Nel settore assicurativo non si vendono beni materiali, ma si valutano e si prezzano rischi. Ogni polizza rappresenta una promessa economica fondata sulla probabilità che un determinato evento futuro si verifichi e sul costo atteso che tale evento potrebbe generare. In questo contesto, differenze apparentemente trascurabili nelle stime probabilistiche possono tradursi in impatti economici significativi, influenzando la redditività di un intero portafoglio assicurativo.
Valutare correttamente il rischio, tuttavia, è molto meno intuitivo di quanto sembri. L’intuizione umana tende infatti a commettere errori sistematici quando deve ragionare con probabilità condizionate: la fallacia del tasso di base porta a sottovalutare la frequenza reale degli eventi; la sensibilità di un test diagnostico viene spesso confusa con la probabilità che un individuo sia realmente malato; fenomeni come la selezione avversa possono alterare in modo sottile la composizione di un portafoglio clienti, introducendo correlazioni che non sono immediatamente visibili.
È proprio per affrontare queste situazioni che il Teorema di Bayes rappresenta uno degli strumenti fondamentali della statistica moderna. Oltre a essere largamente impiegato nella medicina diagnostica, trova applicazione nell’underwriting assicurativo, nella rilevazione delle frodi, nel credit scoring, nei sistemi di raccomandazione e in numerosi algoritmi di machine learning, dove consente di aggiornare razionalmente una stima iniziale alla luce di nuove informazioni.
In questo articolo affronteremo tre casi studio di difficoltà crescente, ispirati a scenari realistici del settore assicurativo. Analizzeremo il problema dei falsi allarmi, vedremo come combinare più evidenze statistiche attraverso il Teorema di Bayes e studieremo come le dipendenze tra variabili possano influenzare le decisioni di pricing e di gestione del rischio. Ogni esercizio sarà risolto dettagliatamente, con l’obiettivo non solo di arrivare al risultato numerico, ma soprattutto di comprendere il ragionamento probabilistico che guida le decisioni in ambito attuariale e nella moderna data science.
Esercizio 1: Il terremoto e il sistema di allarme (Livello Medio-Difficile)
Testo
Un’assicurazione contro i catastrofi naturali sta valutando un sistema di allarme sismico. Il sistema può dare due segnali: Allarme (A) o Nessun Allarme (N).
La probabilità che si verifichi un terremoto in un anno è
[math]P(T)=0.02[/math]. La probabilità che un terremoto generi un allarme è
[math]P(A \mid T)=0.98[/math]. Tuttavia, il sistema può anche attivarsi per cause naturali (scosse di assestamento, traffico pesante) quando non c’è un terremoto, con probabilità
[math]P(A \mid \bar{T})=0.03[/math].
Domanda 1: Se scatta l’allarme, qual è la probabilità che ci sia effettivamente un terremoto?
Domanda 2: Se non scatta l’allarme, qual è la probabilità che ci sia comunque un terremoto (falso negativo)?
Risoluzione
Parte 1: Calcolo di [math]P(T \mid A)[/math]
- Dati noti[math]P(T)=0.02, \quad P(\bar{T})=0.98[/math][math]P(A \mid T)=0.98[/math] (Sensibilità)[math]P(A \mid \bar{T})=0.03[/math] (Tasso di falso allarme)
- Calcolare [math]P(A)[/math] (Probabilità totale dell’allarme)[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(A) &= P(A \mid T) \cdot P(T) + P(A \mid \bar{T}) \cdot P(\bar{T}) \\
&= (0.98 \cdot 0.02) + (0.03 \cdot 0.98) \\
&= 0.0196 + 0.0294 \\
&= 0.049
\end{aligned}
[/math] - Applicare il Teorema di Bayes[math]\displaystyle
P(T \mid A) = \frac{P(A \mid T) \cdot P(T)}{P(A)} = \frac{0.0196}{0.049} = 0.4
[/math]
Risultato 1: Se scatta l’allarme, c’è il 40% di probabilità che sia effettivamente un terremoto.
Parte 2: Calcolo di [math]P(T \mid \bar{A})[/math] (Terremoto senza allarme)
- Dati per il caso “nessun allarme”[math]P(\bar{A} \mid T) = 1 – P(A \mid T) = 1 – 0.98 = 0.02[/math] (Tasso di falso negativo)[math]P(\bar{A} \mid \bar{T}) = 1 – P(A \mid \bar{T}) = 1 – 0.03 = 0.97[/math] (Specificità)
- Calcolare [math]P(\bar{A})[/math] (Probabilità totale di nessun allarme)[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(\bar{A}) &= P(\bar{A} \mid T) \cdot P(T) + P(\bar{A} \mid \bar{T}) \cdot P(\bar{T}) \\
&= (0.02 \cdot 0.02) + (0.97 \cdot 0.98) \\
&= 0.0004 + 0.9506 \\
&= 0.951
\end{aligned}
[/math] - Applicare il Teorema di Bayes[math]\displaystyle
P(T \mid \bar{A}) = \frac{P(\bar{A} \mid T) \cdot P(T)}{P(\bar{A})} = \frac{0.0004}{0.951} \approx 0.00042
[/math]
Risultato 2: Se non scatta l’allarme, la probabilità che ci sia un terremoto è dello 0.042%, cioè circa 1 su 2,400.
💡 Osservazione:
L’esercizio evidenzia il dilemma del falso negativo. L’allarme ha una bassa probabilità di mancare un terremoto (solo il 2%), ma siccome i terremoti sono rari, la maggior parte degli allarmi (60%) sono falsi. Tuttavia, la probabilità che un terremoto avvenga senza allarme è estremamente ridotta, rendendo il sistema molto utile per la rassicurazione della popolazione, anche se non perfetto per la previsione positiva.
Mini-Quiz (Riflessione)
- Quale probabilità è più alta: [math]P(T \mid A)[/math] o [math]P(A \mid T)[/math]? Perché?
- Come si definisce il valore [math]P(\bar{A} \mid \bar{T})[/math] e perché è importante per l’assicuratore?
Esercizio 2: La polizza sanitaria e il rischio di malattia rara (Livello Difficile)
Testo
Un’assicurazione sanitaria copre una malattia rara che colpisce lo 0.5% della popolazione ([math]P(M)=0.005[/math]). Esiste un test genetico per identificare i portatori sani (che hanno una predisposizione) e i malati.
L’assicurazione ha a disposizione due indicatori:
- Test Genetico (G): positivo nel 99% dei malati e nel 2% dei sani.
- Familiarità (F): presente nel 70% dei malati e nel 5% dei sani.
Un candidato, Anna, risulta positiva al test genetico ([math]G+[/math]) e ha familiarità per la malattia ([math]F[/math]).
Domanda: Qual è la probabilità che Anna sia effettivamente malata?
Risoluzione
- Definire le ipotesi e le probabilità condizionateIpotesi: [math]M[/math] (Malata) e [math]\bar{M}[/math] (Sana).[math]P(M)=0.005, \quad P(\bar{M})=0.995[/math].Evidenza: [math]G+[/math] (test positivo) e [math]F[/math] (familiarità). Sono due evidenze indipendenti condizionatamente all’ipotesi di essere malata o sana.
Probabilità condizionate:
- Se Malata ([math]M[/math]):[math]P(G+ \mid M)=0.99[/math][math]P(F \mid M)=0.70[/math]
- Se Sana ([math]\bar{M}[/math]):[math]P(G+ \mid \bar{M})=0.02[/math][math]P(F \mid \bar{M})=0.05[/math]
- Assunzione di indipendenza condizionataPoiché i due indicatori dipendono solo dallo stato di salute, e non l’uno dall’altro, possiamo assumere che siano indipendenti dato lo stato di salute. Questo è fondamentale per calcolare la verosimiglianza congiunta.[math]P(G+ \cap F \mid M) = P(G+ \mid M) \cdot P(F \mid M) = 0.99 \cdot 0.70 = 0.693[/math][math]P(G+ \cap F \mid \bar{M}) = P(G+ \mid \bar{M}) \cdot P(F \mid \bar{M}) = 0.02 \cdot 0.05 = 0.001[/math]
- Applicare il Teorema di Bayes (versione con evidenze multiple)[math]\displaystyle
P(M \mid G+ \cap F) = \frac{P(G+ \cap F \mid M) \cdot P(M)}{P(G+ \cap F \mid M) \cdot P(M) + P(G+ \cap F \mid \bar{M}) \cdot P(\bar{M})}
[/math] - Sostituire e calcolareNumeratore: [math]0.693 \cdot 0.005 = 0.003465[/math]Denominatore (Probabilità Totale dell’evidenza congiunta):[math]P(G+ \cap F) = (0.693 \cdot 0.005) + (0.001 \cdot 0.995) = 0.003465 + 0.000995 = 0.00446[/math]
Calcolo finale:
[math]\displaystyle
P(M \mid G+ \cap F) = \frac{0.003465}{0.00446} \approx 0.777
[/math]
Risultato: La probabilità che Anna sia malata, avendo entrambi gli indicatori positivi, è circa del 77.7%.
💡 Osservazione: Questo esercizio mostra come combinare più fonti di informazione (fusion delle evidenze) per ottenere una stima più accurata. La probabilità a priori era dello 0.5%. Dopo il solo test genetico sarebbe stata [math]\frac{0.99 \cdot 0.005}{0.99 \cdot 0.005 + 0.02 \cdot 0.995} \approx 19.9\%[/math]. Aggiungendo la familiarità, la probabilità sale al 77.7%. La combinazione di evidenze è un potente strumento di underwriting.
Mini-Quiz (Riflessione)
- Perché abbiamo moltiplicato le probabilità [math]P(G+ \mid M)[/math] e [math]P(F \mid M)[/math]? Quale assunzione abbiamo fatto?
- Quale dei due indicatori è più “potente” in questo caso? Perché?
Esercizio 3: La Selezione Avversa e il Portafoglio Clienti (Livello Avanzato)
Testo
Un’operatrice di assicurazione auto gestisce un portafoglio di 10.000 clienti. L’ufficio attuariale sospetta l’esistenza di un fenomeno di selezione avversa: gli assicurati che scelgono di sottoscrivere la garanzia opzionale “Furto e Incendio” tendono ad avere un profilo di rischio comportamentale intrinsecamente più elevato anche nella guida stradale.
Dall’analisi dei dati storici di portafoglio emergono le seguenti evidenze:
- Sottoscrizione polizza: Il 30% dei clienti acquista la garanzia opzionale Furto ([math]F[/math]).
- Rischio di furto ([math]S_F[/math]): La probabilità di subire un furto nell’arco dell’anno varia significativamente in base alla copertura:
- Tra chi possiede la polizza Furto: [math]P(S_F \mid F) = 0.08[/math]
- Tra chi non la possiede: [math]P(S_F \mid \bar{F}) = 0.03[/math]
- Correlazione con le collisioni ([math]S_C[/math]): La probabilità di subire un incidente per collisione nell’anno non è indipendente dagli eventi di furto. Il tasso di collisione è infatti del 15% tra i clienti che hanno subito un furto ([math]P(S_C \mid S_F) = 0.15[/math]), mentre scende al 4% tra chi non ha subito furti ([math]P(S_C \mid \bar{S_F}) = 0.04[/math]).
Assunzione tecnica: Si assuma che, condizionatamente al verificarsi o meno di un furto, la probabilità di collisione sia indipendente dal possesso formale della polizza (ovvero [math]P(S_C \mid S_F \cap F) = P(S_C \mid S_F)[/math] e analogamente per chi non ha la polizza).
Domanda 1: Se un cliente ha sottoscritto la polizza Furto ([math]F[/math]), qual è la probabilità che subisca almeno un sinistro (che sia un furto, una collisione o entrambi) durante l’anno?
Domanda 2: Se un cliente denuncia un sinistro per collisione ([math]S_C[/math]), qual è la probabilità che quel cliente possieda anche la garanzia opzionale Furto?
Risoluzione
Formalizzazione degli Eventi e Notazione
Per evitare ambiguità, traduciamo le informazioni testuali in simboli probabilistici:
| Evento | Simbolo | Probabilità A Priori / Condizionata |
|---|---|---|
| Cliente con polizza Furto | [math]F[/math] | [math]P(F) = 0.30 \implies P(\bar{F}) = 0.70[/math] |
| Sinistro per Furto | [math]S_F[/math] | [math]P(S_F \mid F) = 0.08 \implies P(\bar{S_F} \mid F) = 0.92[/math] |
| Sinistro per Furto (senza polizza) | [math]S_F[/math] | [math]P(S_F \mid \bar{F}) = 0.03 \implies P(\bar{S_F} \mid \bar{F}) = 0.97[/math] |
| Collisione dato un Furto | [math]S_C \mid S_F[/math] | [math]P(S_C \mid S_F) = 0.15[/math] |
| Collisione dato nessun Furto | [math]S_C \mid \bar{S_F}[/math] | [math]P(S_C \mid \bar{S_F}) = 0.04[/math] |
Parte 1: Calcolo della Probabilità di Almeno un Sinistro per gli Assicurati Furto
Dobbiamo calcolare la probabilità dell’unione degli eventi condizionatamente al possesso della polizza, ovvero [math]P(S_F \cup S_C \mid F)[/math].
Passaggio 1: Calcolare il tasso di collisione per chi ha la polizza, [math]P(S_C \mid F)[/math]
Poiché il rischio di collisione varia in base all’aver subito o meno un furto, applichiamo il Teorema della Probabilità Totale all’interno del sottogruppo dei possessori di polizza ([math]F[/math]):
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_C \mid F) &= P(S_C \mid S_F \cap F) \cdot P(S_F \mid F) \\
&\quad + P(S_C \mid \bar{S_F} \cap F) \cdot P(\bar{S_F} \mid F)
\end{aligned}
[/math]
Sfruttando l’assunzione di indipendenza condizionata ([math]P(S_C \mid S_F \cap F) = P(S_C \mid S_F)[/math]), sostituiamo i valori numerici:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_C \mid F) &= (0.15 \cdot 0.08) + (0.04 \cdot 0.92) \\
&= 0.0120 + 0.0368 \\
&= 0.0488
\end{aligned}
[/math]
Un cliente che acquista la garanzia Furto ha quindi una probabilità del 4.88% di subire una collisione stradale.
Passaggio 2: Calcolare la probabilità di subire entrambi i sinistri, [math]P(S_F \cap S_C \mid F)[/math]
Per calcolare l’unione di due eventi non mutuamente esclusivi, ci serve la probabilità della loro intersezione (subire sia furto che collisione nello stesso anno):
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_F \cap S_C \mid F) &= P(S_C \mid S_F \cap F) \cdot P(S_F \mid F) \\
&= 0.15 \cdot 0.08 \\
&= 0.0120
\end{aligned}
[/math]
Esiste quindi l’1.20% di probabilità che un assicurato accumuli entrambe le tipologie di danno.
Passaggio 3: Applicare la regola dell’unione condizionata
Ora possiamo combinare i pezzi usando il principio di inclusione-esclusione per evitare di contare due volte chi subisce entrambi i sinistri:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_F \cup S_C \mid F) &= P(S_F \mid F) + P(S_C \mid F) \\
&\quad – P(S_F \cap S_C \mid F) \\
&= 0.08 + 0.0488 – 0.0120 \\
&= 0.1168
\end{aligned}
[/math]
Risultato 1: Se un cliente sottoscrive la polizza Furto, ha una probabilità dell’11.68% di subire almeno un sinistro nell’anno.
Parte 2: Calcolo della Probabilità A Posteriori di Avere la Polizza Furto, [math]P(F \mid S_C)[/math]
L’ufficio attuariale vuole sapere se un incidente per collisione deve allertare riguardo al profilo complessivo del cliente. Usiamo il Teorema di Bayes:
[math]\displaystyle
P(F \mid S_C) = \frac{P(S_C \mid F) \cdot P(F)}{P(S_C)}
[/math]
Il numeratore è già in nostro possesso: sappiamo che [math]P(S_C \mid F) = 0.0488[/math] e che [math]P(F) = 0.30[/math]. Ci resta da calcolare la probabilità totale di collisione nel portafoglio, [math]P(S_C)[/math].
Passaggio 1: Calcolare il tasso di collisione per i NON possessori di polizza, [math]P(S_C \mid \bar{F})[/math]
Eseguiamo un calcolo analogo a quello del Passaggio 1, ma applicato al restante 70% della clientela ([math]\bar{F}[/math]):
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_C \mid \bar{F}) &= P(S_C \mid S_F \cap \bar{F}) \cdot P(S_F \mid \bar{F}) \\
&\quad + P(S_C \mid \bar{S_F} \cap \bar{F}) \cdot P(\bar{S_F} \mid \bar{F}) \\
&= (0.15 \cdot 0.03) + (0.04 \cdot 0.97) \\
&= 0.0045 + 0.0388 \\
&= 0.0433
\end{aligned}
[/math]
I clienti senza polizza furto hanno una probabilità di collisione inferiore, pari al 4.33%.
Passaggio 2: Calcolare la probabilità marginale di collisione, [math]P(S_C)[/math]
Pesiamo i due tassi di collisione rispetto al peso delle due categorie nel portafoglio clienti:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
P(S_C) &= P(S_C \mid F) \cdot P(F) + P(S_C \mid \bar{F}) \cdot P(\bar{F}) \\
&= (0.0488 \cdot 0.30) + (0.0433 \cdot 0.70) \\
&= 0.01464 + 0.03031 \\
&= 0.04495
\end{aligned}
[/math]
In tutto il portafoglio dell’assicurazione, il tasso medio di collisione si attesta al 4.495%.
Passaggio 3: Applicare il Teorema di Bayes
Inseriamo i dati per scoprire la probabilità a posteriori che un incidentato abbia la polizza Furto:
[math]\displaystyle
P(F \mid S_C) = \frac{0.01464}{0.04495} \approx 0.3257
[/math]
Risultato 2: La probabilità che un cliente che ha appena causato o subito una collisione possieda anche la garanzia opzionale Furto è del 32.57%.
Perché Questo Risultato è Importante?
Questo esercizio modella una situazione realistica di selezione avversa e dipendenza statistica tra feature (Feature Dependency):
- Il Segnale Nascosto (Proxy Variable): A priori, sappiamo che solo il 30% del portafoglio possiede la garanzia Furto ([math]P(F)=30\%[/math]). Se analizziamo il sottoinsieme di chi ha avuto incidenti stradali, la percentuale di possessori della garanzia sale al 32.57%. Questo dimostra matematicamente che l’acquisto della garanzia opzionale non è indipendente dallo stile di guida: chi compra protezione contro il furto vive o agisce in contesti (es. parcheggi in strada non custoditi, zone ad alto traffico) che incrementano anche il rischio di urto stradale.
- Implicazioni per il Machine Learning: Nei modelli moderni di tariffazione (come i Generalized Linear Models o la Gradient Boosted Trees), le variabili non possono essere trattate a compartimenti stagni. Un Data Scientist che prezza la Responsabilità Civile Auto (RCA) deve includere la flag “Possesso Garanzia Furto” tra le feature di addestramento della RCA. Ignorare questa dipendenza inter-garanzia porterebbe a sottostimare il premio RCA per i clienti polizza-furto di un margine sottile ma fatale sulla scala dei 10.000 clienti, erodendo la redditività tecnica del ramo.
Mini-Quiz (Riflessione)
- Perché [math]P(S_F \cup S_C \mid F)[/math] è diverso da [math]P(S_F \mid F) + P(S_C \mid F)[/math]?
- Quali implicazioni ha questo risultato per il pricing di una polizza che include sia Furto che Collisione?
Risposte ai Mini-Quiz
Risposte Esercizio 1
- [math]P(T \mid A) = 40\%[/math] è molto minore di [math]P(A \mid T) = 98\%[/math]. La prima è la probabilità che dato un allarme ci sia un terremoto. La seconda è la probabilità che dato un terremoto scatti l’allarme. Poiché i terremoti sono rari, la maggior parte degli allarmi è falsa, rendendo [math]P(T \mid A)[/math] bassa nonostante l’alta sensibilità.
- [math]P(\bar{A} \mid \bar{T}) = 97\%[/math] è la specificità del sistema, ovvero la probabilità che il sistema non dia allarme quando non c’è un terremoto. Per l’assicuratore è importantissima perché un’alta specificità riduce i costi operativi (falsi allarmi) e, soprattutto, evita di generare panico ingiustificato, proteggendo la reputazione e la credibilità dell’istituto.
Risposte Esercizio 2
- Abbiamo moltiplicato [math]P(G+ \mid M)[/math] e [math]P(F \mid M)[/math] perché abbiamo assunto che i due indicatori siano indipendenti condizionatamente allo stato di salute [math]M[/math]. Questo significa che, sapendo che Anna è malata, l’esito del test genetico non fornisce ulteriori informazioni sulla presenza di familiarità. Questa è un’assunzione semplificativa comune, ma da verificare nella realtà.
- Il test genetico è più “potente”. Da solo porta [math]P(M)[/math] dallo 0.5% al [math]\approx 20\%[/math]. La familiarità da sola, usando [math]P(F \mid M) = 0.70[/math] e [math]P(F \mid \bar{M}) = 0.05[/math], la porterebbe a [math]\frac{0.7 \cdot 0.005}{0.7 \cdot 0.005 + 0.05 \cdot 0.995} \approx 6.6\%[/math]. Il test genetico ha un rapporto di verosimiglianza (LR+) molto più alto.
Risposte Esercizio 3
- [math]P(S_F \cup S_C \mid F)[/math] è diverso da [math]P(S_F \mid F) + P(S_C \mid F)[/math] perché i due eventi non sono mutuamente esclusivi. Si possono verificare entrambi nello stesso anno. Per non contare due volte la probabilità dell’intersezione, si deve sottrarre [math]P(S_F \cap S_C \mid F)[/math].
- Implicazioni per il pricing: L’esercizio mostra che la polizza Furto è associata a un tasso di collisione leggermente più alto (4.88% vs 4.33%). Questo suggerisce che gli assicurati che scelgono la garanzia furto sono intrinsecamente più rischiosi (selezione avversa). Un attuario dovrebbe quindi caricare un premio più alto sulla garanzia collisione per i clienti che hanno già la polizza furto, oppure considerare uno sconto combinato per incentivare i clienti meno rischiosi ad acquistare entrambe le polizze, per bilanciare il portafoglio.
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