La distribuzione multinomiale

La distribuzione multinomiale rappresenta una estensione di quella binomiale; si applica a k eventi indipendenti di probabilità

p₁, p₂, …p_i, …, p_k (la cui somma è uguale a 1)

che possono comparire nel corso di N prove indipendenti, successive o simultanee.
Permette di calcolare la probabilità di ogni evento possibile, quando determinato solo dal caso.

La probabilità che si realizzino congiuntamente tutti gli eventi indicati è determinata dallo sviluppo del multinomio:

ESEMPIO

Si supponga che in un lago, con un numero teoricamente infinito di pesci, il 10% (p₁ =0,10) siano della specie A, il 40% (p₂ = 0,40) siano della specie B, il 20% (p₃ = 0,20) siano di quella C ed il 30% (p₄ = 0,30) della specie D;
a) estraendo 10 pesci, quale è la probabilità di avere 2 A, 3 B, 2 C e 3 D?
b) estraendo 8 pesci quale è la probabilità di avere 4 B e 4 D? (naturalmente con 0 A e 0 C).

Soluzione

a) La probabilità di estrarre 2 individui della specie A, 3 della specie B, 2 della specie C e 3 della specie D, in un lago in cui le quattro specie hanno le frequenze relative della domanda, è calcolata con:

e risulta uguale a 0,0174 o 1,74 per cento.

b) La probabilità di estrarre per caso, dallo stesso lago, 4 individui della specie B e 4 della specie D con 8 estrazioni casuali è:

uguale a 0,0145 o 1,45 per cento.

Non esiste un limite al numero di fattori che possono essere considerati insieme.
La distribuzione binomiale è utilizzata con frequenza nella statistica non parametrica.

Se il numero di dati è ridotto, molti test non parametrici ricorrono ad essa per il calcolo delle probabilità.

Seppure apparentemente più generale, la distribuzione multinomiale ha un uso limitato, circoscritto alla stima della probabilità complessiva di più eventi indipendenti, per ognuno dei quali sia nota la probabilità p_i.