La varianza
Definizione
Si definisce varianza della variabile aleatoria X la quantità:
dove µ è il valor medio di X.
Lo scarto quadratico medio
Definizione
La radice quadrata non negativa
E’ detta scarto quadratico medio o deviazione standard di X.
La varianza (o la deviazione standard) è una misura della dispersione dei valori della variabile aleatoria X attorno al valor medio µ.
Se i valori sono concentrati vicino alla media, la varianza è piccola, mentre se i valori sono dispersi lontano dal valor medio, la varianza è grande.
Il grafico sottostante illustra la situazione nel caso di due densità di probabilità continue aventi lo stesso valor medio µ e varianza diversa.
Varianza e scarto quadratico medio − Caso discreto
Sia data una variabile aleatoria discreta X, i cui valori possibili sono x1 ,x2 ,…,xn , con probabilità rispettivamente f(x1),f(x1),…..,f(xn).
Definizione
Si definisce varianza della variabile aleatoria discreta X, avente valor medio µ, la quantità:
La varianza può anche essere calcolata con la seguente formula alternativa:
Definizione
Si definisce deviazione standard o scarto quadratico medio della variabile aleatoria discreta X, avente valor medio µ, la quantità:
Esempio
Trovare la varianza della variabile aleatoria X definita come il numero di teste ottenute con tre lanci successivi di una moneta.
Soluzione
Calcoliamo il valor medio µ di X:
I casi possibili sono 23= 8.
Per la varianza, con la
si ha:
Esempio
Trovare la varianza della variabile aleatoria X definita come la somma dei punti ottenuti con il lancio di due dadi.
Soluzione
Calcoliamo il valor medio µ di X:
Per la varianza, utilizzando la formula alternativa, si ha:
Esempio
Sia data la funzione:
a − Trovare il valore della costante k∈R in modo che la funzione sia una distribuzione di probabilità discreta.
b − Calcolare il valor medio e la varianza della variabile aleatoria discreta avente la distribuzione di probabilità f (x) .
Soluzione
a)
Deve essere:
Rappresentiamo la distribuzione di probabilità sotto forma di tabella:
b)
Valor medio:
Varianza:
