Esercizio 1

Ad una certa conferenza, partecipano 30 psichiatri e 24 psicologi. Due di queste 54 persone vengono scelte casualmente per fare parte di una commissione.
Qual è la probabilità che venga scelto almeno uno psicologo?

Soluzione

Siano A e B gli eventi
A=”il soggetto scelto `e uno psicologo”
B=”il soggetto scelto `e uno psichiatra”
Vogliamo calcolare la probabilità che su 2 soggetti estratti almeno uno sia uno psicologo.

Possiamo adottare 2 possibili strategie.

Strategia 1:

l’evento ”estraggo almeno 1 psicologo” è complementare all’evento ”non estraggo alcun psicologo”. Pertanto

Pr(”almeno 1 sia uno psicologo”)=1-Pr(”nessuno psicologo”)=1-Pr(”2 psichiatra”).

Sia B1 l’evento ”seleziono uno psichiatra alla prima selezione” e B2 l’evento ”seleziono uno psichiatra alla seconda selezione”.

La probabilità richiesta è pertanto pari a :

Strategia 2:

equivalentemente questa probabilità poteva essere calcolata come probabilità dell’unione dei seguenti eventi:

poichè

Esercizio 2

Su un tavolo ci sono 2 monete. Quando vengono lanciate, una moneta dà testa con probabilità 0.5 mentre l’altra dà testa con probabilità 0.6.

Una moneta viene scelta a caso e lanciata.
1. Qual è la probabilità che esca testa?
2. Se esce croce, qual è la probabilità che fosse la moneta equilibrata?

Soluzione

👉Capire il Teorema di Bayes passo a passo

Siano
M₁=la moneta scelta è la moneta 1
M₂=la moneta scelta è la moneta 2
Il testo afferma che P(T|M₁) = 0.5 e P(T|M₂) = 0.6.

1.

P(T) = P(T|M₁)P(M1) +P(T|M₂)P(M₂) = 0.5 ∗ 0.5 + 0.5 ∗ 0.6 = 0.55

2.

Si vuole calcolare la probabilità che essendo uscita croce sia stata estratta la moneta 1;

applicando il teorema di Bayes

Esercizio 3

Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50% suona il pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. Applicando i concetti di probabilità condizionata e il teorema di Bayes, rispondere alle seguenti domande.
1. Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza?
2. Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista?

Soluzione

Siano:
A = Aspiranti compositori alla prima esperienza
B = Pianisti
C = Violinisti
D = Chitarristi
abbiamo:

Per quanto riguarda il secondo quesito abbiamo:

👉Esercizi Svolti di Probabilità per Esame: Teorema di Bayes, Variabili Casuali e Probabilità Condizionata

👉Teorema di Bayes: Applicazione Iterativa nella Diagnostica di Macchinari Industriali

Esercizio 4 

Un esame del sangue riconosce una certa malattia nel 99% dei casi quando essa è in atto. Tuttavia, l’esame fornisce un falso positivo (esito positivo quando la malattia non è in atto) nel 2% dei pazienti. Supponiamo che 0.5% della popolazione abbia la malattia.

Quale è la probabilità che una persona scelta a caso abbia effettivamente la malattia se il test è positivo?

Soluzione

Indichiamo rispettivamente con D ed E gli eventi
D = un soggetto estratto casualmente ha la malattia
E= il test è positivo
Il testo ci dice che il test è affidabile al 99%, ossia fornisce un esito positivo quando il soggetto è effettivamente malato. Ciò significa che

P(E|D) = 0.99

Tuttavia, l’esame fornisce un falso positivo nel 2% dei casi, ossia

P(E|D^c) = 0.02

Sapendo che P(D)=0.005, per determinare P(D|E) possiamo utilizzare il Teorema di Bayes come segue:

Risulta quindi che una persona scelta a caso che ottiene risultato positivo al test ha una probabilità del 20% di avere effettivamente la malattia.
I calcoli precedentemente svolti ci dicono anche che la probabilità che il test dia un risultato positivo è

P(E) = P(E|D)P(D) + P(E|D^c)P(D^c) =0.99 · 0.005 + 0.02 · 0.995 = 0.02485

e quindi la probabilità che il test dia un risultato negativo è

P(E^c) = 1 − 0.02485 = 0.97515.

La probabilità che una persona scelta a caso che ottiene un risultato negativo al test sia di fatto malata è

che è un numero confortante.

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