Distribuzione Multinomiale: Formule, Esempi Reali e Codice Python

Esercizio 1 (Fondamentale)

Un negozio di gelati sa che, su tutti i clienti, il 50% sceglie il cono, il 30% la coppetta e il 20% il gelato da asporto in vaschetta. Se vengono serviti 10 clienti in un’ora, qual è la probabilità che esattamente 5 scelgano il cono, 3 la coppetta e 2 la vaschetta?

• A) ≈ 0,085
• B) ≈ 0,117
• C) ≈ 0,201
• D) ≈ 0,026

Risposta corretta: A) ≈ 0,085

Spiegazione:

Si tratta di un classico caso di distribuzione multinomiale. Le probabilità per le tre categorie sono:

• [math]p_1 = 0,5[/math] (Cono)
• [math]p_2 = 0,3[/math] (Coppetta)
• [math]p_3 = 0,2[/math] (Vaschetta)

Il numero totale di prove è [math]n = 10[/math]. I successi desiderati per ciascuna categoria sono: [math]x_1 = 5, x_2 = 3, x_3 = 2[/math].

La formula della probabilità multinomiale è:

Sostituendo i valori:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P &= \frac{10!}{5! \, 3! \, 2!} \cdot (0,5)^5 \cdot (0,3)^3 \cdot (0,2)^2 \\
P &= 2520 \cdot (0,03125) \cdot (0,027) \cdot (0,04) \\
P &= 2520 \cdot (0,00003375) \\
P &\approx \mathbf{0,08505}
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione finale:

Quale formula hai utilizzato e perché è una generalizzazione di quella binomiale?

Ho utilizzato la formula della distribuzione multinomiale. È una generalizzazione della binomiale perché permette di calcolare la probabilità di successo per esperimenti con più di due esiti possibili (mentre la binomiale ne ammette solo due: successo o fallimento). Se avessimo avuto solo due categorie, la formula sarebbe collassata esattamente in quella della distribuzione binomiale.

Esercizio 2 (Applicazione)

Un commesso viaggiatore visita 5 città in una settimana. Le probabilità di fare un affare in ogni città sono:

• Grande affare ([math]p_1[/math]): 0,1
• Piccolo affare ([math]p_2[/math]): 0,3
• Nessun affare ([math]p_3[/math]): 0,6

Qual è la probabilità che in 5 visite ottenga almeno un grande affare e almeno un piccolo affare?

• A) 0,180
• B) 0,319
• C) 0,490
• D) 0,663

Risposta corretta: B) 0,319

Spiegazione:

Vogliamo calcolare la probabilità che [math]x_1 \ge 1[/math] e [math]x_2 \ge 1[/math]. In questi casi, è molto più semplice lavorare con gli eventi complementari utilizzando il Principio di Inclusione-Esclusione.

Sia [math]A[/math] l’evento “[math]x_1 = 0[/math]” (nessun grande affare) e [math]B[/math] l’evento “[math]x_2 = 0[/math]” (nessun piccolo affare). La probabilità cercata è:

Calcoliamo i singoli pezzi:

• [math]P(A)[/math]: Nessun grande affare. Equivale a dire che in ogni città si è fatto un piccolo affare o nessun affare ([math]0,3 + 0,6 = 0,9[/math]).
  [math]P(A) = (0,9)^5 = 0,59049[/math]
• [math]P(B)[/math]: Nessun piccolo affare. Equivale a dire che in ogni città si è fatto un grande affare o nessun affare ([math]0,1 + 0,6 = 0,7[/math]).
  [math]P(B) = (0,7)^5 = 0,16807[/math]
• [math]P(A \cap B)[/math]: Nessun grande affare E nessun piccolo affare. Resta solo l’opzione “nessun affare” ([math]0,6[/math]).
  [math]P(A \cap B) = (0,6)^5 = 0,07776[/math]

Calcolo finale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P &= 1 – (0,59049 + 0,16807 – 0,07776) \\
P &= 1 – 0,6808 \\
P &= 0,3192 \approx \mathbf{0,319}
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione finale:

Perché non possiamo semplicemente sommare le probabilità di tutte le combinazioni che soddisfano la condizione?

In teoria possiamo farlo, ma sarebbe inefficiente. Dovresti calcolare la probabilità multinomiale per ogni singola combinazione di [math](x_1, x_2, x_3)[/math] tale che [math]x_1+x_2+x_3=5[/math] con [math]x_1 \ge 1[/math] e [math]x_2 \ge 1[/math]. Questo comporterebbe il calcolo e la somma di ben 10 casi diversi!

Esercizio 3 (Media e Varianza)

In una catena di produzione di componenti elettronici, le statistiche indicano che:

• 70% sono di prima qualità ([math]p_1 = 0,7[/math])
• 20% sono di seconda qualità ([math]p_2 = 0,2[/math])
• 10% sono difettosi ([math]p_3 = 0,1[/math])

Se si estraggono 80 componenti con reinserimento, qual è la varianza del numero di componenti di seconda qualità?

• A) 16
• B) 12,8
• C) 56
• D) 6,4

Risposta corretta: B) 12,8

Spiegazione:

Un punto fondamentale della distribuzione multinomiale è che, se ci concentriamo su una singola categoria (in questo caso “seconda qualità”), la sua distribuzione marginale si comporta esattamente come una distribuzione binomiale.

Per la categoria di seconda qualità abbiamo:

• n: Numero totale di prove = 80
• p: Probabilità di successo per la categoria = 0,2
• (1-p): Probabilità di “non successo” (ovvero che sia di prima qualità o difettoso) = 0,8

La formula della varianza per una distribuzione binomiale è:

Calcolo finale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Var(X_2) &= 80 \cdot 0,2 \cdot 0,8 \\
Var(X_2) &= 16 \cdot 0,8 \\
Var(X_2) &= \mathbf{12,8}
\end{aligned}[/math]

Domanda di riflessione finale:

La covarianza tra il numero di componenti di prima qualità e di seconda qualità è positiva o negativa? Perché?

La covarianza è negativa. Matematicamente è definita come [math]Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j[/math]. Intuitivamente, poiché il numero totale di estrazioni [math]n[/math] è fisso, se estraiamo più componenti di prima qualità, “rimane meno spazio” per quelli di seconda qualità. Al crescere dell’uno, l’altro tende mediamente a diminuire.

📗 Metodo 1: Microsoft Excel (Simulazione)

Excel non ha una funzione nativa per la distribuzione multinomiale con vincoli, ma possiamo usare una simulazione “Monte Carlo”.

I passaggi:

1. Definisci le probabilità cumulate: In una colonna inserisci i limiti (0,1; 0,7; 0,9; 1,0).

2. Genera valori casuali: Usa =CASUALE() per generare numeri tra 0 e 1.

3. Assegna le categorie: Usa CERCA.VERT per trasformare i numeri casuali nelle 4 categorie (Eccellente, Buono, Discreto, Scarto).

4. Crea il campione: Trascina per 20 righe (il tuo $n$).

5. Verifica i vincoli: Usa un SE logico: =SE(E(conta_eccellenti > conta_scarti; conta_buoni >= 2*conta_discreti); 1; 0).

6. Ripeti: Copia questo blocco per 10.000 righe e fai la media della colonna dei “SE”.

Pro: Intuitivo e visuale.

Contro: Poco preciso per $n$ molto piccoli o probabilità infinitesimali.

🐍 Metodo 2: Python (Calcolo Esatto e Simulazione)

Python è lo strumento definitivo. Possiamo usare la libreria scipy.stats per il calcolo esatto o un ciclo semplice per la simulazione.

Soluzione con Simulazione (Veloce e versatile)

Questo codice simula 100.000 estrazioni di 20 articoli e conta quante soddisfano i tuoi criteri.

import numpy as np

# Parametri del problema
n = 20
p = [0.1, 0.6, 0.2, 0.1] # Eccellenti, Buoni, Discreti, Scarti
simulazioni = 100000

# Generiamo i campioni multinomiali
campioni = np.random.multinomial(n, p, size=simulazioni)

# Applichiamo i vincoli:
# x1 (indice 0) > x4 (indice 3)
# x2 (indice 1) >= 2 * x3 (indice 2)
successi = (campioni[:, 0] > campioni[:, 3]) & (campioni[:, 1] >= 2 * campioni[:, 2])

probabilita = np.mean(successi)
print(f"La probabilità stimata è: {probabilita:.4f}")

La probabilità stimata è: 0.3230

Soluzione Analitica (Esatta)

Se vuoi il valore matematico perfetto senza simulazioni, puoi iterare su tutte le combinazioni possibili:

from scipy.stats import multinomial

n = 20
p = [0.1, 0.6, 0.2, 0.1]
prob_totale = 0

for x1 in range(n + 1):
    for x2 in range(n - x1 + 1):
        for x3 in range(n - x1 - x2 + 1):
            x4 = n - x1 - x2 - x3
            # Verifica i vincoli
            if x1 > x4 and x2 >= 2*x3:
                prob_totale += multinomial.pmf([x1, x2, x3, x4], n, p)

print(f"La probabilità esatta è: {prob_totale:.4f}")

La probabilità esatta è: 0.3211