Esercizio 1: Il Fornitore Sconosciuto (Livello Facile)

Testo

La tua azienda, LogiTech Srl, sta valutando due nuovi potenziali fornitori di componenti elettronici: Alpha e Beta. Da dati di settore, sai che la probabilità che un fornitore sia “affidabile” (cioè con un tasso di difetti < 1%) è del 60%. Inoltre, per i fornitori affidabili, la probabilità di superare un controllo qualità a campione è del 95%, mentre per quelli non affidabili è solo del 40%.

Scegli un fornitore a caso e sottoponi i suoi componenti a un controllo qualità: supera il test.

Qual è la probabilità che il fornitore scelto sia affidabile?

Risoluzione

Dati del problema

[math]P(A)=0.60[/math] – Probabilità a priori che un fornitore sia affidabile

[math]P(\bar{A})=0.40[/math] – Probabilità a priori che un fornitore NON sia affidabile

[math]P(S|A)=0.95[/math] – Probabilità di superare il test se il fornitore è affidabile

[math]P(S|\bar{A})=0.40[/math] – Probabilità di superare il test se il fornitore NON è affidabile

[math]S[/math] = Evento “supera il test”

Passo 1: Calcolo della probabilità totale di superare il test

Per il teorema della probabilità totale:

[math]\displaystyle P(S)=P(S|A)\cdot P(A)+P(S|\bar{A})\cdot P(\bar{A})[/math]

[math]\displaystyle P(S)=0.95\cdot 0.60+0.40\cdot 0.40=0.57+0.16=0.73[/math]

Passo 2: Applicazione del Teorema di Bayes

[math]\displaystyle P(A|S)=\frac{P(S|A)\cdot P(A)}{P(S)}=\frac{0.95\cdot 0.60}{0.73}=\frac{0.57}{0.73}\approx 0.7808[/math]

Risultato: La probabilità che il fornitore sia affidabile, dato che ha superato il test, è circa 78.08%.

💡 Osservazioni strategiche

• La probabilità a posteriori (78.08%) è maggiore della probabilità a priori (60%) perché il test fornisce un’evidenza positiva.
• La differenza è moderata perché il test non è perfetto: c’è un 40% di falsi positivi tra i fornitori non affidabili.
• In produzione, questo calcolo potrebbe essere implementato come una funzione che aggiorna automaticamente la fiducia in un fornitore dopo ogni controllo.

❓ Domanda di riflessione

Quale proprietà del Teorema di Bayes hai utilizzato per combinare le probabilità dei due scenari (affidabile e non affidabile) al denominatore?

Esercizio 2: Due Fornitori a Confronto (Livello Medio-Facile)

Testo

LogiTech Srl ha ora due fornitori in prova: Gamma e Delta. Dalle valutazioni iniziali:

• Gamma: proviene da un settore con alta affidabilità. Probabilità a priori di essere affidabile = 85%.
• Delta: proviene da un settore con bassa affidabilità. Probabilità a priori di essere affidabile = 35%.

Entrambi i fornitori vengono sottoposti a un test di qualità. I test hanno caratteristiche diverse:

Entrambi i fornitori superano il test.

Quale fornitore è più probabile che sia affidabile? Calcola le probabilità a posteriori per entrambi.

Risoluzione

Fornitore Gamma

Dati:

[math]P(A_G)=0.85[/math], [math]P(\bar{A}_G)=0.15[/math]

[math]P(S_G|A_G)=0.98[/math], [math]P(S_G|\bar{A}_G)=0.15[/math]

Passo 1: Probabilità totale di superare il test per Gamma

[math]\displaystyle P(S_G)=0.98\cdot 0.85+0.15\cdot 0.15=0.833+0.0225=0.8555[/math]

Passo 2: Teorema di Bayes per Gamma

[math]\displaystyle P(A_G|S_G)=\frac{0.98\cdot 0.85}{0.8555}=\frac{0.833}{0.8555}\approx 0.9737[/math]

Fornitore Delta

Dati:

[math]P(A_D)=0.35[/math], [math]P(\bar{A}_D)=0.65[/math]

[math]P(S_D|A_D)=0.90[/math], [math]P(S_D|\bar{A}_D)=0.25[/math]

Passo 1: Probabilità totale di superare il test per Delta

[math]\displaystyle P(S_D)=0.90\cdot 0.35+0.25\cdot 0.65=0.315+0.1625=0.4775[/math]

Passo 2: Teorema di Bayes per Delta

[math]\displaystyle P(A_D|S_D)=\frac{0.90\cdot 0.35}{0.4775}=\frac{0.315}{0.4775}\approx 0.6597[/math]

Confronto

Risultato: Gamma rimane più probabile come fornitore affidabile (97.37% vs 65.97%).

💡 Osservazioni strategiche

• La probabilità a posteriori di Delta è quasi raddoppiata (da 35% a 66%) grazie al test positivo, ma rimane inferiore a quella di Gamma.
• Questo esempio mostra come il Teorema di Bayes permetta di combinare in modo ottimale:
  • Conoscenza pregressa (prior) sul settore di provenienza
  • Evidenza empirica (likelihood) dal test
• In un sistema di production-ready, si potrebbe implementare un punteggio di fiducia che si aggiorna dopo ogni lotto di prodotti ricevuto.

❓ Domanda di riflessione

Cosa succederebbe se per Delta il test avesse un tasso di falso positivo molto più basso (es. 5% invece di 25%)? Cambierebbe la decisione finale?

Esercizio 3: Il Test Imperfetto con Più Risultati (Livello Medio)

Testo

L’azienda EcoPack valuta i fornitori di imballaggi sostenibili. Un fornitore può essere in tre stati:

• A: Alta qualità (tasso di difetti < 0.5%)
• M: Media qualità (tasso di difetti tra 0.5% e 2%)
• B: Bassa qualità (tasso di difetti > 2%)

Le probabilità a priori sono:

[math]P(A)=0.50[/math], [math]P(M)=0.30[/math], [math]P(B)=0.20[/math]

Un test di qualità può dare tre esiti:

• Verde (supera con eccellenza)
• Giallo (supera con riserva)
• Rosso (non supera)

Le probabilità condizionate sono:

Un fornitore viene testato e ottiene esito Giallo.

Calcola le probabilità a posteriori per i tre stati.

Risoluzione

Passo 1: Calcolo della probabilità totale di ottenere Giallo

[math]\displaystyle P(Giallo)=P(Giallo|A)\cdot P(A)+P(Giallo|M)\cdot P(M)+P(Giallo|B)\cdot P(B)[/math]

[math]\displaystyle P(Giallo)=0.15\cdot 0.50+0.50\cdot 0.30+0.30\cdot 0.20=0.075+0.15+0.06=0.285[/math]

Passo 2: Applicazione del Teorema di Bayes per ogni stato

Per A:

[math]\displaystyle P(A|Giallo)=\frac{0.15\cdot 0.50}{0.285}=\frac{0.075}{0.285}\approx 0.2632[/math]

Per M:

[math]\displaystyle P(M|Giallo)=\frac{0.50\cdot 0.30}{0.285}=\frac{0.15}{0.285}\approx 0.5263[/math]

Per B:

[math]\displaystyle P(B|Giallo)=\frac{0.30\cdot 0.20}{0.285}=\frac{0.06}{0.285}\approx 0.2105[/math]

Verifica: somma = 1

[math]0.2632+0.5263+0.2105=1.0000[/math]

Tabella riassuntiva

💡 Osservazioni strategiche

• L’esito “Giallo” ha ridotto la probabilità di A (da 50% a 26.3%) e aumentato quella di M (da 30% a 52.6%).
• Questo è un esempio di classificazione bayesiana con più di due classi.
• In un sistema reale, si potrebbe assegnare un “punteggio di rischio” basato sulla probabilità a posteriori e decidere se accettare, ispezionare ulteriormente o rifiutare il lotto.

❓ Domanda di riflessione

Perché la somma delle probabilità a posteriori è sempre 1? Quale proprietà fondamentale della probabilità garantisce questo risultato?

Esercizio 4: Aggiornamento Sequenziale (Livello Medio-Difficile)

Testo

GreenEnergy riceve componenti dal fornitore Zeta. Sulla base di esperienze pregresse, la probabilità che Zeta sia affidabile è del 70%.

Vengono eseguiti due test indipendenti in sequenza:

• Test 1: probabilità di superarlo se affidabile = 90%, se non affidabile = 30%. Zeta lo supera.
• Test 2: probabilità di superarlo se affidabile = 85%, se non affidabile = 20%. Zeta lo supera anche.

Qual è la probabilità che Zeta sia affidabile dopo entrambi i test?

Risoluzione

Metodo 1: Aggiornamento sequenziale

Dopo il Test 1:

[math]\displaystyle P(S_1)=0.90\cdot 0.70+0.30\cdot 0.30=0.63+0.09=0.72[/math]

[math]\displaystyle P(A|S_1)=\frac{0.90\cdot 0.70}{0.72}=\frac{0.63}{0.72}=0.875[/math]

Dopo il Test 2 (usando la posterior del Test 1 come nuova prior):

[math]\displaystyle P(S_2|S_1)=0.85\cdot 0.875+0.20\cdot 0.125=0.74375+0.025=0.76875[/math]

[math]\displaystyle P(A|S_1\cap S_2)=\frac{0.85\cdot 0.875}{0.76875}=\frac{0.74375}{0.76875}\approx 0.9675[/math]

Metodo 2: Unico aggiornamento (con indipendenza)

Per test indipendenti condizionatamente allo stato:

[math]P(S_1\cap S_2|A)=0.90\cdot 0.85=0.765[/math]

[math]P(S_1\cap S_2|\bar{A})=0.30\cdot 0.20=0.06[/math]

[math]\displaystyle P(S_1\cap S_2)=0.765\cdot 0.70+0.06\cdot 0.30=0.5355+0.018=0.5535[/math]

[math]\displaystyle P(A|S_1\cap S_2)=\frac{0.765\cdot 0.70}{0.5535}=\frac{0.5355}{0.5535}\approx 0.9675[/math]

Risultato: La probabilità che Zeta sia affidabile dopo due test positivi è 96.75%.

💡 Osservazioni strategiche

• L’aggiornamento sequenziale è equivalente all’aggiornamento unico se i test sono indipendenti condizionatamente allo stato.
• In produzione, l’approccio sequenziale è più flessibile: permette di fermarsi dopo ogni test e di integrare nuovi test in tempo reale.
• Attenzione: l’indipendenza condizionata è un’assunzione forte. In realtà, test simili potrebbero avere errori correlati.

Grafico dell’evoluzione della probabilità

Probabilità di affidabilità
    100% |                                         ● (96.75%)
     95% |                                    ●
     90% |                               ●
     85% |                          ●
     80% |                     ●
     75% |                ●
     70% |           ● (prior)
         +-----------------------------------------
            Prima   Dopo T1   Dopo T2

❓ Domanda di riflessione

Perché il risultato è lo stesso nei due metodi? Quale proprietà del Teorema di Bayes viene utilizzata nell’aggiornamento sequenziale?

Esercizio 6: Rete Bayesiana Completa (Livello Esperto)

Testo

SmartChain gestisce una rete di fornitori. La qualità di un fornitore dipende da due fattori latenti:

• Tecnologia ([math]T[/math]): all’avanguardia (A) o obsoleta (O), con prior [math]P(T=A)=0.40[/math]
• Controllo qualità interno ([math]C[/math]): rigoroso (R) o lasco (L), con prior [math]P(C=R)=0.70[/math]

La probabilità che un fornitore sia affidabile ([math]A_f[/math]) dipende da [math]T[/math] e [math]C[/math] secondo questa tabella:

Un fornitore viene testato e risulta affidabile (supera tutti i controlli).

Calcola:

1. La probabilità a posteriori che il fornitore abbia tecnologia all’avanguardia
2. La probabilità a posteriori che abbia controllo qualità rigoroso
3. La probabilità congiunta a posteriori per tutte e 4 le combinazioni

Risoluzione

Passo 1: Definizione della struttura bayesiana

Abbiamo una rete con:

• [math]T[/math] e [math]C[/math] come nodi padre (indipendenti a priori)
• [math]A_f[/math] come nodo figlio (dipende da [math]T[/math] e [math]C[/math])

La probabilità congiunta a priori è:

[math]P(T,C,A_f)=P(A_f|T,C)\cdot P(T)\cdot P(C)[/math]

Passo 2: Calcolo delle probabilità congiunte a priori

Passo 3: Calcolo della probabilità totale di essere affidabile

[math]\displaystyle P(A_f)=\sum_{T,C} P(T,C,A_f)=0.6200[/math]

Passo 4: Probabilità a posteriori congiunte

[math]\displaystyle P(T,C|A_f)=\frac{P(T,C,A_f)}{P(A_f)}[/math]

Passo 5: Probabilità marginali a posteriori

Tecnologia all’avanguardia:

[math]\displaystyle P(T=A|A_f)=P(T=A,C=R|A_f)+P(T=A,C=L|A_f)=0.4290+0.1355=0.5645[/math]

Controllo rigoroso:

[math]\displaystyle P(C=R|A_f)=P(T=A,C=R|A_f)+P(T=O,C=R|A_f)=0.4290+0.4065=0.8355[/math]

Risultati finali

• [math]P(T=A|A_f)=56.45\%[/math]
• [math]P(C=R|A_f)=83.55\%[/math]
• Tabella congiunta a posteriori (già calcolata sopra)

💡 Osservazioni strategiche

• La probabilità di tecnologia all’avanguardia è aumentata da 40% a 56.45% (evidenza positiva).
• La probabilità di controllo rigoroso è aumentata da 70% a 83.55%.
• La combinazione più probabile a posteriori è “All’avanguardia e Rigoroso” (42.9%).
• In un sistema di production-ready, questa rete potrebbe essere estesa con più nodi (costi, tempi di consegna, sostenibilità) e aggiornata con dati in tempo reale.

Diagramma della Rete Bayesiana

❓ Domanda di riflessione

Quale sarebbe l’impatto sulla probabilità a posteriori di [math]P(T=A|A_f)[/math] se la prior di [math]P(T=A)[/math] fosse 0.70 invece di 0.40? E se l’evidenza fosse “non affidabile” invece di “affidabile”?

suppliers = {
    "Alpha": {
        "prior": 0.80,
        "p_s_a": 0.95,
        "p_s_na": 0.10,
        "cost": 105
    },
    "Beta": {
        "prior": 0.55,
        "p_s_a": 0.90,
        "p_s_na": 0.15,
        "cost": 90
    },
    "Gamma": {
        "prior": 0.40,
        "p_s_a": 0.85,
        "p_s_na": 0.20,
        "cost": 75
    }
}

failure_cost = 400

for name, s in suppliers.items():

    p_s = (
        s["p_s_a"] * s["prior"]
        + s["p_s_na"] * (1 - s["prior"])
    )

    posterior = (
        s["p_s_a"] * s["prior"]
        / p_s
    )

    failure_probability = 1 - posterior

    expected_cost = (
        s["cost"]
        + failure_probability * failure_cost
    )

    print(
        name,
        f"Posterior = {posterior:.2%}",
        f"Rischio = {failure_probability:.2%}",
        f"Expected Cost = €{expected_cost:.2f}"
    )

Alpha Posterior = 97.44% Rischio = 2.56% Expected Cost = €115.26
Beta Posterior = 88.00% Rischio = 12.00% Expected Cost = €138.00
Gamma Posterior = 73.91% Rischio = 26.09% Expected Cost = €179.35

posterior = (
    s["p_s_a"] * s["prior"]
    / p_s
)

failure_probability = 1 - posterior

expected_cost = (
    s["cost"]
    + failure_probability * failure_cost
)

def evaluate_supplier(
    prior,
    p_s_a,
    p_s_na,
    purchase_cost,
    failure_cost
):
    """
    Valuta un fornitore usando un aggiornamento bayesiano
    e calcola il costo atteso.
    """

    p_s = (
        p_s_a * prior
        + p_s_na * (1 - prior)
    )

    posterior = (
        p_s_a * prior
        / p_s
    )

    failure_probability = 1 - posterior

    expected_cost = (
        purchase_cost
        + failure_probability * failure_cost
    )

    return {
        "posterior": posterior,
        "failure_probability": failure_probability,
        "expected_cost": expected_cost
    }

result = evaluate_supplier(
    prior=0.80,
    p_s_a=0.95,
    p_s_na=0.10,
    purchase_cost=105,
    failure_cost=400
)

print(result)

import pandas as pd

results = []

for name, s in suppliers.items():

    result = evaluate_supplier(
        prior=s["prior"],
        p_s_a=s["p_s_a"],
        p_s_na=s["p_s_na"],
        purchase_cost=s["cost"],
        failure_cost=failure_cost
    )

    results.append({
        "Fornitore": name,
        "Prior": s["prior"],
        "Posterior": result["posterior"],
        "Rischio": result["failure_probability"],
        "Costo acquisto": s["cost"],
        "Costo atteso": result["expected_cost"]
    })

df = pd.DataFrame(results)

df.sort_values("Costo atteso")

failure_costs = [50, 100, 150, 200, 300, 400, 500]

for cost in failure_costs:

    print(f"\nCosto fallimento: €{cost}")

    for name, s in suppliers.items():

        result = evaluate_supplier(
            prior=s["prior"],
            p_s_a=s["p_s_a"],
            p_s_na=s["p_s_na"],
            purchase_cost=s["cost"],
            failure_cost=cost
        )

        print(
            name,
            f"€{result['expected_cost']:.2f}"
        )

Costo fallimento: €50
Alpha €106.28
Beta €96.00
Gamma €88.04

Costo fallimento: €100
Alpha €107.56
Beta €102.00
Gamma €101.09

Costo fallimento: €150
Alpha €108.85
Beta €108.00
Gamma €114.13

Costo fallimento: €200
Alpha €110.13
Beta €114.00
Gamma €127.17

Costo fallimento: €300
Alpha €112.69
Beta €126.00
Gamma €153.26

Costo fallimento: €400
Alpha €115.26
Beta €138.00
Gamma €179.35

Costo fallimento: €500
Alpha €117.82
Beta €150.00
Gamma €205.43

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. Definizione dei dati
suppliers = {
    "Alpha": {"prior": 0.80, "p_s_a": 0.95, "p_s_na": 0.10, "cost": 105},
    "Beta":  {"prior": 0.55, "p_s_a": 0.90, "p_s_na": 0.15, "cost": 90},
    "Gamma": {"prior": 0.40, "p_s_a": 0.85, "p_s_na": 0.20, "cost": 75}
}

# 2. Funzione di valutazione (con Type Hinting)
def evaluate_supplier(prior: float, p_s_a: float, p_s_na: float, 
                      purchase_cost: float, failure_cost: float) -> dict:
    
    p_s = (p_s_a * prior) + (p_s_na * (1 - prior))
    posterior = (p_s_a * prior) / p_s
    failure_probability = 1 - posterior
    expected_cost = purchase_cost + (failure_probability * failure_cost)
    
    return {
        "posterior": posterior,
        "failure_probability": failure_probability,
        "expected_cost": expected_cost
    }

# 3. Costruzione del DataFrame per l'analisi di sensitività
failure_costs = range(0, 501, 10)  # Intervallo più granulare (da 0 a 500, step 10)
sensitivity_data = []

for cost in failure_costs:
    for name, s in suppliers.items():
        res = evaluate_supplier(s["prior"], s["p_s_a"], s["p_s_na"], s["cost"], cost)
        sensitivity_data.append({
            "Failure Cost": cost,
            "Supplier": name,
            "Expected Cost": res["expected_cost"]
        })

df_sensitivity = pd.DataFrame(sensitivity_data)

# Pivot per facilitare il plotting: righe=Failure Cost, colonne=Supplier
df_plot = df_sensitivity.pivot(index="Failure Cost", columns="Supplier", values="Expected Cost")

# 4. Generazione del Grafico
plt.figure(figsize=(10, 6))

# Plot delle linee per ogni fornitore
plt.plot(df_plot.index, df_plot['Gamma'], label='Gamma (Basso costo base, Alto Rischio)', color='#e74c3c', linewidth=2.5)
plt.plot(df_plot.index, df_plot['Beta'], label='Beta (Opzione Intermedia)', color='#f39c12', linewidth=2.5)
plt.plot(df_plot.index, df_plot['Alpha'], label='Alpha (Alto costo base, Basso Rischio)', color='#2ecc71', linewidth=2.5)

# Personalizzazione del grafico
plt.title('Analisi di Sensitività: Costo Atteso vs Costo di Fallimento', fontsize=14, pad=15)
plt.xlabel('Costo di Fallimento Stimato (€)', fontsize=12)
plt.ylabel('Costo Atteso Totale (€)', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend(title="Fornitori", fontsize=10)

# Aggiunta di un marker per evidenziare visivamente l'area di break-even
plt.axvline(x=120, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.text(125, 80, 'Area di Break-Even\n(Cambio scelta ottimale)', color='gray', fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()