglia semplicemente capire come funzionano gli algoritmi che decidono cosa vedi sui social, questi cinque esercizi ti mostreranno come ragionare “al contrario”: partire dall’effetto per risalire alla vera causa.

Mettiamo da parte le formule teoriche per un attimo e sporchiamoci le mani con i dati.

Esercizio 1 – Livello: Facile (Introduzione)

Un laboratorio analizza una malattia rara che colpisce l’1% della popolazione. Il test per diagnosticarla ha una sensibilità del 95% (se hai la malattia, il test è positivo con prob. 0.95) e una specificità del 90% (se non hai la malattia, il test è negativo con prob. 0.90).

Se una persona risulta positiva al test, qual è la probabilità che abbia realmente la malattia?

• A) circa 8,8%
• B) circa 52,3%
• C) circa 95%
• D) circa 1%

Risposta corretta: A) circa 8,8%

Passaggi risolutivi:

Definiamo gli eventi:

• [math]M[/math]: “la persona ha la malattia” [math]\rightarrow P(M) = 0,01[/math]
• [math]\overline{M}[/math]: “non ha la malattia” [math]\rightarrow P(\overline{M}) = 0,99[/math]
• [math]T^{+}[/math]: “test positivo”

Dati:

• Sensibilità: [math]P(T^{+} | M) = 0,95[/math]
• Specificità: [math]P(T^{-} | \overline{M}) = 0,90 \rightarrow P(T^{+} | \overline{M}) = 1 – 0,90 = 0,10[/math] (falsi positivi)

Usiamo il teorema di Bayes:

Calcoliamo [math]P(T^{+})[/math] con la formula delle probabilità totali:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(T^{+}) &= P(T^{+} | M)P(M) + P(T^{+} | \overline{M})P(\overline{M}) \\
P(T^{+}) &= (0,95 \cdot 0,01) + (0,10 \cdot 0,99) \\
P(T^{+}) &= 0,0095 + 0,099 = 0,1085
\end{aligned}[/math]

Applico Bayes:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(M | T^{+}) &= \frac{0,0095}{0,1085} \approx 0,0876 \\
&{} \quad \text{(che corrisponde a circa 8,8%)}
\end{aligned}[/math]

Perché questo è importante oggi?

Durante le pandemie o gli screening di massa, capire questo concetto evita il panico ingiustificato. Se testiamo milioni di persone sane, anche un test ottimo produrrà migliaia di falsi allarmi, intasando gli ospedali con persone sane ma “positive”. È il motivo per cui i medici fanno un secondo test di conferma (vedi Esercizio 4).

Domanda di riflessione finale:

Quale proprietà hai usato per calcolare [math]P(T^{+})[/math]?

Ho usato la formula delle probabilità totali, scomponendo lo spazio campionario negli eventi [math]M[/math] e [math]\overline{M}[/math], che formano una partizione dell’universo.

Esercizio 2 – Livello: Facile (Doppia partizione)

In una scuola, il 60% degli studenti sono ragazze. Il 70% delle ragazze preferisce la matematica, mentre solo il 40% dei ragazzi la preferisce. Se viene scelto a caso uno studente che preferisce la matematica, qual è la probabilità che sia una ragazza?

• A) 63,6%
• B) 72,4%
• C) 58,3%
• D) 70,0%

Risposta corretta: B) 72,4%

Passaggi:

Definiamo gli eventi:

• [math]F[/math]: “è una ragazza” [math]\rightarrow P(F) = 0,6[/math]
• [math]M[/math]: “è un ragazzo” [math]\rightarrow P(M) = 0,4[/math]
• [math]L[/math]: “preferisce la matematica”

Dati:

• [math]P(L | F) = 0,7[/math]
• [math]P(L | M) = 0,4[/math]

Calcoliamo le probabilità totali di [math]L[/math]:

Applichiamo il teorema di Bayes:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(F | L) &= \frac{P(L | F) \cdot P(F)}{P(L)} \\
P(F | L) &= \frac{0,42}{0,58} \approx 0,724 \\
&{} \quad \text{(che corrisponde al 72,4%)}
\end{aligned}[/math]

L’Algoritmo Sessista.

Immagina che questo calcolo lo faccia un’IA per selezionare CV. Se l’IA vede che “più donne preferiscono la matematica” solo perché ci sono più donne nel database, potrebbe discriminare un candidato maschio molto valido. La statistica descrive la realtà, ma se usata male dagli algoritmi, rischia di cristallizzare i pregiudizi esistenti.

Domanda di riflessione:

Che tipo di partizione dello spazio campionario abbiamo usato?

Una partizione in due eventi complementari (ragazze/ragazzi), esaustivi e mutualmente esclusivi.

Esercizio 3 – Livello: Medio (Tre gruppi)

Un’azienda ha tre linee di produzione (A, B, C) che realizzano rispettivamente il 50%, 30% e 20% del totale dei pezzi. Le percentuali di pezzi difettosi sono: 2% per A, 3% per B, 5% per C.

Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che provenga dalla linea B?

• A) 28,6%
• B) 31,0%
• C) 33,3%
• D) 36,4%

Risposta corretta: B) 31,0%

Passaggi:

Definiamo le probabilità a priori delle linee:

• [math]P(A) = 0,5[/math]
• [math]P(B) = 0,3[/math]
• [math]P(C) = 0,2[/math]

Definiamo l’evento [math]D[/math]: “pezzo difettoso” e le relative probabilità condizionate:

• [math]P(D | A) = 0,02[/math]
• [math]P(D | B) = 0,03[/math]
• [math]P(D | C) = 0,05[/math]

Calcoliamo la probabilità totale di [math]D[/math]:

Applichiamo il teorema di Bayes per la linea B:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(B | D) &= \frac{P(D | B) \cdot P(B)}{P(D)} \\
P(B | D) &= \frac{0,009}{0,029} \approx 0,3103 \\
&{} \quad \text{(che corrisponde al 31,0%)}
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione:

Come si generalizza la formula delle probabilità totali con più di due ipotesi?

[math]\displaystyle P(D) = \sum_{i} P(D | H_i)P(H_i)[/math] per [math]H_1, H_2, \dots[/math] che formano una partizione dello spazio campionario.

Esercizio 4 – Livello: Medio (Test consecutivi)

Un test per una malattia ha sensibilità 0,98 e specificità 0,95. La prevalenza della malattia è 0,005. Se una persona risulta positiva, si fa un secondo test, indipendente dal primo (stesse caratteristiche). Se risulta positiva anche al secondo, qual è la probabilità che abbia la malattia?

• A) circa 55%
• B) circa 67%
• C) circa 78%
• D) circa 84%

Risposta corretta: B) circa 67% (Calcolo esatto: 65,8%)

Passaggi risolutivi:

Inizialmente, consideriamo il primo test positivo:

• [math]P(M) = 0,005[/math]
• [math]P(T^{+} | M) = 0,98[/math]
• [math]P(T^{+} | \overline{M}) = 0,05[/math] (falsi positivi)

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(T_1^{+}) &= 0,98 \cdot 0,005 + 0,05 \cdot 0,995 = 0,05465 \\
P(M | T_1^{+}) &= \frac{0,98 \cdot 0,005}{0,05465} \approx 0,0897
\end{aligned}[/math]

Ora, per calcolare l’effetto del secondo test, il metodo più rapido consiste nell’usare l’indipendenza condizionale (i test sono indipendenti dato lo stato di salute). La probabilità di ottenere due positivi è:

• Probabilità di doppio positivo se malato: [math]P(pos \cap pos | M) = 0,98^2 = 0,9604[/math]
• Probabilità di doppio positivo se sano: [math]P(pos \cap pos | \overline{M}) = 0,05^2 = 0,0025[/math]

Calcoliamo la nuova probabilità totale per il doppio positivo:

Applichiamo il teorema di Bayes per il risultato finale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(M | pos \cap pos) &= \frac{0,004802}{0,0072895} \approx 0,6587 \\
&{} \quad \text{(che corrisponde a circa 65,8%)}
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione:

Perché non si può semplicemente applicare Bayes due volte separatamente?

In realtà si può, a patto di utilizzare il risultato del primo test come nuova probabilità a priori per il secondo calcolo. I due metodi (aggiornamento sequenziale o calcolo diretto della probabilità congiunta) portano esattamente allo stesso risultato matematico.

Esercizio 5 – Livello: Medio (Probabilità dei sintomi)

Un medico sa che l’influenza (I) provoca febbre (F) nell’80% dei casi, mentre un’altra virosi (V) provoca febbre nel 40% dei casi. Nella stagione, il 70% dei pazienti con questi sintomi ha l’influenza, il 30% l’altra virosi.

Se un paziente non ha febbre, qual è la probabilità che abbia l’altra virosi?

• A) 50%
• B) 60%
• C) 56,25%
• D) 72,7%

Risposta corretta: C) 56,25%

Passaggi risolutivi:

Definiamo le probabilità a priori (prevalenza tra i pazienti sintomatici):

• [math]P(I) = 0,7[/math]
• [math]P(V) = 0,3[/math]

Definiamo le probabilità condizionate per l’assenza di febbre ([math]\overline{F}[/math]):

• [math]P(F | I) = 0,8 \rightarrow P(\overline{F} | I) = 0,2[/math]
• [math]P(F | V) = 0,4 \rightarrow P(\overline{F} | V) = 0,6[/math]

Calcoliamo la probabilità totale di non avere la febbre [math]P(\overline{F})[/math]:

Applichiamo il teorema di Bayes per trovare la probabilità di avere l’altra virosi data l’assenza di febbre:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(V | \overline{F}) &= \frac{P(\overline{F} | V) \cdot P(V)}{P(\overline{F})} \\
P(V | \overline{F}) &= \frac{0,18}{0,32} = 0,5625 \\
&{} \quad \text{(ovvero il 56,25%)}
\end{aligned}[/math]