Esercizio 1
Si stima che il 30% degli adulti negli Stati Uniti siano obesi, che il 3% siano diabetici e che il 2% siano sia obesi che diabetici. Determina la probabilità che un individuo scelto casualmente
1. sia diabetico se è obeso;
2. sia obeso se è diabetico
Soluzione
Indichiamo con O e D i seguenti eventi:
O=”un individuo scelto casualmente sia obeso”;
D=”un individuo scelto casualmente sia di diabetico”.
Il testo ci dice che P(O) = 0.30, P(D) = 0.03 e P(O ∩ D) = 0.02.
1. Il quesito chiede la probabilità che il soggetto sia diabetico dato che è obeso, ossia P(D|O);
applicando la regola della probabilità condizionata si ha:
2. Il quesito chiede la probabilità che il soggetto sia obeso dato che è diabetico, ossia P(O|D);
applicando la regola della probabilità condizionata si ha
Esercizio 2
Un costruttore viene fornito per gli stessi tipi di pezzi per l’80% dalla ditta A e per il restante 20% dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato è stato notato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli della ditta B lo erano nella misura del 9%.
Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da B?
Soluzione
Indicando con D l’evento “pezzo difettoso”, si ha:
P(D | A) = 0,05 P(A) = 0,8
P(D | B) = 0,09 P(B) =0,2
Si può quindi determinare la probabilità che avendo estratto a caso un pezzo difettoso, questo sia stato fornito dalla ditta B applicando il teorema di Bayes:
Esercizio 3
Un laboratorio ha messo a punto un etilometro in base al quale il 3% delle persone controllate dalla polizia è risultato essere in stato di ebbrezza.
Inoltre, in base all’esperienza si è constatato che nel 95% dei casi l‘etilometro ha dato esito positivo quando una persona era effettivamente ubriaca, mentre ha dato nel 98% dei casi esito negativo quando le persone non erano in stato di ebbrezza.
Date le caratteristiche del test, determinare la probabilità che una persona sia realmente in stato di ebbrezza quando l’etilometro dà risultato positivo.
Soluzione
Indicando con E l’evento “in stato di ebbrezza” e con E l’evento “non in stato di ebbrezza”, con + “test positivo” e con – “test negativo”,
si ha:
Applicando il teorema di Bayes, la probabilità che una person controllata dalla polizia sia in stato di ebbrezza, dato che il test è risultato positivo,
è data da:
Esercizio 4
A un esame universitario si presentano sia studenti che hanno seguito il corso sia studenti che non l’hanno seguito. Il docente ritiene che il 65% degli studenti abbiano seguito il corso. La probabilità che uno studente superi l’esame dato che ha seguito il corso è 0.75, mentre la probabilità che uno studente superi l’esame dato che non ha seguito il corso è 0.40.
• Qual è la probabilità che uno studente superi l’esame?
• Qual è la probabilità che uno studente abbia seguito il corso dato che ha superato l’esame?
Soluzione
Indichiamo con A e B gli eventi:
A=”lo studente supera l’esame”;
B=”lo studente ha seguito il corso”
1.
Dall’informazione fornita dal docente ”il 65% degli studenti hanno seguito il corso”, approssimando la probabilità con la frequenza relativa,
si ha P(B) = 0.65
e applicando il primo teorema del calcolo delle probabilità si ottiene:
P(B ) = 1 − P(B) = 1 − 0.65 = 0.35
e inoltre P(A|B) = 0.75 e P(A|B) = 0.40.
L’evento A può essere rappresentato come l’unione di due eventi incompatibili
A = (A ∩ B)∪(A ∩ B);
pertanto
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
dove
• P(A ∩ B) = P(A|B) ∗ P(B) = 0.75 ∗ 0.65 = 0.4875
• P(A ∩ B) = P(A|B) ∗ P(B) = 0.40 ∗ 0.35 = 0.1400
Pertanto
P(A) = 0.4875 + 0.1400 = 0.6275
2.
La probabilità richiesta è
