ESERCIZIO 1
9 amici devono raggiungere l’aeroporto e sono indecisi su come muoversi, se in macchina, con la navetta o in treno. In quanti modi diversi possono effettuare la scelta? Vedi bene come interpretare la domanda:
a) Intendendo per “modi diversi” soltanto la distribuzione numerica delle persone. Così 3 persone in macchina e 6 in treno rappresenterebbero un’unica configurazione, indipendentemente da chi materialmente sale in macchina e chi in treno.
b) Intendendo con “modi diversi” non solo il numero, ma anche la composizione dei vari gruppi. Così la configurazione per la quale Aldo, Bruno e Carla decidono di andare in macchina e tutti gli altri in treno e la configurazione che vede andare in macchina Bruno, Davide ed Eleonora e tutti gli altri in treno vanno conteggiate separatamente.
SOLUZIONE
a)
Mettiamo in fila i mezzi di trasporto (macchina, navetta, treno) e riscriviamo il numero 9 come somma di 3 numeri naturali (0 incluso): possiamo così rappresentare tutte le suddivisioni possibili.
La somma 3+6+0 rappresenta ad esempio la configurazione “3 persone in macchina, 6 con la navetta e nessuno in treno”, mentre 1+1+7 “1 persona in macchina, 1 con la navetta e 7 in treno” e così via. Abbiamo già affrontato il problema di rappresentare un numero mediante somme diverse e la soluzione è
Le combinazioni con ripetizione
Definizione
Si chiama combinazione con ripetizione di n elementi di un insieme I composto da k oggetti distinti, un gruppo di n elementi di I non necessariamente distinti e disposto in un ordine qualsiasi.
Teorema sulle combinazioni con ripetizione
Il numero di combinazioni con ripetizione di k elementi di un insieme I composto da n oggetti distinti è:
b)
Mettiamo in fila i 9 amici (Aldo, Bruno,M) e chiediamo ad ognuno come intende muoversi.
Ciascuno ha 3 possibili opzioni (macchina, navetta e treno): siamo di fronte a una disposizione con ripetizione, la cui soluzione è
39 = 19683
ESERCIZIO 2
Un “byte” è una sequenza di 8 “bit”.
Un “bit” è una “cifra binaria”, che può valere 0 oppure 1.
Quanti differenti byte è possibile scrivere in modo da avere, in ciascun byte:
a) esattamente due “1”?
b) almeno due “1”?
SOLUZIONE
a)
Ovviamente
b)
Dal numero totale di possibili byte abbiamo sottratto gli 8 byte aventi uno e un solo “1” e il singolo byte composto da otto bit “0”.
ESERCIZIO 3
Stabilisci quanti sono i triangoli che hanno per vertici tre dei punti della figura sottostante:
SOLUZIONE
triangoli. Infatti:
sono tutte le possibili terne non ordinate di punti
dobbiamo però sottrarre le terne di punti allineati, che non generano un triangolo!
Quante sono, dunque, le terne di punti allineati?
Su ciascuna delle 4 righe, su ciascuna delle 4 colonne, su ciascuna delle 2 diagonali ,abbiamo 4 terne di punti allineati.
Dobbiamo perciò sottrarre
Abbiamo infine altre 4 terne di punti allineati parallelamente alle diagonali: dobbiamo ancora sottrarre 4.
ESERCIZIO 4
I numeri in base cinque possono avere come cifre solamente 0, 1, 2, 3 oppure 4.
Quanti sono gli interi, in base cinque, aventi esattamente cinque cifre?
(Notare che la cifra iniziale non può essere 0)
SOLUZIONE
La soluzione è
ESERCIZIO 5
In un insieme di 25 parlamentari, occorre sceglierne 5 per formare una commissione di inchiesta; dei 5, uno dovrà fungere da Presidente e un altro da Segretario.
Stabilire un quanti modi può essere effettuata la scelta.
SOLUZIONE
La soluzione è
oppure
ESERCIZIO 6
Un numero (intero) si dice “palindromo” se rimane invariato, riscrivendolo all’incontrario.
Esempi di numeri palindromi:
404, 7227, 12321, 88, 0, …
Quanti sono i palindromi
a) con 6 cifre?
b) con 7 cifre?
c) con 8 cifre?
SOLUZIONE
a) Con 6 cifre: basta scegliere le prime 3, e lo si può fare in 9* 10* 10 = 900 modi
b) Con 7 cifre: basta scegliere le prime 4, e lo si può fare in 9 * 10 * 10* 10 = 9000 modi
c) Con 8 cifre: basta scegliere le prime 4, e lo si può fare, come prima, in 9 * 10 * 10 * 10 = 9000 ⋅ ⋅⋅ = modi
