Un’urna contiene 12 palline: 5 rosse e 7 blu. Vengono estratte due palline consecutivamente senza reimmissione.
a) Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa, sapendo che la prima era blu?
b) Qual è la probabilità (non condizionata) che la seconda pallina estratta sia rossa?
Svolgimento
Definiamo gli eventi:
[math]R_1[/math]: la prima pallina estratta è rossa.
[math]B_1[/math]: la prima pallina estratta è blu.
[math]R_2[/math]: la seconda pallina estratta è rossa.
[math]B_2[/math]: la seconda pallina estratta è blu.
Il numero totale di palline all’inizio è 12. Il numero di palline rosse è 5, il numero di palline blu è 7.
a) Vogliamo calcolare la probabilità che la seconda pallina sia rossa dato che la prima era blu. Questo è [math]P(R_2 | B_1)[/math].
Dopo aver estratto una pallina blu nella prima estrazione senza reimmetterla, l’urna contiene ora 11 palline.
Le palline rosse rimaste sono ancora 5 (poiché è stata estratta una blu).
Le palline blu rimaste sono [math]7 – 1 = 6[/math].
Quindi, in questa nuova composizione dell’urna (11 palline totali, di cui 5 rosse), la probabilità di estrarre una pallina rossa come seconda è data dal rapporto tra il numero di palline rosse rimanenti e il numero totale di palline rimanenti.
[math]P(R_2 | B_1) = \frac{\text{Numero di palline rosse rimanenti}}{\text{Numero totale di palline rimanenti}} = \frac{5}{11}[/math].
b) Vogliamo calcolare la probabilità (non condizionata) che la seconda pallina estratta sia rossa, [math]P(R_2)[/math].
La seconda pallina può essere rossa in due casi mutuamente esclusivi:
La prima pallina era rossa E la seconda è rossa ([math]R_1 \cap R_2[/math]).
La prima pallina era blu E la seconda è rossa ([math]B_1 \cap R_2[/math]).
Per la Legge delle Probabilità Totali, [math]P(R_2) = P(R_2 | R_1) P(R_1) + P(R_2 | B_1) P(B_1)[/math].
Calcoliamo le probabilità necessarie:
[math]P(R_1)[/math]: Probabilità che la prima sia rossa. Ci sono 5 rosse su 12 totali. [math]P(R_1) = \frac{5}{12}[/math].
[math]P(B_1)[/math]: Probabilità che la prima sia blu. Ci sono 7 blu su 12 totali. [math]P(B_1) = \frac{7}{12}[/math].
[math]P(R_2 | R_1)[/math]: Probabilità che la seconda sia rossa dato che la prima era rossa. Dopo aver estratto una rossa (e non reimmessa), rimangono 11 palline, di cui [math]5-1=4[/math] rosse. [math]P(R_2 | R_1) = \frac{4}{11}[/math].
[math]P(R_2 | B_1)[/math]: Probabilità che la seconda sia rossa dato che la prima era blu. L’abbiamo già calcolata nella parte a): [math]P(R_2 | B_1) = \frac{5}{11}[/math].
Ora applichiamo la formula della probabilità totale:
[math]P(R_2) = P(R_2 | R_1) P(R_1) + P(R_2 | B_1) P(B_1)[/math]
[math]P(R_2) = \left(\frac{4}{11}\right) \left(\frac{5}{12}\right) + \left(\frac{5}{11}\right) \left(\frac{7}{12}\right)[/math]
[math]P(R_2) = \frac{20}{132} + \frac{35}{132} = \frac{20 + 35}{132} = \frac{55}{132}[/math]
Questa frazione può essere semplificata dividendo numeratore e denominatore per 11:
[math]P(R_2) = \frac{55 \div 11}{132 \div 11} = \frac{5}{12}[/math].
Questo risultato ha senso: la probabilità che la seconda pallina sia rossa in un’estrazione senza reimmissione (quando non si sa nulla della prima) è uguale alla probabilità che la prima pallina sia rossa.
Risposte:
a) La probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa, sapendo che la prima era blu, è [math]\frac{5}{11}[/math].
b) La probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa è [math]\frac{5}{12}[/math].
Esercizio 2 (Teorema di Bayes)
Un’azienda riceve forniture di un certo componente elettronico da due fornitori, Alfa e Beta. Il fornitore Alfa fornisce il 70% delle componenti, mentre Beta fornisce il restante 30%. È noto che il 2% delle componenti fornite da Alfa sono difettose, mentre il 4% di quelle fornite da Beta sono difettose.
Una componente viene selezionata casualmente dal magazzino e, dopo un test, risulta essere difettosa. Qual è la probabilità che questa componente sia stata fornita da Alfa?
Svolgimento
Questo problema richiede l’applicazione del Teorema di Bayes per aggiornare la nostra probabilità sulla provenienza della componente dato l’esito del test (essere difettosa).
Definiamo gli eventi:
[math]A[/math]: La componente proviene dal fornitore Alfa.
[math]B[/math]: La componente proviene dal fornitore Beta.
[math]D[/math]: La componente è difettosa.
Conosciamo le seguenti probabilità (probabilità a priori e probabilità condizionate o “likelihood”):
[math]P(A) = 0.70[/math] (Alfa fornisce il 70%)
[math]P(B) = 0.30[/math] (Beta fornisce il 30%)
[math]P(D | A) = 0.02[/math] (2% di difettosi da Alfa)
[math]P(D | B) = 0.04[/math] (4% di difettosi da Beta)
Vogliamo calcolare la probabilità che la componente provenga da Alfa DATO che è difettosa. Questa è la probabilità a posteriori [math]P(A | D)[/math].
Il Teorema di Bayes stabilisce che: [math]P(A | D) = \frac{P(D | A) P(A)}{P(D)}[/math]
Per utilizzare questa formula, dobbiamo prima calcolare la probabilità totale che una componente selezionata casualmente sia difettosa, [math]P(D)[/math]. Una componente può essere difettosa se proviene da Alfa ED è difettosa, OPPURE se proviene da Beta ED è difettosa. Utilizziamo la Legge delle Probabilità Totali:
[math]P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap B)[/math]
Applicando la definizione di probabilità condizionata [math]P(X \cap Y) = P(X | Y) P(Y)[/math]:
[math]P(D) = P(D | A) P(A) + P(D | B) P(B)[/math]
Sostituiamo i valori noti:
[math]P(D) = (0.02)(0.70) + (0.04)(0.30)[/math]
[math]P(D) = 0.014 + 0.012[/math]
[math]P(D) = 0.026[/math]
Quindi, la probabilità che una componente casuale sia difettosa è del 2.6%.
Ora possiamo sostituire [math]P(D)[/math] nella formula del Teorema di Bayes per calcolare [math]P(A | D)[/math]:
[math]P(A | D) = \frac{P(D | A) P(A)}{P(D)}[/math]
[math]P(A | D) = \frac{(0.02)(0.70)}{0.026}[/math]
[math]P(A | D) = \frac{0.014}{0.026}[/math]
Semplifichiamo la frazione moltiplicando numeratore e denominatore per 1000:
[math]P(A | D) = \frac{14}{26}[/math]
Dividiamo numeratore e denominatore per 2:
[math]P(A | D) = \frac{7}{13}[/math].
Risposta:
Risposta: La probabilità che la componente difettosa provenga dal fornitore Alfa è [math]\frac{7}{13}[/math]. Osserviamo che questa probabilità a posteriori ([math]\approx 0.538[/math]) è inferiore alla probabilità a priori che una componente qualsiasi provenisse da Alfa ([math]0.70[/math]). Questo accade perché il fornitore Beta ha una percentuale di difettosità più alta (4% contro 2%), quindi il riscontro di un difetto rende più probabile che la componente provenga dal fornitore con la maggiore propensione a produrre difetti, spostando l’inferenza verso Beta.
Esercizio 3 (Variabili Casuali Discrete e Valore Atteso)
In un gioco, si lancia un dado equo a sei facce.
Se esce un numero pari, si vincono tanti euro quanto il numero uscito.
Se esce un numero dispari, si perdono 3 euro, indipendentemente dal numero uscito.
Sia [math]X[/math] la variabile casuale che rappresenta la vincita (o perdita, in tal caso con segno negativo) in euro in un singolo lancio.
a) Determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale [math]X[/math].
b) Calcolare il valore atteso [math]E[X][/math].
Svolgimento
Il dado è equo, quindi ogni faccia ha una probabilità di [math]\frac{1}{6}[/math] di uscire in un singolo lancio. I possibili risultati del lancio sono [math]\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}[/math].
Determiniamo i valori che la variabile casuale [math]X[/math] può assumere e le loro probabilità.
Se esce un numero pari (2, 4, 6), si vince l’importo del numero.
Se esce 2, [math]X=2[/math] euro.
Se esce 4, [math]X=4[/math] euro.
Se esce 6, [math]X=6[/math] euro.
Se esce un numero dispari (1, 3, 5), si perdono 3 euro.
Se esce 1, [math]X=-3[/math] euro.
Se esce 3, [math]X=-3[/math] euro.
Se esce 5, [math]X=-3[/math] euro.
I valori distinti che la variabile casuale [math]X[/math] può assumere sono quindi: [math]-3, 2, 4, 6[/math].
a) Costruiamo la distribuzione di probabilità di [math]X[/math], listando i valori possibili di [math]x_i[/math] e le corrispondenti probabilità [math]P(X=x_i)[/math].
[math]P(X=-3)[/math]: Questo avviene se esce 1, 3 o 5. Ognuno ha probabilità [math]\frac{1}{6}[/math]. Poiché sono eventi mutuamente esclusivi, sommiamo le loro probabilità: [math]P(X=-3) = P(\text{esce 1}) + P(\text{esce 3}) + P(\text{esce 5}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}[/math].
[math]P(X=2)[/math]: Questo avviene se esce 2. [math]P(X=2) = P(\text{esce 2}) = \frac{1}{6}[/math].
[math]P(X=4)[/math]: Questo avviene se esce 4. [math]P(X=4) = P(\text{esce 4}) = \frac{1}{6}[/math].
[math]P(X=6)[/math]: Questo avviene se esce 6. [math]P(X=6) = P(\text{esce 6}) = \frac{1}{6}[/math].
La distribuzione di probabilità di [math]X[/math] è:
[math]x_i \quad | \quad P(X=x_i)[/math]
[math]-3 \quad | \quad \frac{1}{2}[/math]
[math]2 \quad \quad | \quad \frac{1}{6}[/math]
[math]4 \quad \quad | \quad \frac{1}{6}[/math]
[math]6 \quad \quad | \quad \frac{1}{6}[/math]
Verifichiamo che la somma delle probabilità sia 1: [math]\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+1+1+1}{6} = \frac{6}{6} = 1[/math]. La distribuzione è corretta.
b) Calcoliamo il valore atteso [math]E[X][/math]. Il valore atteso di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti tra ogni possibile valore che la variabile può assumere e la sua rispettiva probabilità:
[math]E[X] = \sum x_i P(X=x_i)[/math]
[math]E[X] = (-3) \cdot P(X=-3) + (2) \cdot P(X=2) + (4) \cdot P(X=4) + (6) \cdot P(X=6)[/math]
Sostituiamo i valori dalla distribuzione trovata:
[math]E[X] = (-3) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + (2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) + (4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) + (6) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)[/math]
[math]E[X] = -\frac{3}{2} + \frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{6}{6}[/math]
[math]E[X] = -\frac{3}{2} + \frac{2+4+6}{6} = -\frac{3}{2} + \frac{12}{6}[/math]
Semplifichiamo la seconda frazione: [math]\frac{12}{6} = 2[/math].
[math]E[X] = -\frac{3}{2} + 2 = -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{4 – 3}{2} = \frac{1}{2}[/math].
Risposte:
a) La distribuzione di probabilità di [math]X[/math] è: [math]P(X=-3) = \frac{1}{2}[/math], [math]P(X=2) = \frac{1}{6}[/math], [math]P(X=4) = \frac{1}{6}[/math], [math]P(X=6) = \frac{1}{6}[/math].
b) Il valore atteso di [math]X[/math] è [math]E[X] = \frac{1}{2}[/math]. Questo significa che, in media su molti lanci, ci si aspetta di vincere 0.50 euro per lancio.
