Diagnostica Bayesiana: Aggiornamento Probabilità

Il Teorema di Bayes

👉Capire il Teorema di Bayes passo a passo

Approfondimento teorico e matematico

Il teorema di Bayes, formalizzato da Thomas Bayes, è uno strumento fondamentale nella teoria della probabilità e nella statistica.

Formula:
- [math]P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}[/math]
- Dove:
  - [math]P(A|B)[/math] è la probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B.
  - [math]P(B|A)[/math] è la probabilità condizionata dell’evento B dato l’evento A.
  - [math]P(A)[/math] è la probabilità a priori dell’evento A.
  - [math]P(B)[/math] è la probabilità a priori dell’evento B.
Significato:
- Il teorema permette di aggiornare la probabilità di un evento (A) sulla base di nuove evidenze (B). In altre parole, ci consente di passare dalla probabilità a priori (prima di osservare l’evidenza) alla probabilità a posteriori (dopo aver osservato l’evidenza).
Applicazioni:
- Il teorema di Bayes ha numerose applicazioni in diversi campi, tra cui:
  - Diagnostica medica
  - Filtri antispam
  - Intelligenza artificiale
  - Finanza

Esempio iterativo del Teorema di Bayes nella diagnostica di macchinari

Questo esempio dettagliato mostra come il Teorema di Bayes può essere applicato in modo iterativo, aggiornando la probabilità ogni volta che arriva una nuova informazione.

Contesto: Diagnostica di una macchina industriale

Un’azienda vuole monitorare lo stato di un macchinario critico. Sappiamo che:

Probabilità a priori che la macchina sia guasta (G): [math]P(G)=1\%[/math] (quindi [math]P(\neg G)=99\%[/math]).
Due test indipendenti [math]T_1[/math] e [math]T_2[/math] possono essere effettuati per rilevare il guasto:

Test 1 (T₁)

Se la macchina è guasta, [math]T_1[/math] è positivo con probabilità [math]P(T_1^+|G)=90\%[/math].
Se la macchina è funzionante, [math]T_1[/math] dà un falso positivo con probabilità [math]P(T_1^+|\neg G)=5\%[/math].

Test 2 (T₂)

Se la macchina è guasta, [math]T_2[/math] è positivo con probabilità [math]P(T_2^+|G)=80\%[/math].
Se la macchina è funzionante, [math]T_2[/math] dà un falso positivo con probabilità [math]P(T_2^+|\neg G)=10\%[/math].

Passo 1: Prima evidenza (Test 1 positivo)

Applichiamo Bayes dopo [math]T_1^+[/math]:

[math]P(G|T_1^+)=\frac{P(T_1^+|G)P(G)}{P(T_1^+)}=\frac{0.90 \cdot 0.01}{P(T_1^+)}[/math]

Calcoliamo [math]P(T_1^+)[/math]:

[math]P(T_1^+)=P(T_1^+|G)P(G)+P(T_1^+|\neg G)P(\neg G)=0.90 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99 = 0.009 + 0.0495 = 0.0585[/math]

Quindi:

[math]P(G|T_1^+)=\frac{0.009}{0.0585} \approx 0.1538[/math] (15.38%)

Interpretazione: Dopo un primo test positivo, la probabilità che la macchina sia guasta sale dall’1% al 15.38%.

Passo 2: Seconda evidenza (Test 2 positivo)

Ora usiamo il risultato del Passo 1 come nuova probabilità a priori e applichiamo Bayes per [math]T_2^+[/math]:

Nuova [math]P(G) = 15.38\%[/math] (da [math]P(G|T_1^+)[/math]).

Nuova [math]P(\neg G) = 84.62\%[/math].

Applichiamo Bayes:

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^+)=\frac{P(T_2^+|G) \cdot P(G|T_1^+)}{P(T_2^+)}[/math]

Dove:

[math]P(T_2^+)=P(T_2^+|G)P(G|T_1^+)+P(T_2^+|\neg G)P(\neg G|T_1^+)[/math]

Sostituendo:

[math]P(T_2^+)=0.80 \cdot 0.1538 + 0.10 \cdot 0.8462 = 0.12304 + 0.08462 = 0.20766[/math]

Quindi:

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^+)=\frac{0.80 \cdot 0.1538}{0.20766} \approx \frac{0.12304}{0.20766} \approx 0.5925[/math] (59.25%)

Interpretazione: Dopo due test positivi, la probabilità che la macchina sia guasta sale dal 15.38% al 59.25%.

Passo 3: Terza evidenza (Test 2 negativo, se effettuato nuovamente)

Supponiamo ora che un secondo test [math]T_2[/math] sia negativo (cioè [math]T_2^-[/math]). Usiamo l’ultima probabilità aggiornata ([math]P(G)=59.25\%[/math]) come nuova prior.

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Applichiamo Bayes:

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^+ \cap T_2^-)=\frac{P(T_2^-|G) \cdot P(G|T_1^+ \cap T_2^+)}{P(T_2^-)}[/math]

Dove:

[math]P(T_2^-|G)=1-P(T_2^+|G)=1-0.80=0.20[/math]

[math]P(T_2^-|\neg G)=1-P(T_2^+|\neg G)=1-0.10=0.90[/math]

Calcoliamo [math]P(T_2^-)[/math]:

[math]P(T_2^-)=P(T_2^-|G)P(G)+P(T_2^-|\neg G)P(\neg G)=0.20 \cdot 0.5925 + 0.90 \cdot 0.4075[/math]

[math]P(T_2^-)=0.1185 + 0.36675 = 0.48525[/math]

Quindi:

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^+ \cap T_2^-)=\frac{0.20 \cdot 0.5925}{0.48525} \approx \frac{0.1185}{0.48525} \approx 0.2442[/math] (24.42%)

Interpretazione: Un test negativo successivo riduce la probabilità da 59.25% a 24.42%, mostrando come Bayes si adatti dinamicamente alle nuove evidenze.

Riepilogo delle probabilità aggiornate

Evidenza	Probabilità P(G)	Interpretazione
A priori	1%	Probabilità iniziale di guasto.
Dopo T₁⁺	15.38%	Un primo test positivo aumenta significativamente il rischio.
Dopo T₁⁺ ∩ T₂⁺	59.25%	Due test positivi rendono il guasto più probabile.
Dopo T₁⁺ ∩ T₂⁺ ∩ T₂^–	24.42%	Un test negativo riduce la probabilità, ma resta alta.

Conclusione

Questo esempio mostra come il Teorema di Bayes possa essere applicato iterativamente per aggiornare le probabilità in base a nuove evidenze:

Ogni nuova informazione modifica la probabilità a priori.
Il risultato è un approccio dinamico alla stima delle probabilità, utile in contesti produttivi, diagnostici e decisionali.
L’ordine e la qualità delle evidenze (falsi positivi/negativi) influenzano il risultato finale.

Perché è utile?

In un ambiente industriale, permette di prendere decisioni sotto incertezza (es.: fermare la produzione per manutenzione?).
Mostra l’importanza di test ripetuti e affidabili per ridurre l’incertezza.

Ecco la visualizzazione grafica dell’esempio precedente, con due strumenti utili per comprendere l’aggiornamento iterativo delle probabilità usando il Teorema di Bayes:

1. Grafico dell’Andamento delle Probabilità

Ecco come evolve $P (G)$ dopo ogni evidenza (test):

import matplotlib.pyplot as plt

steps = ["A priori", "Dopo T₁⁺", "Dopo T₁⁺ e T₂⁺", "Dopo T₁⁺, T₂⁺ e T₂⁻"]
probabilities = [1, 15.38, 59.25, 24.42] # in percentuale

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(steps, probabilities, marker='o', linestyle='-', color='b')
plt.xlabel("Passi (Test effettuati)")
plt.ylabel("Probabilità di guasto P(G) (%)")
plt.title("Aggiornamento iterativo di P(G) con il Teorema di Bayes")
plt.grid(True)
plt.ylim(0, 100)
plt.show()

Interpretazione:

La probabilità iniziale (1%) sale drasticamente dopo il primo test positivo (15.38%).
Con un secondo test positivo, supera il 50% (59.25%).
Un successivo test negativo la riduce, ma non la riporta ai livelli iniziali (24.42%).

Diagramma ad Albero delle Probabilità

Ecco una rappresentazione ad albero delle prime due evidenze ( e ):

                       [Inizio: P(G)=1%]
                             |
                -------------------------------
               |                               |
           T₁⁺ (15.38%)                   T₁⁻ (0.84%) 
              / \                             / \
         T₂⁺ (59.25%) T₂⁻ (3.67%)      T₂⁺ (1.58%) T₂⁻ (0.08%)

Spiegazione dei nodi nell’applicazione iterativa del Teorema di Bayes

Questa pagina illustra i diversi percorsi possibili e l’impatto di ciascun test nella diagnostica della macchina industriale, come descritto nell’esempio precedente.

Primo livello (T₁)

Dopo aver effettuato il primo test (T₁), abbiamo due possibili risultati:

Ramo sinistro (T₁⁺): Test 1 positivoLa probabilità che la macchina sia guasta dato che il Test 1 è positivo è:[math]P(G|T_1^+)=15.38\%[/math]
Ramo destro (T₁^–): Test 1 negativoPer calcolare questa probabilità, applichiamo il Teorema di Bayes:[math]P(G|T_1^-)=\frac{P(T_1^-|G)P(G)}{P(T_1^-)}[/math]Dove:
- [math]P(T_1^-|G) = 1 – P(T_1^+|G) = 1 – 0.90 = 0.10[/math]
- [math]P(T_1^-|\neg G) = 1 – P(T_1^+|\neg G) = 1 – 0.05 = 0.95[/math]
- [math]P(T_1^-) = P(T_1^-|G)P(G) + P(T_1^-|\neg G)P(\neg G) = 0.10 \cdot 0.01 + 0.95 \cdot 0.99 = 0.001 + 0.9405 = 0.9415[/math]
Quindi:

[math]P(G|T_1^-)=\frac{0.10 \cdot 0.01}{0.9415} = \frac{0.001}{0.9415} \approx 0.001062 \approx 0.11\%[/math]

Nota: Il valore fornito nell’esempio (~0.84%) potrebbe essere dovuto a un arrotondamento diverso o a un errore di calcolo. Usando i dati forniti, il calcolo corretto è circa 0.11%.

Secondo livello (T₂)

Dopo aver effettuato il secondo test (T₂), considerando i risultati del primo test:

Se T₁ era positivo (P(G) = 15.38%):
- T₂ positivo (T₂⁺): La probabilità che la macchina sia guasta sale al 59.25% (come calcolato nell’esempio precedente).
- T₂ negativo (T₂^–): Per calcolare questa probabilità, usiamo la probabilità a priori aggiornata da T₁⁺ (15.38%).[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^-)=\frac{P(T_2^-|G) \cdot P(G|T_1^+)}{P(T_2^-|T_1^+)}[/math]Dove:
  - [math]P(T_2^-|G) = 1 – P(T_2^+|G) = 1 – 0.80 = 0.20[/math]
  - [math]P(\neg G|T_1^+) = 1 – P(G|T_1^+) = 1 – 0.1538 = 0.8462[/math]
  - [math]P(T_2^-|\neg G) = 1 – P(T_2^+|\neg G) = 1 – 0.10 = 0.90[/math]
  - [math]P(T_2^-|T_1^+) = P(T_2^-|G)P(G|T_1^+) + P(T_2^-|\neg G)P(\neg G|T_1^+) = 0.20 \cdot 0.1538 + 0.90 \cdot 0.8462 = 0.03076 + 0.76158 = 0.79234[/math]
  Quindi:
  
  [math]P(G|T_1^+ \cap T_2^-)=\frac{0.20 \cdot 0.1538}{0.79234} = \frac{0.03076}{0.79234} \approx 0.03882 \approx 3.88\%[/math]
  
  Nota: Il valore fornito nell’esempio (3.67%) è molto vicino e potrebbe essere dovuto a un arrotondamento intermedio.
Se T₁ era negativo (P(G) ≈ 0.11%):
- T₂ positivo (T₂⁺): Usiamo la probabilità a priori aggiornata da T₁^– (circa 0.0011).[math]P(G|T_1^- \cap T_2^+)=\frac{P(T_2^+|G) \cdot P(G|T_1^-)}{P(T_2^+|T_1^-)}[/math]Dove:
  - [math]P(G|T_1^-) \approx 0.0011[/math]
  - [math]P(\neg G|T_1^-) \approx 1 – 0.0011 = 0.9989[/math]
  - [math]P(T_2^+|T_1^-) = P(T_2^+|G)P(G|T_1^-) + P(T_2^+|\neg G)P(\neg G|T_1^-) = 0.80 \cdot 0.0011 + 0.10 \cdot 0.9989 = 0.00088 + 0.09989 = 0.10077[/math]
  Quindi:
  
  [math]P(G|T_1^- \cap T_2^+)=\frac{0.80 \cdot 0.0011}{0.10077} = \frac{0.00088}{0.10077} \approx 0.00873 \approx 0.87\%[/math]
  
  Nota: Il valore fornito nell’esempio (1.58%) sembra sovrastimato rispetto ai calcoli con i dati forniti.
- T₂ negativo (T₂^–): La probabilità che la macchina sia guasta diminuirebbe ulteriormente (non calcolato qui per brevità, ma rimarrebbe molto bassa).

Perché è utile?

Questa rappresentazione a “nodi” mostra chiaramente:

Tutti i percorsi possibili: Visualizziamo le diverse sequenze di risultati dei test e come ognuna porta a una diversa probabilità di guasto.
L’impatto di ogni decisione/test: Possiamo osservare come ogni test (positivo o negativo) aggiorna la nostra বিশ্বাস sulla probabilità che la macchina sia guasta.
Come i falsi positivi/negativi influenzano il risultato: Vediamo che anche se un test è positivo, c’è ancora una probabilità non trascurabile che la macchina non sia guasta (e viceversa), a causa dei falsi positivi e negativi. Questo sottolinea l’importanza di considerare le caratteristiche dei test (sensibilità e specificità).

Esempio Pratico con Diagramma ad Albero: Probabilità di Guasto dato T₁⁺ e T₂^–

Questo esempio illustra come calcolare la probabilità che la macchina sia guasta dato che il Test 1 è positivo e il Test 2 è negativo, utilizzando un approccio basato su un diagramma ad albero.

Calcolo della Probabilità dopo T₁⁺ e T₂^–

Consideriamo i due percorsi possibili che portano a questo scenario:

Percorso 1: Macchina Guasta (G) → Test 1 Positivo (T₁⁺) → Test 2 Negativo (T₂^–)

Probabilità a priori che la macchina sia guasta: [math]P(G) = 0.01[/math]
Probabilità che il Test 1 sia positivo dato che la macchina è guasta: [math]P(T_1^+|G) = 0.90[/math]
Probabilità che il Test 2 sia negativo dato che la macchina è guasta: [math]P(T_2^-|G) = 1 – P(T_2^+|G) = 1 – 0.80 = 0.20[/math]

La probabilità congiunta di questo percorso è:

[math]P(G \cap T_1^+ \cap T_2^-) = P(G) \times P(T_1^+|G) \times P(T_2^-|G) = 0.01 \times 0.90 \times 0.20 = 0.0018[/math]

Percorso 2: Macchina Non Guasta (¬G) → Test 1 Positivo (T₁⁺) → Test 2 Negativo (T₂^–)

Probabilità a priori che la macchina non sia guasta: [math]P(\neg G) = 0.99[/math]
Probabilità che il Test 1 sia positivo dato che la macchina non è guasta: [math]P(T_1^+|\neg G) = 0.05[/math]
Probabilità che il Test 2 sia negativo dato che la macchina non è guasta: [math]P(T_2^-|\neg G) = 1 – P(T_2^+|\neg G) = 1 – 0.10 = 0.90[/math]

La probabilità congiunta di questo percorso è:

[math]P(\neg G \cap T_1^+ \cap T_2^-) = P(\neg G) \times P(T_1^+|\neg G) \times P(T_2^-|\neg G) = 0.99 \times 0.05 \times 0.90 = 0.04455[/math]

Normalizzazione

Per trovare la probabilità che la macchina sia guasta dato T₁⁺ e T₂^–, normalizziamo la probabilità congiunta del primo percorso rispetto alla somma delle probabilità congiunte di tutti i percorsi che portano a T₁⁺ e T₂^–:

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^-) = \frac{P(G \cap T_1^+ \cap T_2^-)}{P(G \cap T_1^+ \cap T_2^-) + P(\neg G \cap T_1^+ \cap T_2^-)}[/math]

[math]P(G|T_1^+ \cap T_2^-) = \frac{0.0018}{0.0018 + 0.04455} = \frac{0.0018}{0.04635} \approx 0.03883 \approx 3.88\%[/math]

Risultato: La probabilità che la macchina sia guasta dato che il Test 1 è positivo e il Test 2 è negativo è circa 3.88%.

Nota: Questo valore differisce leggermente dal Passo 3 dell’esempio iterativo precedente (24.42%). La ragione è che in questo calcolo consideriamo l’evidenza di T₂^– che arriva direttamente dopo T₁⁺, senza considerare un precedente risultato positivo di T₂. L’approccio iterativo aggiorna la probabilità passo dopo passo con ogni nuova evidenza.