Intervalli di confidenza: formule per media, varianza e deviazione standard con 10 esercizi svolti

Un campione di 100 clienti presenta una spesa media di 48 euro. Possiamo concludere che la spesa media di tutti i clienti sia esattamente 48 euro? Naturalmente no. Il valore osservato dipende dalle persone selezionate, dalla variabilità dei comportamenti e dalla componente casuale legata al campionamento.

La statistica inferenziale affronta proprio questo problema: utilizzare le informazioni raccolte su un campione per ottenere indicazioni attendibili sulle caratteristiche di un’intera popolazione, senza confondere una stima con una certezza.

Gli intervalli di confidenza sono uno degli strumenti fondamentali per raggiungere questo obiettivo. Anziché fornire un unico valore, individuano un intervallo di valori compatibili con i dati osservati, attraverso una procedura caratterizzata da un determinato livello di copertura.

Il loro utilizzo non riguarda soltanto la stima della media. In molte analisi è altrettanto importante conoscere la variabilità di un fenomeno, attraverso la varianza e la deviazione standard. Per questo motivo occorre distinguere i diversi procedimenti di calcolo e comprendere quando utilizzare la distribuzione normale, la t di Student o la distribuzione chi-quadro.

In questa guida affrontiamo il significato frequentista dell’intervallo di confidenza, le formule per stimare media e dispersione e le condizioni necessarie affinché i risultati siano attendibili. Dieci esercizi progressivi, accompagnati da soluzioni commentate e domande di riflessione, permettono infine di verificare sia la correttezza dei calcoli sia la capacità di interpretarne il significato.

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Definizione e significato frequentista dell’intervallo di confidenza

Un intervallo di confidenza (IC) di livello [math]1-\alpha[/math] per un parametro [math]\theta[/math] è una procedura che, applicata a un campione casuale, produce due estremi [math]L(X)[/math] e [math]U(X)[/math], tali che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} P_\theta\left(L(X)\leq\theta\leq U(X)\right)=1-\alpha \end{aligned}[/math]

La probabilità è riferita alla procedura di costruzione dell’intervallo, prima di osservare il campione. Gli estremi sono infatti variabili casuali, perché dipendono dai dati che verranno estratti, mentre il parametro della popolazione è considerato fisso.

La relazione esprime la probabilità che l’intervallo generato dal procedimento contenga il vero valore del parametro. In un contesto esatto, questa probabilità coincide con il livello nominale di confidenza; in altri contesti, come quelli basati su approssimazioni asintotiche, la copertura può essere soltanto approssimata.

Che cosa significa un intervallo di confidenza al 95%?

Il livello di confidenza del 95% viene spesso interpretato in modo impreciso. Non significa che, dopo aver calcolato un intervallo specifico, esista una probabilità del 95% che il parametro si trovi al suo interno.

Nell’impostazione frequentista, il parametro [math]\theta[/math] è un valore fisso e non una variabile casuale. La probabilità riguarda invece il comportamento della procedura di stima.

Se ripetessimo lo stesso esperimento molte volte, estraendo ogni volta un nuovo campione e costruendo un intervallo con la medesima regola, circa il 95% degli intervalli ottenuti conterrebbe il vero parametro.

Dopo aver osservato i dati, gli estremi dell’intervallo diventano numeri determinati. Non è quindi corretto attribuire, nell’impostazione frequentista, una probabilità del 95% al fatto che il parametro si trovi proprio nell’intervallo osservato.

La distinzione è importante perché un intervallo di confidenza non descrive la distribuzione di probabilità del parametro, ma la capacità di una procedura statistica di produrre intervalli che lo contengano.

La copertura della procedura è il concetto centrale: un intervallo al 95% è costruito affinché, nelle condizioni previste dal modello, circa 95 intervalli su 100 coprano il valore reale del parametro.

Intervallo di confidenza per la media

La media della popolazione, indicata con [math]\mu[/math], è uno dei parametri più frequentemente stimati nelle analisi statistiche. Può rappresentare, per esempio, la spesa media dei clienti, il tempo medio di produzione, il fatturato medio per punto vendita oppure la durata media di un processo.

La costruzione dell’intervallo dipende dalla conoscenza o meno della deviazione standard della popolazione [math]\sigma[/math].

Consideriamo un campione casuale indipendente:

[math]\displaystyle \begin{aligned} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{aligned}[/math]

estratto da una popolazione con media [math]\mu[/math] e varianza [math]\sigma^2[/math]. La media campionaria è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{aligned}[/math]

La media campionaria è uno stimatore della media della popolazione, ma il suo valore cambia da un campione all’altro. La sua variabilità è misurata dall’errore standard.

Media con varianza nota

Se la popolazione è normale e la deviazione standard [math]\sigma[/math] è nota, la media campionaria standardizzata segue una distribuzione normale standard:

[math]\displaystyle \begin{aligned} Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1) \end{aligned}[/math]

Il denominatore rappresenta l’errore standard della media:

[math]\displaystyle \begin{aligned} SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

Per un intervallo bilaterale di livello [math]1-\alpha[/math], si utilizza il quantile normale [math]z_{1-\alpha/2}[/math].

La formula generale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} IC_{1-\alpha}(\mu)= \left[ \bar x-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \bar x+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \right] \end{aligned}[/math]

In forma abbreviata:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\bar x\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}} \end{aligned}[/math]

Per un livello di confidenza del 95%:

[math]\displaystyle \begin{aligned} z_{0.975}=1.96 \end{aligned}[/math]

L’intervallo diventa quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \bar x\pm1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

La formula è esatta se la popolazione è normale e le osservazioni costituiscono un campione casuale indipendente. In presenza di una popolazione non normale, può essere utilizzata come approssimazione per campioni sufficientemente grandi, sotto le condizioni del teorema centrale del limite.

Media con varianza ignota

Nelle applicazioni reali la varianza della popolazione è generalmente sconosciuta. Occorre quindi stimarla attraverso la varianza campionaria corretta:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 \end{aligned}[/math]

La deviazione standard campionaria è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S=\sqrt{S^2} \end{aligned}[/math]

Quando la popolazione è normale, la quantità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n} \end{aligned}[/math]

segue una distribuzione t di Student con [math]n-1[/math] gradi di libertà:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1} \end{aligned}[/math]

L’intervallo di confidenza diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\bar x\pm t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}} \end{aligned}[/math]

La distribuzione t di Student tiene conto dell’incertezza aggiuntiva introdotta dalla stima della deviazione standard della popolazione. Rispetto alla normale standard presenta code più pesanti, soprattutto quando il campione è piccolo.

Di conseguenza, a parità di livello di confidenza, l’intervallo t risulta generalmente più ampio di quello calcolato utilizzando la distribuzione normale.

Con l’aumentare della numerosità campionaria, la distribuzione t tende alla normale standard:

[math]\displaystyle \begin{aligned} t_{n-1}\longrightarrow N(0,1) \end{aligned}[/math]

Per questo motivo, quando [math]n[/math] è sufficientemente grande, i due intervalli diventano molto simili.

È importante ricordare che l’intervallo t è esatto sotto l’ipotesi di normalità della popolazione e indipendenza delle osservazioni. Se la distribuzione non è normale, l’intervallo può essere utilizzato come approssimazione, ma la sua affidabilità dipende dalla forma della distribuzione e dalla numerosità campionaria.

Intervallo di confidenza per la varianza e la deviazione standard

La media descrive il livello centrale di un fenomeno, ma non fornisce informazioni sufficienti sulla sua dispersione.

Due processi possono avere la stessa media e comportamenti molto diversi: uno può produrre risultati relativamente stabili, mentre l’altro può presentare oscillazioni considerevoli.

Per valutare questa variabilità si utilizzano la varianza [math]\sigma^2[/math] e la deviazione standard [math]\sigma[/math].

Se le osservazioni provengono da una popolazione normale, la statistica:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \end{aligned}[/math]

segue una distribuzione chi-quadro con [math]n-1[/math] gradi di libertà:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}} \end{aligned}[/math]

Questa relazione permette di costruire un intervallo di confidenza per la varianza della popolazione.

Intervallo per la varianza

Indicando con [math]\chi^2_{p,n-1}[/math] il quantile della distribuzione chi-quadro con [math]n-1[/math] gradi di libertà tale che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} P(\chi^2_{n-1}\leq\chi^2_{p,n-1})=p \end{aligned}[/math]

l’intervallo bilaterale di livello [math]1-\alpha[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ IC_{1-\alpha}(\sigma^2)= \left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \right] } \end{aligned}[/math]

La formula può sembrare meno immediata rispetto a quella utilizzata per la media, perché i quantili della distribuzione chi-quadro compaiono al denominatore e in ordine invertito.

Questa inversione deriva dal procedimento algebrico utilizzato per isolare il parametro [math]\sigma^2[/math].

L’intervallo non è generalmente simmetrico attorno alla varianza campionaria. La distribuzione chi-quadro, infatti, è asimmetrica a destra e i suoi quantili non sono equidistanti.

Intervallo per la deviazione standard

Una volta calcolato l’intervallo per la varianza, è possibile ottenere quello per la deviazione standard applicando la radice quadrata ai due estremi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{ IC_{1-\alpha}(\sigma)= \left[ \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}}, \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}} \right] } \end{aligned}[/math]

La trasformazione mantiene l’ordine degli estremi perché la funzione radice quadrata è monotona crescente per valori non negativi.

Anche in questo caso è necessario rispettare l’ipotesi di normalità della popolazione per ottenere un intervallo esatto. A differenza dell’intervallo per la media, non esiste una giustificazione generale altrettanto semplice basata soltanto su un campione numeroso per utilizzare la stessa formula chi-quadro quando la popolazione non è normale.

Come scegliere la distribuzione corretta

La scelta della distribuzione dipende dal parametro che si vuole stimare e dalle informazioni disponibili sulla popolazione.

Parametro	Condizione	Distribuzione	Gradi di libertà
Media [math]\mu[/math]	[math]\sigma[/math] noto	Normale standard Z	—
Media [math]\mu[/math]	[math]\sigma[/math] ignoto	t di Student	[math]n-1[/math]
Varianza [math]\sigma^2[/math]	Popolazione normale	Chi-quadro	[math]n-1[/math]
Deviazione standard [math]\sigma[/math]	Popolazione normale	Chi-quadro, poi radice	[math]n-1[/math]

Una regola pratica aiuta a evitare molti errori:

• Per stimare una media con deviazione standard della popolazione nota si utilizza la distribuzione normale.
• Per stimare una media con deviazione standard ignota si utilizza la distribuzione t di Student.
• Per stimare varianza e deviazione standard di una popolazione normale si utilizza la distribuzione chi-quadro.

Non basta quindi conoscere la numerosità campionaria per scegliere la formula. Occorre identificare il parametro, verificare le ipotesi e stabilire se la variabilità della popolazione è nota oppure deve essere stimata.

Ampiezza dell’intervallo: quali fattori la determinano?

Un intervallo di confidenza non è utile soltanto perché contiene una stima, ma anche perché permette di valutare la precisione con cui il parametro è stato stimato.

Consideriamo l’intervallo per la media con varianza nota:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \bar x\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

La sua ampiezza è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A=2z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

Da questa relazione emergono tre fattori che influenzano direttamente la precisione.

Variabilità della popolazione

A parità di numerosità campionaria e livello di confidenza, una deviazione standard più elevata produce un intervallo più ampio. Quando i dati sono molto dispersi, la media campionaria fornisce una stima meno precisa del parametro.

Numerosità campionaria

L’errore standard diminuisce all’aumentare di [math]n[/math], perché è inversamente proporzionale alla radice quadrata della numerosità campionaria.

Se il campione passa da 25 a 100 osservazioni, l’errore standard si dimezza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sigma}{\sqrt{25}}=\frac{\sigma}{5} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sigma}{\sqrt{100}}=\frac{\sigma}{10} \end{aligned}[/math]

A parità delle altre condizioni, anche l’ampiezza dell’intervallo si dimezza.

Questo non significa che raddoppiare il campione dimezzi l’ampiezza: per ottenere una riduzione dell’errore standard pari alla metà occorre quadruplicare la numerosità.

Livello di confidenza

Un livello di confidenza più elevato richiede un quantile maggiore e quindi un intervallo più ampio.

Per esempio:

[math]\displaystyle \begin{aligned} z_{0.975}=1.96 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} z_{0.995}=2.576 \end{aligned}[/math]

L’intervallo al 99% sarà quindi più ampio di quello al 95%, se i dati e le altre condizioni rimangono invariati.

Non esiste un intervallo che sia contemporaneamente molto stretto e caratterizzato da un livello di confidenza arbitrariamente elevato, a parità di informazioni disponibili. La scelta richiede un compromesso tra precisione e copertura.

Condizioni di validità e limiti degli intervalli di confidenza

Le formule presentate non sono applicabili in modo automatico a qualsiasi insieme di dati. La loro validità dipende dalle ipotesi statistiche su cui si basano.

Indipendenza delle osservazioni

Le osservazioni devono essere indipendenti, oppure il procedimento deve tenere esplicitamente conto della struttura di dipendenza. Se si analizzano dati longitudinali, misure ripetute sugli stessi soggetti o serie temporali, ignorare le correlazioni può portare a sottostimare l’errore standard e a costruire intervalli troppo stretti.

Normalità della popolazione

Per gli intervalli t e chi-quadro nelle formulazioni esatte presentate, la normalità della popolazione è un’ipotesi fondamentale.

Nel caso della media, per campioni sufficientemente grandi il teorema centrale del limite permette spesso di utilizzare un’approssimazione normale anche quando la popolazione non è normale. Tuttavia, non esiste una numerosità campionaria universalmente sufficiente: distribuzioni molto asimmetriche, code pesanti e osservazioni estreme possono richiedere campioni più grandi.

Qualità del campionamento

Un intervallo di confidenza calcolato correttamente non elimina i problemi causati da un campione distorto. Se vengono selezionati soltanto alcuni gruppi della popolazione, oppure se una parte dei soggetti non risponde in modo sistematico, la stima può essere distorta anche quando l’intervallo è matematicamente corretto rispetto al modello utilizzato.

Sensibilità dell’intervallo per la varianza

Gli intervalli basati sulla distribuzione chi-quadro sono particolarmente sensibili alla violazione dell’ipotesi di normalità. In presenza di asimmetrie o code pesanti, la copertura effettiva può discostarsi sensibilmente da quella nominale.

Un intervallo al 95%, quindi, non garantisce automaticamente che l’analisi sia affidabile: occorre valutare anche il disegno campionario, le caratteristiche dei dati e le ipotesi del modello.

Un’applicazione pratica: stimare il tempo medio di evasione degli ordini

Immaginiamo che un’azienda voglia verificare l’efficienza del proprio processo logistico. Vengono selezionati casualmente 100 ordini e si rileva un tempo medio di evasione pari a 48 minuti.

Supponiamo, per questo esempio, che la deviazione standard della popolazione sia nota e pari a 10 minuti.

I dati sono:

• Numerosità campionaria: [math]n=100[/math].
• Media campionaria: [math]\bar x=48[/math].
• Deviazione standard della popolazione: [math]\sigma=10[/math].
• Livello di confidenza: 95%.

L’errore standard è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} SE=\frac{10}{\sqrt{100}}=1 \end{aligned}[/math]

Utilizzando il quantile normale 1.96:

[math]\displaystyle \begin{aligned} IC_{95\%}=48\pm1.96\cdot1 \end{aligned}[/math]

Si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{IC_{95\%}=[46.04;\ 49.96]} \end{aligned}[/math]

La stima puntuale è 48 minuti, mentre l’intervallo mostra la precisione associata a questa stima.

Supponiamo che la direzione aziendale abbia fissato un obiettivo di tempo medio non superiore a 50 minuti. L’estremo superiore dell’intervallo è 49.96 minuti, quindi l’intervallo ottenuto si colloca interamente al di sotto della soglia.

Questo risultato fornisce un’indicazione favorevole rispetto all’obiettivo, sempre che le ipotesi del modello e il campionamento siano adeguati.

La conclusione riguarda la media della popolazione degli ordini, non il singolo ordine: non significa che il 95% degli ordini venga evaso entro 49.96 minuti.

Inoltre, se la deviazione standard della popolazione fosse ignota, come avviene normalmente nelle applicazioni aziendali, sarebbe necessario utilizzare la distribuzione t di Student e la deviazione standard campionaria.

L’esempio mostra perché un intervallo di confidenza sia più informativo di una semplice media: consente di valutare la precisione della stima e di confrontare i risultati con una soglia decisionale, senza dimenticare l’incertezza associata ai dati.

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Test di autovalutazione: 10 quesiti progressivi

Gli esercizi seguenti affrontano progressivamente l’interpretazione degli intervalli, il calcolo per media e varianza, la scelta delle distribuzioni e la determinazione della numerosità campionaria. Ogni quesito è accompagnato dalla soluzione e da una domanda di riflessione, per verificare anche la comprensione dei concetti statistici.

Esercizio 1 — Interpretazione frequentista

Uno statistico calcola, da un campione, un intervallo di confidenza al 95% per la media di una popolazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [10.2;\ 12.8] \end{aligned}[/math]

Quale affermazione è corretta?

☐ A. C’è il 95% di probabilità che [math]\mu[/math] sia compresa tra 10.2 e 12.8.

☐ B. Se si ripetesse molte volte il campionamento e si costruisse ogni volta l’intervallo con la stessa regola, circa il 95% degli intervalli conterrebbe [math]\mu[/math].

☐ C. Il 95% delle osservazioni campionarie cade tra 10.2 e 12.8.

☐ D. [math]\mu[/math] varia da campione a campione con probabilità 95%.

Risposta corretta: B.
Il livello di confidenza descrive la frequenza di copertura della procedura. Dopo aver osservato i dati, l’intervallo è fissato e non si assegna una probabilità frequentista al parametro.

Osservazione
Il 95% riguarda la procedura ripetuta, non la singola realizzazione dell’intervallo.

Mini riflessione
Qual è la differenza tra probabilità di copertura della procedura e probabilità che il parametro cada nell’intervallo osservato?

Esercizio 2 — Media con varianza nota

Da una popolazione normale con [math]\sigma=10[/math] si estrae un campione di [math]n=25[/math] osservazioni e si ottiene una media campionaria [math]\bar x=50[/math].

Utilizzando [math]z_{0.975}=1.96[/math], qual è l’intervallo di confidenza al 95% per [math]\mu[/math]?

☐ A. [math][48.04;\ 51.96][/math]

☐ B. [math][47.00;\ 53.00][/math]

☐ C. [math][46.08;\ 53.92][/math]

☐ D. [math][45.00;\ 55.00][/math]

Risposta corretta: C.
L’errore standard è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} SE=\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{10}{\sqrt{25}}=2 \end{aligned}[/math]

Il margine di errore è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ME=1.96\cdot2=3.92 \end{aligned}[/math]

L’intervallo è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 50\pm3.92 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{IC_{95\%}=[46.08;\ 53.92]} \end{aligned}[/math]

Osservazione
Con [math]\sigma[/math] noto e popolazione normale, l’intervallo z è esatto. Se la popolazione non è normale, può essere approssimato attraverso il teorema centrale del limite, sotto opportune condizioni.

Mini riflessione
Se [math]n[/math] passa da 25 a 100, mantenendo invariati [math]\sigma[/math] e il livello di confidenza, come cambia l’ampiezza dell’intervallo? Perché?

Esercizio 3 — Effetto del livello di confidenza

A parità di dati e con [math]\sigma[/math] noto, si passa da un intervallo di confidenza al 95% a uno al 99% per [math]\mu[/math].

Che cosa succede all’intervallo?

☐ A. Diventa più ampio.

☐ B. Diventa più stretto.

☐ C. Resta identico.

☐ D. Non è calcolabile senza conoscere [math]n[/math].

Risposta corretta: A.
Per il 99% serve un quantile più estremo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} z_{0.995}>z_{0.975} \end{aligned}[/math]

Il margine di errore aumenta e l’intervallo si allarga.

Osservazione
A parità di informazioni campionarie, un livello di confidenza maggiore richiede un intervallo più ampio.

Mini riflessione
Perché aumentando il livello di confidenza l’intervallo si allarga? Quale quantile cambia?

Esercizio 4 — Media con varianza stimata

Un campione di [math]n=16[/math] osservazioni da una popolazione normale fornisce:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \bar x=42,\qquad s=8 \end{aligned}[/math]

Utilizzando [math]t_{15,0.975}=2.131[/math], qual è l’intervallo di confidenza al 95% per [math]\mu[/math]?

☐ A. [math][38.08;\ 45.92][/math]

☐ B. [math][34.00;\ 50.00][/math]

☐ C. [math][40.04;\ 43.96][/math]

☐ D. [math][37.74;\ 46.26][/math]

Risposta corretta: D.
L’errore standard stimato è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{8}{4}=2 \end{aligned}[/math]

Il margine di errore è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ME=2.131\cdot2=4.262 \end{aligned}[/math]

L’intervallo diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 42\pm4.262 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{IC_{95\%}=[37.738;\ 46.262]} \end{aligned}[/math]

Arrotondando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} IC_{95\%}\approx[37.74;\ 46.26] \end{aligned}[/math]

Osservazione
Con [math]\sigma[/math] ignoto si utilizza la distribuzione t di Student, che tiene conto dell’incertezza introdotta dalla stima della deviazione standard. Con campioni piccoli la differenza rispetto alla normale può essere rilevante.

Mini riflessione
Perché con [math]\sigma[/math] ignoto si utilizza la distribuzione t e non la normale standard? Che cosa succede quando [math]n[/math] diventa grande?

Esercizio 5 — Intervallo per la varianza

Da una popolazione normale si estrae un campione di [math]n=20[/math] osservazioni e si ottiene una varianza campionaria corretta [math]s^2=25[/math].

Sapendo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{0.025,19}=8.907 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{0.975,19}=32.852 \end{aligned}[/math]

qual è l’intervallo di confidenza al 95% per [math]\sigma^2[/math]?

☐ A. [math][11.8;\ 47.2][/math]

☐ B. [math][14.5;\ 53.3][/math]

☐ C. [math][15.0;\ 55.0][/math]

☐ D. [math][8.9;\ 32.9][/math]

Risposta corretta: B.
Calcoliamo il numeratore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (n-1)s^2=19\cdot25=475 \end{aligned}[/math]

Estremo inferiore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} L=\frac{475}{32.852}\approx14.46 \end{aligned}[/math]

Estremo superiore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U=\frac{475}{8.907}\approx53.33 \end{aligned}[/math]

L’intervallo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{IC_{95\%}(\sigma^2)\approx[14.46;\ 53.33]} \end{aligned}[/math]

Arrotondando:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [14.5;\ 53.3] \end{aligned}[/math]

Osservazione
Il quantile più grande compare al denominatore dell’estremo inferiore. L’intervallo non è simmetrico attorno a [math]s^2[/math], a causa dell’asimmetria della distribuzione chi-quadro.

Mini riflessione
Se si riduce [math]\alpha[/math], l’intervallo per [math]\sigma^2[/math] si allarga o si restringe? Perché?

Esercizio 6 — Condizioni per l’intervallo t

Un laboratorio analizza 12 misure indipendenti provenienti da una popolazione normale con media e varianza ignote.

Quale intervallo di confidenza al 95% per [math]\mu[/math] è esatto sotto queste condizioni?

☐ A. [math]\bar x\pm1.96\,\sigma/\sqrt{12}[/math]

☐ B. [math]\bar x\pm t_{12,0.975}\,s/\sqrt{12}[/math]

☐ C. [math]\bar x\pm t_{11,0.975}\,s/\sqrt{12}[/math]

☐ D. [math](n-1)s^2/\chi^2[/math] per [math]\mu[/math]

Risposta corretta: C.
Quando [math]\sigma[/math] è ignoto, si utilizza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1} \end{aligned}[/math]

Nel nostro caso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n=12 \end{aligned}[/math]

quindi i gradi di libertà sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n-1=11 \end{aligned}[/math]

La formula corretta è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{\bar x\pm t_{11,0.975}\frac{s}{\sqrt{12}}} \end{aligned}[/math]

Osservazione
I gradi di libertà sono [math]n-1[/math], non [math]n[/math]. L’intervallo t è esatto se la popolazione è normale e le osservazioni sono indipendenti.

Mini riflessione
In quali condizioni l’intervallo t è esatto e quando può essere utilizzato soltanto come approssimazione?

Esercizio 7 — Teorema centrale del limite e popolazione non normale

Una popolazione è molto asimmetrica, ma si dispone di [math]n=100[/math] osservazioni indipendenti e di [math]\sigma[/math] noto.

Si vuole costruire un intervallo approssimato al 95% per [math]\mu[/math]. Quale procedura è più ragionevole?

☐ A. Utilizzare [math]t_{99}[/math] perché [math]\sigma[/math] è stimato.

☐ B. Utilizzare [math]\chi^2[/math] con 99 gradi di libertà.

☐ C. Non è possibile costruire alcun intervallo senza normalità.

☐ D. Utilizzare la distribuzione normale standard con errore standard [math]\sigma/\sqrt n[/math], facendo ricorso al teorema centrale del limite.

Risposta corretta: D.
Con un campione sufficientemente grande, sotto opportune condizioni, il teorema centrale del limite permette di approssimare la distribuzione della media campionaria standardizzata con una normale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\approx N(0,1) \end{aligned}[/math]

L’intervallo z può quindi essere utilizzato come approssimazione anche quando la popolazione non è normale.

È importante, tuttavia, non considerare [math]n=100[/math] una soglia universale. In presenza di forte asimmetria, code pesanti o valori estremi, anche un campione di questa dimensione potrebbe non garantire una buona approssimazione.

Osservazione
La normalità della popolazione è necessaria per l’esattezza dell’intervallo z nei campioni finiti, ma non è indispensabile per ottenere un’approssimazione con campioni sufficientemente grandi, purché siano rispettate le condizioni del teorema centrale del limite.

Mini riflessione
Perché la normalità della popolazione non è indispensabile per costruire un intervallo approssimato della media quando il campione è sufficientemente grande?

Esercizio 8 — Interpretazione dell’intervallo per la varianza

Un intervallo di confidenza al 95% per [math]\sigma^2[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} [12.1;\ 28.7] \end{aligned}[/math]

Quale affermazione è corretta?

☐ A. C’è il 95% di probabilità che [math]\sigma^2[/math] sia compresa tra 12.1 e 28.7.

☐ B. Il 95% delle varianze campionarie cade tra 12.1 e 28.7.

☐ C. La procedura che ha prodotto l’intervallo copre [math]\sigma^2[/math] nel 95% delle repliche.

☐ D. [math]\sigma^2[/math] è compresa nell’intervallo con probabilità 95% se si assume una prior uniforme.

Risposta corretta: C.
L’interpretazione frequentista riguarda la copertura della procedura. Se ripetessimo il campionamento e costruissimo ogni volta l’intervallo con la stessa regola, circa il 95% degli intervalli conterrebbe il vero valore di [math]\sigma^2[/math].

L’opzione D richiama un’impostazione bayesiana, ma la specificazione di una prior uniforme non è sufficiente per determinare un intervallo credibile. Occorre anche definire il modello di verosimiglianza e calcolare la distribuzione a posteriori del parametro.

Osservazione
Il livello di confidenza non coincide con una probabilità a posteriori. Gli intervalli frequentisti e gli intervalli credibili bayesiani rispondono a interpretazioni inferenziali differenti.

Mini riflessione
Che cosa non significa un intervallo di confidenza al 95% per [math]\sigma^2[/math]? Indica almeno un’interpretazione errata.

Esercizio 9 — Dimensione campionaria per la media

Con [math]\sigma=6[/math] noto, si vuole costruire un intervallo di confidenza al 95% per [math]\mu[/math] con un margine di errore non superiore a 1.5.

Utilizzando [math]z_{0.975}=1.96[/math], quale numerosità campionaria minima è necessaria?

☐ A. 60

☐ B. 62

☐ C. 61

☐ D. 96

Risposta corretta: B.
Il margine di errore deve rispettare la condizione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 1.96\frac{6}{\sqrt n}\leq1.5 \end{aligned}[/math]

Isoliamo la radice quadrata di [math]n[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt n\geq\frac{1.96\cdot6}{1.5} \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sqrt n\geq7.84 \end{aligned}[/math]

Elevando al quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n\geq7.84^2=61.4656 \end{aligned}[/math]

Poiché la numerosità campionaria deve essere un numero intero, occorre arrotondare per eccesso:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{n=62} \end{aligned}[/math]

Osservazione
Arrotondare per difetto a 61 produrrebbe un margine di errore leggermente superiore a 1.5, non rispettando il requisito richiesto.

Mini riflessione
Perché, quando si determina la dimensione minima del campione, il risultato deve essere arrotondato per eccesso?

Esercizio 10 — Intervallo per la deviazione standard

Da una popolazione normale si estrae un campione di [math]n=10[/math] osservazioni e si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned} s^2=16 \end{aligned}[/math]

Sapendo che:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{0.05,9}=3.325 \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{0.95,9}=16.919 \end{aligned}[/math]

qual è l’intervallo di confidenza al 90% per [math]\sigma[/math]?

☐ A. [math][2.92;\ 6.58][/math]

☐ B. [math][8.51;\ 43.31][/math]

☐ C. [math][2.40;\ 7.20][/math]

☐ D. [math][1.71;\ 4.33][/math]

Risposta corretta: A.
Prima si costruisce l’intervallo per la varianza:

[math]\displaystyle \begin{aligned} (n-1)s^2=9\cdot16=144 \end{aligned}[/math]

Estremo inferiore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} L_{\sigma^2}=\frac{144}{16.919}\approx8.511 \end{aligned}[/math]

Estremo superiore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} U_{\sigma^2}=\frac{144}{3.325}\approx43.308 \end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} IC_{90\%}(\sigma^2)\approx[8.511;\ 43.308] \end{aligned}[/math]

Per ottenere l’intervallo della deviazione standard si applica la radice quadrata:

[math]\displaystyle \begin{aligned} IC_{90\%}(\sigma)= [\sqrt{8.511};\sqrt{43.308}] \end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned} \boxed{IC_{90\%}(\sigma)\approx[2.92;\ 6.58]} \end{aligned}[/math]

Osservazione
L’intervallo per la deviazione standard si ottiene trasformando gli estremi dell’intervallo per la varianza. La radice quadrata è una funzione monotona crescente, quindi l’ordine degli estremi si conserva.

Mini riflessione
Perché l’intervallo per [math]\sigma^2[/math] non è simmetrico attorno a [math]s^2[/math]? Quale ruolo ha l’asimmetria della distribuzione chi-quadro?

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Risposte alle domande di riflessione

Le domande di riflessione permettono di verificare se le formule sono state comprese e se i risultati possono essere interpretati correttamente. Le risposte seguenti riprendono i concetti fondamentali senza limitarsi alla ripetizione dei calcoli.

Riflessione 1 — Copertura della procedura e probabilità sul parametro

Nella statistica frequentista il parametro [math]\mu[/math] è considerato fisso. La probabilità del 95% riguarda invece la variabilità degli estremi campionari [math]L(X)[/math] e [math]U(X)[/math].

Se ripetessimo il campionamento molte volte, circa il 95% degli intervalli costruiti con la stessa procedura conterrebbe il vero valore di [math]\mu[/math].

Dopo aver osservato il campione, l’intervallo diventa un insieme numerico determinato. Non è quindi corretto affermare, in senso frequentista, che il parametro abbia il 95% di probabilità di trovarsi nell’intervallo osservato.

Riflessione 2 — Effetto della numerosità campionaria

L’ampiezza dell’intervallo per [math]\mu[/math], con [math]\sigma[/math] noto, è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} A=2z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

Se [math]n[/math] passa da 25 a 100, la radice quadrata passa da 5 a 10. Di conseguenza, l’errore standard si dimezza e anche l’ampiezza dell’intervallo si riduce della metà.

L’aumento della numerosità campionaria migliora la precisione della stima, a parità di variabilità della popolazione e livello di confidenza. Tuttavia, il miglioramento non è lineare: per dimezzare l’errore standard occorre quadruplicare il campione.

Riflessione 3 — Perché aumentando il livello di confidenza l’intervallo si allarga

Passando dal 95% al 99%, il valore di [math]\alpha[/math] diminuisce e il quantile della distribuzione normale aumenta:

[math]\displaystyle \begin{aligned} z_{0.995}>z_{0.975} \end{aligned}[/math]

Di conseguenza, aumenta il margine di errore:

[math]\displaystyle \begin{aligned} ME=z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \end{aligned}[/math]

Per ottenere una copertura più elevata occorre quindi accettare un intervallo più ampio, quando le altre condizioni rimangono invariate.

Riflessione 4 — Perché si utilizza la distribuzione t quando [math]\sigma[/math] è ignoto

Quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta, viene sostituita dalla deviazione standard campionaria [math]S[/math].

La quantità:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n} \end{aligned}[/math]

non segue più una normale standard, ma una distribuzione t di Student con [math]n-1[/math] gradi di libertà, sotto l’ipotesi di normalità della popolazione.

La distribuzione t presenta code più pesanti, soprattutto per campioni piccoli, perché tiene conto dell’incertezza aggiuntiva dovuta alla stima di [math]\sigma[/math].

Con l’aumentare della numerosità campionaria, la distribuzione t tende alla normale standard e l’intervallo t diventa molto simile a quello z.

Riflessione 5 — Effetto di [math]\alpha[/math] sull’intervallo per la varianza

Se si riduce [math]\alpha[/math], aumenta il livello di confidenza [math]1-\alpha[/math].

I quantili:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{\alpha/2,n-1} \end{aligned}[/math]

e

[math]\displaystyle \begin{aligned} \chi^2_{1-\alpha/2,n-1} \end{aligned}[/math]

diventano più estremi: il quantile inferiore diminuisce, mentre quello superiore aumenta.

Nella formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \right] \end{aligned}[/math]

il denominatore dell’estremo inferiore aumenta e quello dell’estremo superiore diminuisce. Di conseguenza, l’intervallo si allarga.

Riflessione 6 — Esattezza e approssimazione dell’intervallo t

L’intervallo t per la media è esatto quando le osservazioni sono indipendenti e provengono da una popolazione normale, con deviazione standard ignota stimata attraverso la varianza campionaria corretta.

Se la popolazione non è normale, l’intervallo t può essere utilizzato come approssimazione, ma la sua affidabilità dipende dalla numerosità campionaria e dalla distribuzione dei dati.

Il teorema centrale del limite giustifica spesso l’approssimazione per campioni grandi, soprattutto quando non sono presenti forte asimmetria, code particolarmente pesanti o osservazioni estreme.

Riflessione 7 — Perché il teorema centrale del limite aiuta con campioni grandi

Il teorema centrale del limite afferma che, sotto opportune condizioni, la distribuzione della media campionaria standardizzata tende a una normale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\approx N(0,1) \end{aligned}[/math]

Questo risultato permette di costruire intervalli approssimati per la media anche quando la popolazione di partenza non è normale.

L’approssimazione richiede tuttavia attenzione: indipendenza delle osservazioni, varianza finita e una numerosità adeguata rispetto alla forma della distribuzione sono elementi importanti. Una popolazione molto asimmetrica o caratterizzata da code pesanti può richiedere campioni più numerosi.

Riflessione 8 — Che cosa non significa un intervallo di confidenza per la varianza

Un intervallo al 95% per [math]\sigma^2[/math] non significa che:

• La varianza della popolazione abbia il 95% di probabilità di trovarsi nell’intervallo osservato.
• Il 95% delle varianze campionarie cada in quell’intervallo.
• Il 95% delle osservazioni individuali sia compreso tra gli estremi.

Il significato corretto riguarda la procedura: ripetendo il campionamento e costruendo ogni volta l’intervallo con la stessa regola, circa il 95% degli intervalli conterrebbe il vero valore della varianza, nelle condizioni previste dal modello.

Riflessione 9 — Perché arrotondare per eccesso la numerosità campionaria

La dimensione campionaria deve essere un numero intero e deve rispettare il vincolo stabilito sul margine di errore.

Nel nostro esercizio:

[math]\displaystyle \begin{aligned} n\geq61.4656 \end{aligned}[/math]

Il più piccolo intero che soddisfa la disuguaglianza è 62.

Arrotondando a 61 si otterrebbe un margine di errore leggermente superiore a quello richiesto. L’arrotondamento per eccesso garantisce quindi il rispetto del requisito.

Riflessione 10 — Asimmetria dell’intervallo per la varianza

L’intervallo per [math]\sigma^2[/math] deriva dalla relazione:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1} \end{aligned}[/math]

La distribuzione chi-quadro è asimmetrica a destra e i suoi quantili non sono simmetrici rispetto alla media.

Quando si inverte la relazione per isolare la varianza della popolazione, i quantili compaiono al denominatore in ordine inverso. Per questo motivo gli estremi dell’intervallo non sono equidistanti dalla varianza campionaria.

Per ottenere l’intervallo della deviazione standard si applica la radice quadrata ai due estremi, mantenendo l’ordine perché si tratta di una funzione monotona crescente.

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Conclusioni

Gli intervalli di confidenza permettono di andare oltre la semplice stima puntuale di un parametro e di valutare l’incertezza associata ai dati campionari.

La scelta del procedimento dipende dal parametro che si vuole stimare e dalle informazioni disponibili sulla popolazione: la distribuzione normale viene utilizzata per la media quando la deviazione standard è nota, la t di Student quando deve essere stimata, mentre la distribuzione chi-quadro consente di costruire intervalli per la varianza e la deviazione standard in presenza di normalità.

La larghezza dell’intervallo fornisce inoltre un’indicazione sulla precisione della stima e dipende dalla variabilità dei dati, dalla numerosità campionaria e dal livello di confidenza scelto.

Rimane però un aspetto che non dovrebbe essere trascurato: un intervallo di confidenza non rende automaticamente affidabile una stima. La sua attendibilità dipende anche dalla qualità del campionamento, dall’indipendenza delle osservazioni e dalla correttezza delle ipotesi statistiche.

In un’analisi aziendale, per esempio, conoscere una media senza valutarne l’incertezza può portare a decisioni poco solide. Un intervallo permette invece di considerare quanto sia precisa la stima e quanto sia compatibile con le soglie utilizzate nei processi decisionali.

La statistica inferenziale non elimina l’incertezza dei dati, ma offre strumenti per misurarla e gestirla in modo consapevole. Ed è proprio questa la differenza tra limitarsi a calcolare un indicatore e utilizzarlo correttamente per interpretare un fenomeno.

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