Teorema di Bayes Spiegato: 3 Esercizi Pratici su Assicurazioni, Rischi e Test Clinici

Facciamo un gioco. Hai guidato per anni senza mai graffiare la carrozzeria.

Poi, un martedì di pioggia, tamponi un’auto al semaforo. Al rinnovo della polizza, la compagnia assicurativa ti presenta il conto: il premio è aumentato vistosamente.

Ti sembra un’ingiustizia basata su un singolo errore?

Dal punto di vista umano, forse. Dal punto di vista statistico, la compagnia ha appena applicato una delle regole matematiche più potenti e spietate della storia: il Teorema di Bayes.

Il cervello umano fatica terribilmente con la probabilità condizionata. Tendiamo a valutare gli eventi in modo isolato, dimenticando il contesto generale (quella che gli statistici chiamano probabilità a priori). Che si tratti di stimare il rischio di un guidatore dopo un sinistro o di interpretare il risultato positivo di un test medico, l’intuizione ci inganna quasi sempre.

In questo articolo analizziamo la meccanica del Teorema di Bayes attraverso tre casi studio concreti e progressivi.

Niente teoria astratta: solo problemi reali, formule risolte passaggio per passaggio e qualche mini-quiz per testare i tuoi riflessi analitici.

Esercizio 1: La scelta dell’assicurazione auto (Livello Facile)

Testo

Una compagnia assicurativa ha suddiviso i suoi clienti in due categorie: Guidatori Prudenti (G) e Guidatori Sportivi (S). Un cliente scelto a caso risulta prudente con probabilità [math]P(G)=0.70[/math] e sportivo con probabilità [math]P(S)=0.30[/math].

La probabilità che un guidatore faccia un incidente nell’anno è:

• [math]P(I \mid G)=0.05[/math] (Prudenti)
• [math]P(I \mid S)=0.15[/math] (Sportivi)

Un nuovo cliente, Marco, ha fatto un incidente nel suo primo anno di polizza.

Domanda: Qual è la probabilità che Marco sia un guidatore sportivo?

Risoluzione

1. Identificare gli eventi e i dati noti

Ipotesi (cause): [math]G[/math] (Prudente) e [math]S[/math] (Sportivo). Sono mutuamente esclusive ed esaustive ([math]P(G)+P(S)=1[/math]). Queste sono le probabilità a priori.

Evidenza (dato osservato): [math]I[/math] (incidente).

Obiettivo: Calcolare la probabilità a posteriori [math]P(S \mid I)[/math], cioè la probabilità che Marco sia sportivo dato che ha avuto un incidente.

2. Applicare il Teorema di Bayes

La formula generale per la probabilità a posteriori di un’ipotesi [math]H_i[/math] data l’evidenza [math]E[/math] è:

[math]\displaystyle P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) \cdot P(H_i)}{\sum_{j} P(E \mid H_j) \cdot P(H_j)}[/math]

Nel nostro caso:

[math]\displaystyle P(S \mid I) = \frac{P(I \mid S) \cdot P(S)}{P(I \mid G) \cdot P(G) + P(I \mid S) \cdot P(S)}[/math]

Segui i rami fino alla fine: solo il 3.5% dell’intera popolazione fa un incidente guidando con prudenza, contro il 4.5% di chi guida sportivo. Mettendo insieme tutti gli incidentati (8.0%), gli sportivi rappresentano la maggioranza assoluta (56.25\%).

3. Sostituire i valori e calcolare

Numeratore: [math]0.15 \cdot 0.30 = 0.045[/math]

Denominatore (Probabilità Totale dell’Evidenza):

Questo è [math]P(I)[/math], la probabilità complessiva che un cliente scelto a caso faccia un incidente.

[math]P(I) = (0.05 \cdot 0.70) + (0.15 \cdot 0.30) = 0.035 + 0.045 = 0.08[/math]

Calcolo finale:

[math]\displaystyle P(S \mid I) = \frac{0.045}{0.08} = 0.5625[/math]

Risultato: La probabilità che Marco sia un guidatore sportivo, sapendo che ha avuto un incidente, è del 56.25%.

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Esercizio 2: Il test del fumatore (Livello Medio-Facile)

Testo

Un’assicurazione sulla vita utilizza un test biochimico per identificare i fumatori abituali. Il test ha le seguenti caratteristiche:

• Sensibilità: [math]P(Test^+ \mid Fumatore) = 0.95[/math] (probabilità di risultare positivo se si è fumatori)
• Specificità: [math]P(Test^- \mid NonFumatore) = 0.90[/math] (probabilità di risultare negativo se non si è fumatori)

La percentuale di fumatori nella popolazione assicurata è del [math]25\%[/math].

Domanda: Se un candidato risulta positivo al test, qual è la probabilità che sia effettivamente un fumatore?

Risoluzione

1. Definire gli eventi e le probabilità

Ipotesi: [math]F[/math] (Fumatore) e [math]\bar{F}[/math] (Non Fumatore). [math]P(F) = 0.25[/math], [math]P(\bar{F}) = 0.75[/math].

Evidenza: [math]T^+[/math] (Test Positivo).

Dati sulla performance del test:

• [math]P(T^+ \mid F) = 0.95[/math]
• [math]P(T^- \mid \bar{F}) = 0.90 \Rightarrow P(T^+ \mid \bar{F}) = 1 – 0.90 = 0.10[/math] (Tasso di falsi positivi)

2. Obiettivo

Calcolare [math]P(F \mid T^+)[/math].

3. Applicare il Teorema di Bayes

[math]\displaystyle P(F \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid F) \cdot P(F)}{P(T^+ \mid F) \cdot P(F) + P(T^+ \mid \bar{F}) \cdot P(\bar{F})}[/math]

4. Sostituire e calcolare

Numeratore: [math]0.95 \cdot 0.25 = 0.2375[/math]

Denominatore (Probabilità Totale): [math]P(T^+) = (0.95 \cdot 0.25) + (0.10 \cdot 0.75) = 0.2375 + 0.075 = 0.3125[/math]

Calcolo finale:

[math]\displaystyle P(F \mid T^+) = \frac{0.2375}{0.3125} = 0.76[/math]

Risultato: La probabilità che un candidato con test positivo sia un fumatore è del 76%.

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Esercizio 3: Il sinistro e il codificatore tariffario (Livello Medio)

Testo

Una compagnia assicurativa ha sviluppato un modello di tariffazione che classifica gli assicurati in tre livelli di rischio in base a un punteggio:

• Rischio Basso (B): [math]5\%[/math] dei clienti. Probabilità di sinistro annuo [math]P(S \mid B) = 0.01[/math].
• Rischio Medio (M): [math]70\%[/math] dei clienti. Probabilità di sinistro annuo [math]P(S \mid M) = 0.04[/math].
• Rischio Alto (A): [math]25\%[/math] dei clienti. Probabilità di sinistro annuo [math]P(S \mid A) = 0.10[/math].

Luca, un nuovo assicurato, ha presentato un sinistro nel primo anno.

Domanda: Qual è la probabilità che Luca appartenga a ciascuna delle tre classi di rischio?

Risoluzione

1. Identificare gli eventi

Ipotesi: [math]B, M, A[/math] (esaustive e mutuamente esclusive).

[math]P(B) = 0.05, \quad P(M) = 0.70, \quad P(A) = 0.25[/math] (Probabilità a priori).

Evidenza: [math]S[/math] (sinistro).

Obiettivo: Calcolare [math]P(B \mid S), P(M \mid S), P(A \mid S)[/math].

2. Calcolare la probabilità totale dell’evidenza [math]P(S)[/math]

È la media ponderata delle probabilità di sinistro per ogni classe.

[math]\displaystyle P(S) = P(S \mid B) \cdot P(B) + P(S \mid M) \cdot P(M) + P(S \mid A) \cdot P(A)[/math]

[math]P(S) = (0.01 \cdot 0.05) + (0.04 \cdot 0.70) + (0.10 \cdot 0.25) = 0.0005 + 0.028 + 0.025 = 0.0535[/math]

3. Applicare il Teorema di Bayes per ogni classe

Per la classe Bassa:

[math]\displaystyle P(B \mid S) = \frac{P(S \mid B) \cdot P(B)}{P(S)} = \frac{0.0005}{0.0535} \approx 0.00935[/math] (La probabilità è circa lo 0.94%)

Per la classe Media:

[math]\displaystyle P(M \mid S) = \frac{P(S \mid M) \cdot P(M)}{P(S)} = \frac{0.028}{0.0535} \approx 0.5234[/math] (La probabilità è circa il 52.34%)

Per la classe Alta:

[math]\displaystyle P(A \mid S) = \frac{P(S \mid A) \cdot P(A)}{P(S)} = \frac{0.025}{0.0535} \approx 0.4673[/math] (La probabilità è circa il 46.73%)

4. Verifica della coerenza

La somma delle probabilità a posteriori deve essere uguale a 1 (arrotondamenti esclusi):

[math]0.00935 + 0.5234 + 0.4673 \approx 1.0000[/math]. ✅

Risultato: Sapendo che Luca ha avuto un sinistro, è molto più probabile che appartenga alla classe Media (52.3%) o Alta (46.7%), mentre è quasi impossibile che sia a Basso Rischio (0.9%).

Guarda come la barra del “Rischio Basso” venga quasi completamente cancellata da un singolo sinistro (passando dal 5% a meno dell’1%). Al tempo stesso, il “Rischio Alto” balza in avanti, raddoppiando il suo peso iniziale e tallonando la categoria media.

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Sezione Risposte ai Mini-Quiz

Risposte Esercizio 1

Proprietà fondamentale: Ho usato la legge della probabilità totale per calcolare il denominatore [math]P(I)[/math]. Questa legge afferma che la probabilità di un evento [math]E[/math] può essere calcolata come la media ponderata delle sue probabilità condizionate rispetto a una partizione dello spazio campionario (in questo caso, le ipotesi [math]G[/math] e [math]S[/math]).

Cosa succede se [math]P(S)[/math] scende al 15%?: La probabilità a posteriori diminuirebbe.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Nuovo } P(I) &= (0.05 \cdot 0.85) + (0.15 \cdot 0.15) \\
&= 0.0425 + 0.0225 = 0.065
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle P(S \mid I) = \frac{0.0225}{0.065} \approx 0.346[/math] (34.6%).

Questo mostra che la probabilità a posteriori è molto sensibile alla probabilità a priori: se l’ipotesi è meno probabile a priori, anche un’evidenza a suo favore la sosterrà di meno.

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Risposte Esercizio 2

[math]P(F \mid T^+)[/math] è MINORE di [math]P(T^+ \mid F)[/math] (76% < 95%). Distinguerle è fondamentale perché sono due probabilità inverse:

• [math]P(T^+ \mid F)[/math] è una caratteristica del test (quanto è sensibile nel trovare i veri positivi).
• [math]P(F \mid T^+)[/math] è la conseguenza per il paziente/candidato (qual è il rischio effettivo di essere malato dopo un test positivo). La confusione tra queste due è alla base del paradosso del falso positivo.

Se [math]P(F) = 50\%[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Nuovo } P(T^+) &= (0.95 \cdot 0.50) + (0.10 \cdot 0.50) \\
&= 0.475 + 0.050 = 0.525
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle P(F \mid T^+) = \frac{0.475}{0.525} \approx 0.905[/math] (90.5%).

Aumenta molto perché i falsi positivi, provenendo dal 50% di sani, pesano meno in proporzione.

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Risposte Esercizio 3

Perché [math]P(B \mid S)[/math] è così bassa?

[math]P(B \mid S)[/math] è bassa perché [math]P(S \mid B)[/math] è estremamente bassa (1%). Se un sinistro è un evento molto raro per i bassi rischi, allora è molto improbabile che un sinistro provenga da quella categoria, indipendentemente dal fatto che essa esista.

Perché la somma delle posteriori è sempre 1?

La somma delle posteriori è 1 perché l’insieme delle ipotesi ([math]B, M, A[/math]) è una partizione dello spazio campionario: ogni cliente deve appartenere a una e una sola classe. Le probabilità a posteriori sono una ripartizione del “credito” probabilistico dell’evidenza [math]S[/math] tra tutte le possibili cause.

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