Distribuzione di Pascal (Binomiale Negativa): Teoria, Formula ed Esercizi Risolti

Distribuzione di Pascal (Binomiale Negativa): Guida Completa ed Esercizi Risolti

La distribuzione di Pascal, spesso conosciuta come distribuzione binomiale negativa, è uno strumento statistico fondamentale utilizzato per modellare il numero di insuccessi che si verificano prima di raggiungere un numero prefissato di successi in una sequenza di prove indipendenti di Bernoulli. Trova applicazione in svariati ambiti, tra cui controllo qualità, medicina, marketing, finanza ed ecologia.

Comprendere questa distribuzione ci permette di rispondere a domande come: “Quanti tentativi falliti possiamo aspettarci prima di ottenere il nostro terzo successo?” o “Qual è la probabilità di raggiungere un certo numero di successi entro un determinato numero di tentativi totali?”.

Cos’è una Prova di Bernoulli?

Prima di addentrarci nella distribuzione di Pascal, ricordiamo brevemente cosa sono le prove di Bernoulli. Una prova di Bernoulli è un esperimento casuale con solo due possibili esiti: “successo” (con probabilità $p$) e “insuccesso” (con probabilità $1-p$). Le prove di Bernoulli sono indipendenti l’una dall’altra, il che significa che l’esito di una prova non influenza l’esito delle successive.

 

Definizione della Distribuzione di Pascal (Binomiale Negativa)

La distribuzione di Pascal nasce dalla volontà di modellare il processo di ottenimento di un numero fisso di successi in una sequenza di prove di Bernoulli. Esistono due definizioni comuni della variabile aleatoria che segue questa distribuzione:

Numero di Insuccessi (X)

La variabile aleatoria X rappresenta il numero di insuccessi che precedono l’ottenimento del k-esimo successo in una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo p.

• Il supporto di X sono i numeri interi non negativi: [math]x \in \{0, 1, 2, \ldots\}[/math].
• La funzione di probabilità (PMF) per questa definizione è:
  [math]P(X=x) = \binom{x+k-1}{k-1} p^k (1-p)^x \quad \text{per } x = 0, 1, 2, \ldots[/math]
  (o equivalentemente [math]\binom{x+k-1}{x} p^k (1-p)^x[/math], dato che [math]\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}[/math])

Numero Totale di Prove (Y)

La variabile aleatoria Y rappresenta il numero totale di prove necessarie per ottenere il k-esimo successo in una sequenza di prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo p.

• Il supporto di Y sono i numeri interi maggiori o uguali a k: [math]y \in \{k, k+1, k+2, \ldots\}[/math].
• La funzione di probabilità (PMF) per questa definizione è:
  [math]P(Y=y) = \binom{y-1}{k-1} p^k (1-p)^{y-k} \quad \text{per } y = k, k+1, k+2, \ldots[/math]
  (o equivalentemente [math]\binom{y-1}{y-k} p^k (1-p)^{y-k}[/math])

Relazione tra le due Definizioni:

È facile vedere che se Y è il numero totale di prove e k è il numero di successi, allora il numero di insuccessi X sarà Y−k. Quindi, [math]Y = X + k[/math]. Questa relazione lega le due definizioni. La scelta di quale definizione usare dipende spesso dalla formulazione del problema o dalla convenzione adottata.

Perché la Formula Funziona?

Consideriamo la seconda definizione (numero totale di prove Y=y). Per ottenere il k-esimo successo esattamente alla y-esima prova, devono verificarsi due condizioni:

1. Ci devono essere esattamente k−1 successi nelle prime y−1 prove.
2. La y-esima prova deve essere un successo.

La probabilità della seconda condizione è [math]p[/math]. La probabilità della prima condizione è data dalla distribuzione binomiale:

[math]\binom{y-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{(y-1)-(k-1)} = \binom{y-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{y-k}.[/math]

Moltiplicando le probabilità delle due condizioni indipendenti si ottiene la formula per [math]P(Y=y)[/math]:

[math]\binom{y-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{y-k} \cdot p = \binom{y-1}{k-1} p^k (1-p)^{y-k}.[/math]

Un ragionamento analogo si può fare per la prima definizione (X=x insuccessi prima del k-esimo successo, che quindi avviene alla prova x+k).

Caratteristiche della Distribuzione

Le caratteristiche come la media e la varianza dipendono dalla definizione di variabile aleatoria utilizzata:

Per X (Numero di Insuccessi):

• Media: [math]E[X] = \frac{k(1-p)}{p}[/math]
• Varianza: [math]Var(X) = \frac{k(1-p)}{p^2}[/math]

Per Y (Numero Totale di Prove):

• Media: [math]E[Y] = \frac{k}{p}[/math]
• Varianza: [math]Var(Y) = \frac{k(1-p)}{p^2}[/math]

Notiamo che [math]E[Y] = E[X] + k[/math], coerentemente con la relazione [math]Y = X + k[/math]. La varianza è la stessa per entrambe le definizioni. Le derivazioni di queste formule richiedono l’uso di strumenti come la funzione generatrice dei momenti, che esulano dall’obiettivo di questa guida introduttiva.

Relazione con la Distribuzione Geometrica

Un caso speciale importante della distribuzione di Pascal si ha quando il numero di successi desiderati è [math]k = 1[/math].

Se usiamo la Def. 1 (Numero di Insuccessi X prima del 1° successo):

La PMF diventa

[math]P(X=x) = \binom{x+1-1}{1-1} p^1 (1-p)^x = \binom{x}{0} p (1-p)^x = p(1-p)^x[/math] per [math]x = 0, 1, 2, \ldots[/math].

Questa è la PMF della distribuzione Geometrica che modella il numero di insuccessi prima del primo successo.

Se usiamo la Def. 2 (Numero Totale di Prove Y per il 1° successo):

La PMF diventa

[math]P(Y=y) = \binom{y-1}{1-1} p^1 (1-p)^{y-1} = \binom{y-1}{0} p (1-p)^{y-1} = p(1-p)^{y-1}[/math] per [math]y = 1, 2, 3, \ldots[/math].

Questa è la PMF della distribuzione Geometrica che modella il numero totale di prove per il primo successo.

La distribuzione Geometrica è quindi un caso particolare della Binomiale Negativa (Pascal).

 

Esercizi Risolti sulla Distribuzione di Pascal

Vediamo ora alcuni esercizi per applicare quanto abbiamo imparato. Specificheremo per ciascuno se la domanda si riferisce al numero di insuccessi (X) o al numero totale di prove (Y).

Esercizio 1: Probabilità di successo al terzo tentativo (Totale Prove)

Un giocatore di basket ha una probabilità di successo del 70% ([math]p=0.7[/math]) ogni tiro libero. Qual è la probabilità che realizzi il terzo canestro ([math]k=3[/math]) esattamente al quinto tiro totale ([math]y=5[/math])?

Stiamo cercando [math]P(Y=5)[/math] con [math]k=3[/math], [math]p=0.7[/math]. Usiamo la formula per il numero totale di prove:

[math]P(Y=y) = \binom{y-1}{k-1} p^k (1-p)^{y-k}[/math]

[math]P(Y=5) = \binom{5-1}{3-1} (0.7)^3 (1-0.7)^{5-3}[/math]

[math]P(Y=5) = \binom{4}{2} (0.7)^3 (0.3)^2[/math]

[math]P(Y=5) = 6 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.18522[/math]

La probabilità è circa 18.52%.

Esercizio 2: Tempo di attesa per il secondo successo (Totale Prove)

Un pescatore cattura un pesce con probabilità 0.4 ([math]p=0.4[/math]) per ogni lancio. Qual è la probabilità di catturare il secondo pesce ([math]k=2[/math]) esattamente al sesto lancio totale ([math]y=6[/math])?

Stiamo cercando [math]P(Y=6)[/math] con [math]k=2[/math], [math]p=0.4[/math]. Usiamo la formula per il numero totale di prove:

[math]P(Y=6) = \binom{6-1}{2-1} (0.4)^2 (1-0.4)^{6-2}[/math]

[math]P(Y=6) = \binom{5}{1} (0.4)^2 (0.6)^4[/math]

[math]P(Y=6) = 5 \cdot 0.16 \cdot 0.1296 = 0.10368[/math]

La probabilità è circa 10.37%.

Esercizio 3: Controllo qualità industriale (Totale Prove)

Una fabbrica produce chip con probabilità di difettosità del 5% ([math]p=0.05[/math]). Qual è la probabilità che il quinto chip difettoso ([math]k=5[/math], consideriamo “difettoso” come successo per questa distribuzione) appaia esattamente al centesimo controllo totale ([math]y=100[/math])?

Stiamo cercando [math]P(Y=100)[/math] con [math]k=5[/math], [math]p=0.05[/math]. Usiamo la formula per il numero totale di prove:

[math]P(Y=100) = \binom{100-1}{5-1} (0.05)^5 (1-0.05)^{100-5}[/math]

[math]P(Y=100) = \binom{99}{4} (0.05)^5 (0.95)^{95}[/math]

Il calcolo di questo valore richiede software statistico o calcolatrici avanzate:

[math]\binom{99}{4} \approx 3.764.376[/math]

[math](0.05)^5 = 0.0000003125[/math]

[math](0.95)^{95} \approx 0.0067[/math]

[math]P(Y=100) \approx 3.764.376 \cdot 0.0000003125 \cdot 0.0067 \approx 0.0079[/math]

La probabilità è circa 0.79%.

Esercizio 4: Analisi di call center (Totale Prove)

Un call center ha successo nel 10% ([math]p=0.1[/math]) delle chiamate. Qual è la probabilità di necessitare almeno 20 chiamate totali ([math]Y \geq 20[/math]) per ottenere 3 successi ([math]k=3[/math])?

Stiamo cercando [math]P(Y \geq 20)[/math] con [math]k=3[/math], [math]p=0.1[/math]. È più facile calcolare la probabilità complementare: [math]P(Y \geq 20) = 1 – P(Y < 20) = 1 – P(Y \leq 19)[/math].

[math]P(Y \leq 19)[/math] è la somma delle probabilità che il terzo successo avvenga alla 3ª, 4ª, …, fino alla 19ª chiamata:

[math]P(Y \leq 19) = \sum_{y=k}^{19} P(Y=y) = \sum_{y=3}^{19} \binom{y-1}{3-1} (0.1)^3 (1-0.1)^{y-3}[/math]

[math]P(Y \leq 19) = \sum_{y=3}^{19} \binom{y-1}{2} (0.1)^3 (0.9)^{y-3}[/math]

Questa somma richiede un calcolo numerico esteso. Utilizzando software statistico si ottiene che [math]P(Y \leq 19) \approx 0.577[/math].

[math]P(Y \geq 20) = 1 – P(Y \leq 19) \approx 1 – 0.577 = 0.423[/math]

La probabilità è circa 42.3%.

Esercizio 5: Algoritmi di ricerca (Caratteristiche)

Un algoritmo ha successo con [math]p=0.2[/math]. Calcolare valore atteso e varianza per ottenere 4 successi ([math]k=4[/math]).

Possiamo calcolare il valore atteso sia per il numero di insuccessi (X) che per il numero totale di prove (Y), e la varianza (che è la stessa per entrambi).

Valore Atteso del Numero di Insuccessi (X):

[math]E[X] = \frac{k(1-p)}{p} = \frac{4 \cdot (1-0.2)}{0.2} = \frac{4 \cdot 0.8}{0.2} = \frac{3.2}{0.2} = 16[/math]

In media, ci si aspetta 16 insuccessi prima di ottenere 4 successi.

Valore Atteso del Numero Totale di Prove (Y):

[math]E[Y] = \frac{k}{p} = \frac{4}{0.2} = 20[/math]

In media, ci si aspettano 20 prove totali per ottenere 4 successi. (Notare: 16 + 4 = 20).

Varianza (sia per X che per Y):

[math]Var(X) = Var(Y) = \frac{k(1-p)}{p^2} = \frac{4 \cdot (1-0.2)}{(0.2)^2} = \frac{4 \cdot 0.8}{0.04} = \frac{3.2}{0.04} = 80[/math]

La varianza è 80.

Esercizio 6: Eventi rari in ecologia (Totale Prove)

Avvistamento farfalle rare (probabilità [math]p=0.02[/math] al giorno). Calcolare la probabilità di osservare 5 farfalle ([math]k=5[/math]) esattamente al 100° giorno totale ([math]y=100[/math]).

Stiamo cercando [math]P(Y=100)[/math] con [math]k=5[/math], [math]p=0.02[/math]. Usiamo la formula per il numero totale di prove:

[math]P(Y=100) = \binom{100-1}{5-1} (0.02)^5 (1-0.02)^{100-5}[/math]

[math]P(Y=100) = \binom{99}{4} (0.02)^5 (0.98)^{95}[/math]

Anche questo calcolo richiede software:

[math]P(Y=100) \approx \binom{99}{4} \cdot (0.02)^5 \cdot (0.98)^{95} \approx 3.764.376 \cdot (3.2 \times 10^{-9}) \cdot 0.142 \approx 0.00171[/math]

La probabilità è circa 0.171%.

 

Esercizio 7: Produzione industriale (Numero di Insuccessi)

Una macchina produce pezzi con una probabilità di successo (pezzo conforme) del 90% ([math]p=0.9[/math]). Qual è la probabilità di ottenere esattamente 2 pezzi difettosi (insuccessi, [math]x=2[/math]) prima di produrre il terzo pezzo conforme ([math]k=3[/math])?

Stiamo cercando [math]P(X=2)[/math] con [math]k=3[/math], [math]p=0.9[/math]. Usiamo la formula per il numero di insuccessi:

[math]P(X=x) = \binom{x+k-1}{k-1} p^k (1-p)^x[/math]

[math]P(X=2) = \binom{2+3-1}{3-1} (0.9)^3 (1-0.9)^2[/math]

[math]P(X=2) = \binom{4}{2} (0.9)^3 (0.1)^2[/math]

[math]P(X=2) = 6 \cdot 0.729 \cdot 0.01 = 0.04374[/math]

La probabilità è circa 4.37%.

Esercizio 8: Vendite (Numero di Insuccessi)

Un venditore ha una probabilità del 20% ([math]p=0.2[/math]) di concludere una vendita con ciascun potenziale cliente. Qual è la probabilità che egli debba parlare con 4 clienti che non acquistano (insuccessi, [math]x=4[/math]) prima di concludere la sua seconda vendita ([math]k=2[/math])?

Stiamo cercando [math]P(X=4)[/math] con [math]k=2[/math], [math]p=0.2[/math]. Usiamo la formula per il numero di insuccessi:

[math]P(X=4) = \binom{4+2-1}{2-1} (0.2)^2 (1-0.2)^4[/math]

[math]P(X=4) = \binom{5}{1} (0.2)^2 (0.8)^4[/math]

[math]P(X=4) = 5 \cdot 0.04 \cdot 0.4096 = 0.08192[/math]

La probabilità è circa 8.19%.

Esercizio 9: Applicazione medica (Numero di Insuccessi)

Un trattamento ha successo nel 75% ([math]p=0.75[/math]) dei casi. Qual è la probabilità che 3 pazienti non rispondano (insuccessi, [math]x=3[/math]) prima di osservare il secondo successo ([math]k=2[/math]) del trattamento?

Stiamo cercando [math]P(X=3)[/math] con [math]k=2[/math], [math]p=0.75[/math]. Usiamo la formula per il numero di insuccessi:

[math]P(X=3) = \binom{3+2-1}{2-1} (0.75)^2 (1-0.75)^3[/math]

[math]P(X=3) = \binom{4}{1} (0.75)^2 (0.25)^3[/math]

[math]P(X=3) = 4 \cdot 0.5625 \cdot 0.015625 = 0.03515625[/math]

La probabilità è circa 3.52%.

Esercizio 10: Ecologia (Numero di Insuccessi – Geometrica)

Un ricercatore osserva un animale raro che compare con una probabilità del 10% ([math]p=0.1[/math]) per ogni osservazione. Qual è la probabilità che debba attendere 5 insuccessi (insuccessi, [math]x=5[/math]) prima di avvistarlo la prima volta ([math]k=1[/math])?

Stiamo cercando [math]P(X=5)[/math] con [math]k=1[/math], [math]p=0.1[/math]. Usiamo la formula per il numero di insuccessi (caso Geometrica con k=1):

[math]P(X=5) = \binom{5+1-1}{1-1} (0.1)^1 (1-0.1)^5[/math]

[math]P(X=5) = \binom{5}{0} (0.1) (0.9)^5[/math]

[math]P(X=5) = 1 \cdot 0.1 \cdot 0.59049 = 0.059049[/math]

La probabilità è circa 5.90%.

Esercizio 11: Marketing digitale (Numero di Insuccessi)

Un’azienda converte il 20% ([math]p=0.2[/math]) dei lead in clienti paganti (successo). Qual è la probabilità che debba ricevere 6 rifiuti (insuccessi, [math]x=6[/math]) prima di chiudere il suo secondo contratto ([math]k=2[/math])?

Stiamo cercando [math]P(X=6)[/math] con [math]k=2[/math], [math]p=0.2[/math]. Usiamo la formula per il numero di insuccessi:

[math]P(X=6) = \binom{6+2-1}{2-1} (0.2)^2 (1-0.2)^6[/math]

[math]P(X=6) = \binom{7}{1} (0.2)^2 (0.8)^6[/math]

[math]P(X=6) = 7 \cdot 0.04 \cdot 0.262144 = 0.07339392[/math]

La probabilità è circa 7.34%.

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