Esercizi Svolti di Statistica: 5 Prove d’Esame Spiegate Passo Passo (Descrittiva, Bayes, Regressione)

Niente panico, è solo statistica

Parliamoci chiaro: davanti a un foglio bianco e a una calcolatrice, anche i concetti più semplici possono sembrare arabo. La statistica non è difficile perché è “magia nera”, ma spesso perché ci si perde tra formule e definizioni senza capire cosa stiamo realmente cercando.

Se stai preparando l’esame e senti che la teoria ti scivola addosso, fermati un attimo. Il segreto non è memorizzare a macchinetta, ma fare.

In questo articolo non troverai le solite spiegazioni accademiche astratte. Abbiamo preso 5 esercizi classici d’esame, dalla statistica descrittiva alla regressione lineare, e li abbiamo smontati pezzo per pezzo. Vedremo non solo come si risolvono i calcoli, ma soprattutto perché il risultato ha senso e come interpretarlo per prendere il massimo dei voti.

Prendi carta e penna: si comincia.

PROVA TIPO 1 – Statistica descrittiva e analisi dei dati

Esercizio 1 – Distribuzione di frequenza e indicatori (30 punti)

Un’indagine rileva il numero di ore settimanali dedicate allo studio da un campione di 20 studenti:

4, 6, 8, 10, 10, 12, 12, 12, 14, 14,
15, 16, 16, 18, 18, 20, 20, 22, 24, 30

Richiesto

1. Costruire la distribuzione di frequenza assoluta e relativa
2. Calcolare: media, mediana, moda
3. Calcolare: varianza, deviazione standard
4. Interpretare i risultati

Soluzione

1. Distribuzione di frequenza

2. Misure di tendenza centrale

Media

[math]\displaystyle \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{\sum x_i}{n} = \frac{281}{20} \ &= 14,05 \end{aligned}[/math]

Mediana

Campione ordinato, [math]n = 20[/math] → media del 10° e 11° valore:

[math]\text{Mediana} = \frac{14 + 15}{2} = 14,5[/math]

Moda

Il valore più frequente è 12 (3 occorrenze).

3. Variabilità

Varianza (campionaria)

[math]\displaystyle \begin{aligned} s^2 &= \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n-1} \ &\approx 44,26 \end{aligned}[/math]

Deviazione standard

[math]s = \sqrt{44,26} \approx 6,65[/math]

4. Interpretazione

• Media [math]\approx 14[/math] ore, ma la deviazione standard elevata indica forte eterogeneità.
• La presenza di 30 ore crea una asimmetria positiva.
• Moda < Media → distribuzione asimmetrica a destra.
• La mediana è più robusta della media rispetto agli outlier.

PROVA TIPO 2 – Probabilità e variabili casuali

Esercizio 2 – Probabilità condizionata e Bayes (25 punti)

Il 3% della popolazione è affetta da una certa malattia.

Un test diagnostico ha:

• sensibilità: 95%
• specificità: 90%

Richiesto

1. Calcolare la probabilità che una persona sia malata dato che il test è positivo
2. Interpretare il risultato

Soluzione

Definiamo gli eventi:

• [math]M[/math] = persona malata
• [math]T^{+}[/math] = test positivo

Dati:

[math]\displaystyle \begin{aligned} &P(M) = 0,03 \ &P(T^{+}|M) = 0,95 \ &P(T^{-}|\bar{M}) = 0,90 \Rightarrow P(T^{+}|\bar{M}) = 0,10 \end{aligned}[/math]

Applicazione del teorema di Bayes

[math]\displaystyle \begin{aligned} P(M|T^{+}) &= \frac{P(T^{+}|M)P(M)}{P(T^{+}|M)P(M) + P(T^{+}|\bar{M})P(\bar{M})} \ &= \frac{0,95 \cdot 0,03}{0,95 \cdot 0,03 + 0,10 \cdot 0,97} \ &= \frac{0,0285}{0,0285 + 0,097} \ &\approx 0,227 \end{aligned}[/math]

Interpretazione

• Nonostante il test sia “buono”, la probabilità reale di essere malati dato un test positivo è solo il 22,7%.
• Questo è un classico esempio di base rate fallacy (fallacia della frequenza di base).
• La prevalenza della malattia è determinante nel risultato finale.

PROVA TIPO 3 – Inferenza statistica

Esercizio 3 – Intervallo di confidenza (25 punti)

Un campione di 36 osservazioni ha:

• media = 100
• deviazione standard = 12

Richiesto

1. Costruire l’intervallo di confidenza al 95% per la media
2. Interpretarlo correttamente

Soluzione

Campione grande → uso della normale.

Valore critico:

[math]z_{0.975} = 1,96[/math]

Errore standard:

[math]\displaystyle \begin{aligned} SE &= \frac{12}{\sqrt{36}} \ &= 2 \end{aligned}[/math]

Intervallo

[math]\displaystyle \begin{aligned} 100 \pm 1,96 \cdot 2 &= 100 \pm 3,92 \ &= [96,08 ; ; ; 103,92] \end{aligned}[/math]

Interpretazione corretta

• ✔ Con il 95% di confidenza, l’intervallo contiene il vero valore della media della popolazione.
• ✘ Non significa che il 95% dei dati cade nell’intervallo.
• ✘ Non è una probabilità sulla media (che è fissa).

PROVA TIPO 4 – Test di ipotesi (20 punti)

Esercizio 4 – Test t di Student

Un produttore dichiara che il peso medio di un prodotto è 500 g.

Un campione di 16 pezzi ha:

• media = 492 g
• deviazione standard = 10 g

Livello di significatività: [math]\alpha = 0,05[/math]

Richiesto

1. Impostare il test
2. Calcolare la statistica test
3. Prendere una decisione

Soluzione

Ipotesi

[math]\displaystyle \begin{aligned} H_0 &: \mu = 500 \ H_1 &: \mu \neq 500 \end{aligned}[/math]

Statistica test

[math]\displaystyle \begin{aligned} t &= \frac{492 – 500}{10 / \sqrt{16}} \ &= \frac{-8}{2,5} \ &= -3,2 \end{aligned}[/math]

Gradi di libertà = 15

Valore critico:

[math]t_{0.025, 15} \approx 2,131[/math]

Decisione

[math]|t| = 3,2 > 2,131 \Rightarrow \text{Rifiuto } H_0[/math]

Conclusione

Esistono evidenze statisticamente significative che il peso medio non sia 500 g.