Statistica Bayesiana e Decisioni Pubbliche: 3 Esercizi Svolti di Analisi Economica

Testo

Il governo sta progettando una riduzione delle aliquote per i redditi medio-alti, sperando che ciò incentivi l’offerta di lavoro. Sia [math]p[/math] la proporzione di lavoratori che aumentano le ore lavorative in seguito al taglio fiscale. Il governo ha una convinzione iniziale (prior) che [math]p[/math] segua una distribuzione Beta con parametri [math]\alpha=2[/math], [math]\beta=2[/math] (simmetrica, media 0,5). Viene condotto un esperimento pilota su 100 lavoratori: 60 di essi dichiarano di aver aumentato le ore.

• a) Determinare la distribuzione a posteriori di [math]p[/math].
• b) Calcolare la media a posteriori e la probabilità che [math]p > 0,6[/math].
• c) Lo Stato adotta la riforma se la probabilità che [math]p > 0,5[/math] è almeno 80%. Cosa decide?

Soluzione 

1. Modello e prior

La prior è [math]p \sim \text{Beta}(\alpha=2, \beta=2)[/math].
Funzione di densità: [math]f(p) \propto p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1} = p^1(1-p)^1[/math].

2. Verosimiglianza

Su 100 lavoratori, 60 successi (aumento ore). Modello binomiale: [math]L(p) \propto p^{60}(1-p)^{40} [/math].

3. Posteriori (coniugata Beta)

La distribuzione a posteriori è Beta con parametri:

• [math]\alpha’ = \alpha + \text{successi} = 2 + 60 = 62[/math]
• [math]\beta’ = \beta + \text{fallimenti} = 2 + 40 = 42[/math]

Quindi: [math]p \mid \text{dati} \sim \text{Beta}(62,42)[/math].

4. Calcoli richiesti

Media a posteriori (per una Beta): [math]\frac{\alpha’}{\alpha’+\beta’} = \frac{62}{104} \approx 0,5962[/math]

Probabilità [math]P(p > 0,6)[/math] – si calcola con la funzione di ripartizione Beta. Valore esatto in tabella o software: [math]P(p \le 0,6) = I_{0,6}(62,42)[/math] (funzione Beta incompleta regolarizzata).

Approssimando: media 0,596, deviazione standard:

[math]\displaystyle
\sqrt{\frac{\alpha’\beta’}{(\alpha’+\beta’)^2(\alpha’+\beta’+1)}} \approx \sqrt{\frac{62 \cdot 42}{104^2 \cdot 105}} \approx 0,048
[/math]

Quindi [math]p > 0,6[/math] corrisponde a [math]z \approx (0,6 – 0,596)/0,048 \approx 0,083[/math] → probabilità ≈ 0,467 (in realtà dalla Beta esatta si ottiene circa 0,48). Lasciamo indicata la probabilità esatta: [math]P(p > 0,6) = 1 – I_{0,6}(62,42) \approx 0,48[/math] (per semplicità didattica accettiamo 0,48).

Probabilità [math]P(p > 0,5)[/math]: la mediana è circa 0,596, quindi è sicuramente > 0,5 con probabilità molto alta. Calcolo esatto: [math]P(p > 0,5) \approx 0,98[/math] (poiché la Beta(62,42) è fortemente concentrata attorno a 0,6).

5. Decisione

La probabilità che [math]p > 0,5[/math] è [math]\approx 0,98 > 0,80[/math], quindi lo Stato decide di adottare la riforma.

💡 Osservazione

La famiglia Beta è coniugata alla binomiale, semplificando l’aggiornamento: i parametri si sommano. La prior Beta(2,2) è una scelta “debole” (equivalente a 2 successi e 2 fallimenti immaginari). Dopo 100 osservazioni, i dati prevalgono sulla prior.

Risposta finale

[math]p \mid \text{dati} \sim \text{Beta}(62,42)[/math], media = [math]0,596[/math], [math]P(p > 0,6) \approx 0,48[/math], decisione: riforma adottata.

Domanda di riflessione

Perché si utilizza una distribuzione Beta e non una normale? E cosa significa “prior coniugata”?

🏛️ Commento Applicativo

Per comprendere a pieno il valore di questi esercizi, occorre analizzarli sotto la lente del policy-making del mondo reale, isolando le ragioni tecniche per cui ciascuno di essi rappresenta uno snodo concettuale classico.

La spia politica dello stato economico (Esercizio 1)

L’aspetto più sottile dell’Esercizio 1 è l’inversione logica del segnale: il governo non osserva lo stato reale dell’economia, ma osserva il comportamento del Parlamento. In economia pubblica, i corpi legislativi tendono a manifestare pattern di voto differenti a seconda del ciclo economico.

La peculiarità: In questo modello, un voto positivo del Parlamento funge da “proxy” (indicatore indiretto) della salute del paese. Il fatto che l’approvazione faccia salire la probabilità di recessione evidenzia un paradosso comune nelle democrazie: le riforme lacrime e sangue passano più facilmente quando l’emergenza è grave ([math]P(\text{approva}\mid R)=0,9[/math]). La statistica bayesiana impedisce al governo di cadere nell’errore di considerare l’approvazione come un semaforo verde economico, svelandone invece la natura di sintomo di una crisi in atto.

Il monitoraggio scientifico anti-bias (Esercizio 2)

L’Esercizio 2 riproduce fedelmente il processo di validazione delle leggi tramite comitati scientifici o agenzie di rating.

La peculiarità: L’aspetto cruciale è l’aggiornamento sequenziale. Spesso i decisori politici soffrono di bias di conferma: se un primo studio è positivo, tendono a considerare blindata la decisione. L’algoritmo bayesiano impone invece una severità metodologica: il secondo studio non azzera il passato, ma usa il passato come punto di partenza. Mostra inoltre che la cooperazione di più studi indipendenti, anche se singolarmente non infallibili (accuratezza del 70% o 80%), permette di raggiungere livelli di confidenza elevati (70% totali), ottimizzando i budget pubblici per la ricerca senza pretendere indagini iniziali perfette e costosissime.

Il superamento della dicotomia SI/NO ( Esercizio 3)

Mentre i precedenti due esercizi trattano decisioni binarie (la tassa funziona o non funziona), l’Esercizio 3 introduce il concetto di parametro continuo. Nella realtà, gli effetti di una riforma non sono mai in bianco e nero. Non ha senso chiedersi se una riduzione fiscale “funzionerà”, ma su quale quota percentuale della popolazione avrà effetto.

La peculiarità: Questo esercizio mostra la superiorità dell’approccio bayesiano rispetto alla statistica frequentista classica. Quest’ultima direbbe solo se l’effetto è statisticamente significativo o meno rispetto a zero. L’approccio bayesiano con distribuzione Beta permette invece al ministro delle finanze di fare affermazioni probabilistiche precise su soglie arbitrarie (es. “Qual è la probabilità che la riforma sia efficace su almeno il 50% dei lavoratori?”). Permette inoltre di quantificare il peso della conoscenza pregressa ([math]\alpha=2, \beta=2[/math]) e di vedere matematicamente come la forza dei dati campionari ([math]n=100[/math]) riesca a ridimensionare e “sovrascrivere” le convinzioni ideologiche iniziali del decisore.

Conclusione

La statistica bayesiana non elimina l’incertezza: la organizza.

Ogni nuova informazione non produce verità assolute, ma modifica razionalmente il grado di fiducia nelle ipotesi di partenza. In un mondo in cui i dati sono costantemente distorti da pregiudizi e pressioni politiche, l’approccio bayesiano rappresenta la matematizzazione del processo stesso di apprendimento politico, scientifico ed economico. Ci ricorda che cambiare idea di fronte all’evidenza non è un segno di debolezza politica, ma il pilastro fondamentale della razionalità decisionale.