La distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è usata per studiare il numero di eventi rari che si realizzano in un dato intervallo di tempo (o di spazio); gli eventi accadono in modo indipendente l’uno dall’altro.
Il numero di eventi che si realizzano nel dato intervallo varia da 0 a n, e n non è determinabile a priori.

La distribuzione di Poisson in Excel

Per il calcolo della distribuzione di Poisson si usa la funzione

=DISTRIB.POISSON()

Sintassi

DISTRIB.POISSON(x;media;cumulativo)

x  = numero degli eventi.
media = valor medio della distribuzione di Poisson.
Cumulativo = valore logico che determina il tipo di funzione calcolata.

• Se cumulativo è VERO, DISTRIB.POISSON restituirà la funzione di ripartizione di Poisson ossia la probabilità che il numero degli eventi casuali sia compreso tra zero e x inclusi.
• Se il valore cumulativo è FALSO, verrà restituita la distribuzione di probabilità, ossia la probabilità che il numero di eventi sia uguale a x.

Esercizio 1

Costruire in Excel una tabella, nella quale si riportano le probabilità P(X=k) e quattro tipi di probabilità cumulative: P(X<=k), P(X<k), P(X>=k), P(X>k) calcolate con la distribuzione di Poisson, con valor medio lambda inserito dall’utente.
Nota: in un processo di Poisson il numero di eventi assume i valori k = 0, 1, 2, 3, …; nella tabella arrestare il calcolo al valore k=10.

Apriamo il foglio di excel e nella cella B4 inseriamo il valore medio, per esempio, 4:

Implementiamo ora la nostra tabella:

Occupiamoci ora della prima colonna P(X=k), impostando la formula nel primo campo per poi trascinarla lungo tutta la colonna:

Nota:

Impostiamo i parametri della funzione nel modo seguente:

• X = k ( sono il numero di  eventi che troviamo nella prima colonna della tabella).
• Media = $B$4 Inseriamo la cella del valore medio con i riferimenti assoluti, affinché non cambi trascinando poi la formula.
• valore cumulativo = VERO, perchè stiamo calcolando la distribuzione di probabilità, ossia la probabilità che il numero di eventi sia uguale a x.

Colonna P(X<=k):

• X = k ( sono il numero di  eventi che troviamo nella prima colonna della tabella).
• Media = $B$4 Inseriamo la cella del valore medio con i riferimenti assoluti, affinché non cambi trascinando poi la formula.
• valore cumulativo = VERO, DISTRIB.POISSON restituirà la funzione di ripartizione ossia la probabilità che il numero degli eventi casuali sia compreso tra zero e k inclusi.

Colonna P(X<k):

La formula che utilizzeremo è:

=DISTRIB.POISSON(B8-1;$B$4;1)

• X = k-1 ( perchè vogliamo  X<k, quindi k escluso).

Colonna P(X>=k):

La formula che utilizzeremo è:

=1-DISTRIB.POISSON(B8-1;$B$4;1)

Colonna P(X>k):

La formula che utilizzeremo è:

=1-DISTRIB.POISSON(B8;$B$4;1)

La Tabella risultato:

Esercizio 2

A un servizio di guardia medica ogni ora arrivano in media 3,5 richieste di interventi urgenti a domicilio.
1 Calcolare la probabilità che in una data ora arrivino 3, 4, 5 chiamate urgenti.
2 Calcolare la probabilità che in una data ora arrivi un numero di chiamate urgenti compreso fra 3 e 5.
3 Calcolare la probabilità che in una data ora arrivi un numero di chiamate urgenti maggiore di 3.

2) Calcolare la probabilità che in una data ora arrivi un numero di chiamate urgenti compreso fra 3 e 5

Tale probabilità è pari a :

P(X<=5) – P(X<=3)

Dunque:

3) Calcolare la probabilità che in una data ora arrivi un numero di chiamate urgenti maggiore di 3.

La calcoleremo utilizzando la formula

=1-DISTRIB.POISSON(3;B4;1)