La variabile aleatoria X che, fissato un intero positivo n, conta il numero di insuccessi che si ottengono prima di ottenere n successi, si chiama binomiale negativa di parametri — n, p, e si scrive X ∼B { — n, p).
Si può calcolare:
Se ci interessasse contare il numero Y di prove necessarie per ottenere n successi, basterebbe porre
Y = X + n
(il numero di prove è uguale al numero di insuccessi più il numero di successi),
e calcolare
Esempio
Si lancia un dado più volte, e si conta quante volte esce il 6.
a. Qual è la probabilità che per ottenere un 6 occorra lanciarlo più di 6 volte?
b. Qual è la probabilità che per ottenere 10 volte un 6 occorra lanciarlo più di 60 volte?
c. E qual è la probabilità dello stesso evento considerato in b se ora si sa che, arrivati al 52° lancio, il 6 è già uscito 9 volte?
Soluzione
Si tratta di un processo di Bernoulli di parametro p = 1/6.
a.
Sia X il numero di lanci necessari per ottenere il primo 6.
Si chiede di calcolare:
b.
Sia Y il numero di lanci necessari per ottenere 10 volte un 6, e Z il numero di “insuccessi” necessari per ottenere 10 volte un 6.
Allora:
Z ~ B ( – 10 , 1/6),
Y = Z + 10
Perciò:
c.
La probabilità dell’evento considerato in c é uguale alla probabilità dell’evento
“per ottenere il primo successo occorre lanciare il dado più di 8 volte”.
Dunque:
Esempio
In una linea produttiva, ogni pezzo prodotto ha la probabilità 0.03 di essere difettoso, indipendentemente dagli altri.
a. Qual è la probabilità che, su 100 pezzi prodotti, non più di 3 siano difettosi?
b. Un addetto esamina una sequenza di pezzi prodotti. Qual è la probabilità che il primo pezzo trovato difettoso sia il 15° pezzo ispezionato?
c. Qual è la probabilità che l’addetto trovi 100 pezzi sani prima di trovarne due difettosi?
d. Qual è la probabilità che l’addetto ispezioni esattamente 150 pezzi per trovarne 5 difettosi?
Soluzione
La produzione di pezzi in sequenza può vedersi come un processo di Bernoulli in cui la i-esima prova consiste nell’esaminare l’i-esimo pezzo prodotto.
“Successo” significa qui “pezzo difettoso”.
Per ipotesi sappiamo che ogni prova ha la stessa probabilità di successo, p = 0.03, e che gli eventi “all’i-esima prova si ha successo”
sono indipendenti.
a.
Sia X = “numero di pezzi difettosi, su 100 prodotti”. Per quanto detto.
X ~ B(n,p) con n = 100, p = 0.03.
Si chiede di calcolare
b.
Sia Y = “numero di pezzi da ispezionare per trovare il primo pezzo difettoso”.
Allora
Y ∼ G{p) = G(0.03). ( distribuzione geometrica)
Si chiede di calcolare:
c.
Sia Z = “numero di pezzi sani trovati prima di trovarne 2 difettosi”.
Allora
Z ∼ B (-2, 0.03)
Si chiede di calcolare:
d.
Sia W = “numero di pezzi ispezionati per trovarne 5 difettosi”.
Allora
