Dalla Curva di Rogers alle Catene di Markov: Come Modellare e Prevedere il Customer Journey con Python

Customer Journey e Catene di Markov: la matematica nascosta dietro il successo di un prodotto

Ogni giorno milioni di utenti scoprono nuovi prodotti digitali, provano applicazioni, si registrano a piattaforme SaaS, installano app e sottoscrivono servizi online.

Alcuni diventano clienti fedeli, altri spariscono dopo pochi minuti.

Perché accade?

Molte aziende rispondono con dashboard, funnel di conversione e KPI. Tuttavia esiste uno strumento matematico capace di descrivere quantitativamente il percorso degli utenti e persino prevederne l’evoluzione futura: le Catene di Markov.

Questa tecnica, nata all’inizio del Novecento per studiare processi casuali, oggi viene utilizzata in campi molto diversi tra loro: motori di ricerca, sistemi di raccomandazione, finanza quantitativa, biologia computazionale e customer analytics.

Nel marketing digitale le Catene di Markov consentono di trasformare il Customer Journey da una semplice rappresentazione grafica a un vero modello matematico predittivo.

Dal modello di Rogers al Customer Journey moderno

Per comprendere l’idea, partiamo dalla celebre teoria della diffusione delle innovazioni proposta da Everett Rogers.

Secondo Rogers, gli individui si distribuiscono in categorie:

• Innovatori
• Early Adopters
• Early Majority
• Late Majority
• Ritardatari

Nella formulazione originale una persona appartiene stabilmente a un segmento.

Nel marketing digitale, però, possiamo reinterpretare questi gruppi come fasi comportamentali attraversate dall’utente durante il rapporto con un prodotto.

Nasce così un funnel dinamico:

Stato	Significato
Awareness	L’utente conosce il prodotto
Sperimentatore	Lo prova per la prima volta
Curioso	Cerca di capirne il valore
Utente Abituale	Lo integra nella routine
Abbandono	Smette di utilizzarlo

L’obiettivo diventa capire:

• quanti utenti avanzano nel percorso;
• quanti si fermano;
• dove si verificano le maggiori perdite;
• quale probabilità esiste di trasformare un visitatore in cliente abituale.

Ed è qui che entrano in gioco le Catene di Markov.

Cos’è una Catena di Markov?

Una Catena di Markov è un processo stocastico caratterizzato da una proprietà fondamentale:

Il futuro dipende esclusivamente dallo stato presente e non dalla sequenza completa degli stati passati.

In termini matematici:

[math]P(X_{t+1} = j \mid X_t = i, X_{t-1}, \ldots, X_0) = P(X_{t+1} = j \mid X_t = i)[/math]

Questa caratteristica è nota come proprietà markoviana.

Nel contesto del Customer Journey significa assumere che la probabilità di un utente di diventare cliente abituale dipenda principalmente dalla fase in cui si trova oggi e non dall’intera storia delle sue interazioni.

Naturalmente si tratta di un’approssimazione, ma spesso sufficientemente accurata da produrre modelli estremamente utili.

La matrice di transizione

Il cuore di una Catena di Markov è la matrice delle probabilità di transizione.

Supponiamo di avere i cinque stati precedenti:

• Awareness
• Sperimentatore
• Curioso
• Utente Abituale
• Abbandono

La matrice [math]P[/math] contiene tutte le probabilità di passaggio da uno stato all’altro.

Ogni riga rappresenta lo stato attuale.
Ogni colonna rappresenta lo stato futuro.
La somma di ogni riga deve essere uguale a 1.

Nel nostro esempio:

• il 50% degli utenti in Awareness prova il prodotto;
• il 20% lo ignora completamente;
• il 30% rimane semplicemente consapevole della sua esistenza.

Matematicamente l’evoluzione del sistema è descritta da:

[math]\mathbf{v}_{t+1} = \mathbf{v}_t P[/math]

dove:

• [math]\mathbf{v}_t[/math] rappresenta la distribuzione degli utenti al tempo [math]t[/math];
• [math]P[/math] è la matrice di transizione.

Ad ogni iterazione basta moltiplicare il vettore degli utenti per la matrice per ottenere la distribuzione successiva.

Perché questo approccio è potente?

La maggior parte dei funnel tradizionali fornisce una fotografia statica.

Ad esempio:

• 10.000 visitatori
• 2.000 registrazioni
• 400 utenti attivi

Questi numeri descrivono cosa è successo.

Una Catena di Markov permette invece di stimare cosa succederà.

Possiamo simulare:

• un mese;
• sei mesi;
• un anno;
• un numero arbitrario di periodi futuri.

Il modello diventa quindi una macchina predittiva.

Simulare l’evoluzione di 1000 utenti

Immaginiamo di partire con una coorte iniziale di 1000 persone nello stato Awareness.

La simulazione mostra come la popolazione si distribuisce progressivamente tra:

• utenti che sperimentano;
• utenti curiosi;
• clienti abituali;
• utenti persi.

Dopo alcuni step temporali emergono pattern interessanti.

All’inizio cresce rapidamente il numero di sperimentatori.
Successivamente aumenta il numero di curiosi.
Infine una parte degli utenti supera il passaggio critico verso l’utilizzo regolare.

Parallelamente cresce la popolazione nello stato di abbandono.

Questo fenomeno è inevitabile quando esiste uno stato assorbente.

Il Chasm di Geoffrey Moore visto con la matematica

Uno dei concetti più influenti del marketing tecnologico è il cosiddetto Chasm descritto da Geoffrey Moore nel libro Crossing the Chasm.

Secondo Moore esiste un burrone tra gli Early Adopters e la Early Majority.

Molte startup riescono a convincere gli utenti pionieri ma falliscono quando devono raggiungere il mercato mainstream.

Nel nostro modello questo passaggio è rappresentato dalla riga:

30% resta curioso
30% diventa utente abituale
40% abbandona

Quel 40% costituisce la traduzione matematica del Chasm.

Non è più una metafora.
È una probabilità misurabile.

Possiamo quindi stimare quantitativamente il costo del mancato attraversamento del burrone.

Stati assorbenti e churn

Uno dei concetti più importanti delle Catene di Markov è quello di stato assorbente.

Uno stato è assorbente quando:

[math]P_{ii} = 1[/math]

In altre parole, una volta entrati in quello stato non si può più uscire.

Nel nostro modello:

Abbandono → Abbandono = 100%

L’utente perso non ritorna mai.

Questa è una semplificazione utile per comprendere la dinamica del churn.

Nel lungo periodo tutta la popolazione tende ad accumularsi negli stati assorbenti.

La conseguenza pratica è enorme:

Nessun prodotto può crescere indefinitamente senza acquisire continuamente nuovi utenti.

Calcolare la probabilità di successo

Uno dei vantaggi più interessanti delle Catene di Markov assorbenti è la possibilità di calcolare probabilità finali.

Ad esempio:

• Qual è la probabilità che un nuovo utente diventi abituale?
• Qual è la probabilità che abbandoni?
• Qual è il tempo medio prima dell’uscita dal sistema?

Queste quantità possono essere ricavate utilizzando la cosiddetta matrice fondamentale:

[math]N = (I – Q)^{-1}[/math]

dove:

• [math]Q[/math] contiene le transizioni tra stati transitori;
• [math]I[/math] è la matrice identità.

Questa formula è uno dei risultati più potenti della teoria delle Catene di Markov assorbenti.

Consente di stimare con precisione il comportamento di lungo periodo dell’intero funnel.

Ottimizzare il Customer Journey

Il vero valore del modello emerge quando iniziamo a modificare la matrice.

Supponiamo che il team di prodotto migliori l’onboarding.
La probabilità di abbandono degli sperimentatori passa da:

40% a 20%.

Matematicamente stiamo cambiando un solo numero della matrice.
A livello di business stiamo trasformando centinaia o migliaia di utenti aggiuntivi in clienti abituali.

In questo modo il modello diventa un laboratorio virtuale.

Possiamo testare:

• nuovi onboarding;
• campagne di email nurturing;
• programmi di referral;
• sistemi di gamification;
• strategie di retention.

Senza dover attendere mesi per osservare i risultati reali.

Da Google a Netflix: perché Markov è ovunque

Le Catene di Markov non sono utilizzate soltanto nel marketing.

Storicamente hanno avuto un ruolo centrale nello sviluppo di molti sistemi digitali moderni.

L’algoritmo PageRank di Google nasce proprio dall’idea di modellare la navigazione degli utenti sul web come una Catena di Markov.

Anche molti recommendation system utilizzano modelli markoviani per prevedere il prossimo contenuto che un utente potrebbe consumare.

Ogni volta che un sistema cerca di stimare:

• il prossimo clic;
• il prossimo acquisto;
• il prossimo video;

sta implicitamente affrontando un problema di transizione tra stati.

Conclusioni

Le Catene di Markov rappresentano uno degli strumenti più eleganti e potenti della data science applicata al marketing.

Trasformano il Customer Journey da una sequenza di eventi osservati a un sistema matematico dinamico capace di:

• prevedere il comportamento futuro;
• misurare quantitativamente il Chasm;
• stimare il churn;
• valutare l’efficacia degli interventi di retention;
• simulare scenari alternativi.

La vera forza di questo approccio non è soltanto descrivere ciò che è accaduto, ma comprendere cosa accadrà se cambiamo una singola probabilità all’interno del funnel.

Ed è proprio questo il punto in cui il marketing smette di essere soltanto creatività e diventa una disciplina quantitativa guidata dai dati.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. Definizione degli Stati del Customer Journey
states = [
    "Awareness (Target)", 
    "Sperimentatore (Innovator)", 
    "Curioso (Early Adopter)", 
    "Utente Abituale (Early Majority)", 
    "Abbandono (Churn)"
]

# 2. Matrice di Transizione (P)
# Ogni riga deve sommare a 1.0
# Rappresenta le probabilità di passare da uno stato (riga) a un altro (colonna) nel periodo successivo (es. 1 mese)
P = np.array([
    # Aw  Sper Cur  Abi  Abbandono
    [0.3, 0.5, 0.0, 0.0, 0.2],  # Da Awareness: 30% resta, 50% sperimenta, 20% ignora (churn)
    [0.0, 0.2, 0.4, 0.0, 0.4],  # Da Sperimentatore: 20% resta, 40% diventa curioso, 40% abbandona
    [0.0, 0.0, 0.3, 0.3, 0.4],  # Da Curioso: 30% resta, 30% diventa Abituale, 40% cade nel "Chasm" (churn)
    [0.0, 0.0, 0.0, 0.9, 0.1],  # Da Utente Abituale: 90% fidelizzato, 10% abbandona nel tempo
    [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]   # Da Abbandono: 100% resta in abbandono (Stato Assorbente)
])

# 3. Popolazione Iniziale (Coorte)
# Partiamo con 1000 utenti che hanno appena scoperto il prodotto (Awareness)
initial_population = np.array([1000, 0, 0, 0, 0])

# Numero di step temporali da simulare (es. 10 mesi)
steps = 10

# Matrice per salvare la storia della simulazione
history = np.zeros((steps + 1, len(states)))
history[0] = initial_population

# 4. Esecuzione della Simulazione di Markov
current_population = initial_population
for t in range(1, steps + 1):
    # Prodotto scalare: V_nuovo = V_vecchio * Matrice_P
    current_population = np.dot(current_population, P)
    history[t] = current_population

# 5. Visualizzazione dei Risultati
plt.figure(figsize=(12, 6))

for i, state in enumerate(states):
    # Plottiamo l'evoluzione di ogni stato tranne l'Abbandono totale (opzionale, per chiarezza visiva)
    if state != "Abbandono (Churn)": 
        plt.plot(range(steps + 1), history[:, i], marker='o', label=state, linewidth=2)

# Se vuoi vedere anche la curva di abbandono, decommenta la riga sotto:
plt.plot(range(steps + 1), history[:, 4], marker='x', linestyle='--', color='red', label="Abbandono (Churn)")

plt.title("Simulazione di Markov: Evoluzione del Customer Journey", fontsize=14, pad=15)
plt.xlabel("Mesi / Step Temporali", fontsize=12)
plt.ylabel("Numero di Utenti", fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()

# Stampa i risultati finali
print(f"Risultati dopo {steps} step temporali su {int(np.sum(initial_population))} utenti iniziali:")
for i, state in enumerate(states):
    print(f"- {state}: {int(history[-1, i])} utenti")

Risultati dopo 10 step temporali su 1000 utenti iniziali:
- Awareness (Target): 0 utenti
- Sperimentatore (Innovator): 0 utenti
- Curioso (Early Adopter): 0 utenti
- Utente Abituale (Early Majority): 82 utenti
- Abbandono (Churn): 916 utenti

Analisi dell’Output della Simulazione

Il grafico mostra l’evoluzione di una coorte iniziale di 1000 utenti distribuiti nel tempo secondo le probabilità definite nella matrice di transizione.

L’asse orizzontale rappresenta gli step temporali (ad esempio mesi), mentre l’asse verticale indica il numero di utenti presenti in ciascuno stato.

La dinamica che emerge è tipica di molti prodotti digitali: un forte interesse iniziale, una fase di sperimentazione, un progressivo filtraggio degli utenti e infine la concentrazione in due stati finali:

• utenti abituali;
• utenti persi (churn).

Fase 1: l’esplosione degli sperimentatori

Al tempo [math]t=0[/math] tutti i 1000 utenti si trovano nello stato Awareness.

Dopo il primo step osserviamo:

• 300 utenti rimangono in Awareness;
• 500 diventano Sperimentatori;
• 200 finiscono immediatamente nel Churn.

Il picco arancione nel grafico rappresenta quindi il massimo interesse iniziale verso il prodotto.

Questo comportamento è molto comune nelle startup:

• molte persone provano il servizio;
• poche hanno ancora compreso il valore reale;
• una parte significativa abbandona immediatamente.

Il primo mese è quindi dominato dalla curiosità e dalla scoperta.

Fase 2: la formazione degli Early Adopters

Tra il secondo e il terzo step compare la curva verde dei Curiosi (Early Adopters).

Il massimo viene raggiunto intorno al secondo mese con circa 200 utenti.

Questo è il momento in cui gli utenti non stanno semplicemente testando il prodotto:

• leggono documentazione;
• esplorano funzionalità avanzate;
• cercano casi d’uso;
• valutano se integrare il servizio nelle proprie attività.

Dal punto di vista del marketing questa è la fase più preziosa.

Sono gli utenti che forniscono:

• feedback;
• recensioni;
• suggerimenti;
• passaparola.

Il Chasm appare chiaramente nel grafico

La parte più interessante è probabilmente la discesa della curva verde.

Molti utenti curiosi non diventano utenti abituali.

La matrice prevede infatti:

• 30% permanenza nello stato Curioso;
• 30% conversione a Utente Abituale;
• 40% abbandono.

Questa perdita si traduce visivamente in una rapida crescita della curva rossa tratteggiata del Churn.

In altre parole:

il grafico sta visualizzando matematicamente il famoso Chasm di Geoffrey Moore.

Ogni punto della curva verde che scompare si divide tra:

• nuovi utenti abituali;
• utenti persi.

La dimensione relativa di questi due flussi determina il successo o il fallimento della diffusione dell’innovazione.

La nascita della base utenti stabile

La curva rossa continua (Utente Abituale) cresce lentamente.

Questo è un comportamento realistico.

I clienti fedeli non si formano immediatamente.

Richiedono:

• apprendimento;
• fiducia;
• esperienza positiva;
• integrazione nelle routine quotidiane.

La curva raggiunge il massimo intorno al quinto-sesto periodo.

In quel momento il sistema ha convertito circa 120 utenti iniziali in utilizzatori regolari.

In termini percentuali:

[math]\displaystyle \frac{120}{1000}=12\%[/math]

Quindi soltanto circa il 12% della popolazione iniziale riesce a completare con successo il Customer Journey.

Il dominio dello stato assorbente

L’elemento più evidente del grafico è la curva rossa tratteggiata dell’Abbandono.

Essa cresce continuamente fino a superare i 900 utenti.

Questo comportamento è una conseguenza diretta della struttura della matrice.

Lo stato Churn è infatti assorbente:

[math]P(\text{Churn}\rightarrow \text{Churn})=1[/math]

Una volta entrato in questo stato, l’utente non può più uscirne.

Nel lungo periodo quasi tutta la popolazione finirà quindi nel Churn.

Non si tratta di un errore della simulazione.

È una proprietà matematica delle Catene di Markov assorbenti.

Perché gli utenti abituali diminuiscono dopo il picco?

Molti lettori notano che la curva degli utenti abituali cresce fino a circa 120 utenti e successivamente inizia a diminuire.

Questo comportamento deriva dalla riga:

[0.0, 0.0, 0.0, 0.9, 0.1]

che significa:

• 90% degli utenti abituali rimane tale;
• 10% abbandona ad ogni periodo.

In pratica il modello introduce un churn continuo anche tra i clienti fidelizzati.

Questo è estremamente realistico.

Nessun prodotto possiede una retention del 100%.

Ogni mese una parte degli utenti:

• cambia strumento;
• perde interesse;
• trova un concorrente;
• modifica le proprie esigenze.

La curva rossa mostra quindi una fidelizzazione elevata ma non perfetta.

Intuizione manageriale

Dal punto di vista business il grafico suggerisce immediatamente dove intervenire.

Scenario A: Migliorare l’onboarding

Supponiamo di modificare la riga degli Sperimentatori:

[0.0, 0.2, 0.4, 0.0, 0.4]

in

[0.0, 0.2, 0.6, 0.0, 0.2]

La probabilità di abbandono scende dal 40% al 20%.

Anche una variazione apparentemente piccola può produrre decine o centinaia di utenti abituali aggiuntivi.

Scenario B: Ridurre il Chasm

Modifichiamo la riga dei Curiosi:

[0.0, 0.0, 0.3, 0.3, 0.4]

in

[0.0, 0.0, 0.3, 0.5, 0.2]

Ora metà degli Early Adopters diventa cliente abituale.

La curva verde si trasforma molto più rapidamente in curva rossa.

È esattamente ciò che cercano le aziende SaaS quando investono in:

• onboarding guidati;
• customer success;
• tutorial interattivi;
• casi d’uso concreti.

Dal punto di vista pratico, questo esercizio è risolve uno dei più grandi limiti dei modelli di attribuzione e dei funnel classici:

la mancanza di memoria dinamica temporale.

Ecco le peculiarità che lo rendono un caso di studio eccellente per un Data Scientist:

1. La visualizzazione del “Leakage” Temporale
   Nel grafico generato dal codice, si nota che la curva degli Utenti Abituali decade dopo aver raggiunto un picco (intorno allo step 5). Questo comportamento è matematicamente inevitabile in una catena assorbente con un tasso di fidelizzazione non perfetto (il [math]90\%[/math] memorizzato in [math]P[3,3][/math]). Mostra ai manager una dura realtà: anche se hai un ottimo prodotto, se non alimenti lo stato iniziale (Awareness), il tuo business è destinato a spegnersi a causa della “morte termica” da Churn.
2. Il superamento delle metriche di vanità (Vanity Metrics)
   Un funnel tradizionale dice solo: “Abbiamo il 12% di tasso di conversione finale”. La simulazione markoviana mostra quando gli utenti si convertono. Permette di calcolare il tempo medio di permanenza nello stato di Curioso prima che l’utente prenda una decisione (attraverso la matrice fondamentale [math]N = (I – Q)^{-1}[/math]). Sapere che un utente rimane “bloccato” nello stato di curiosità per una media di 2.3 mesi prima di decidere se abbandonare o acquistare offre al team di Product Marketing una finestra temporale esatta per inviare campagne di attivazione.
3. Analisi di Sensibilità (What-If Analysis) a costo zero
   Modificando un singolo parametro della matrice, ad esempio aumentando [math]P[1,2][/math] (da Sperimentatore a Curioso) anche solo dello [math]0.1[/math], l’intero sistema si riassesta mostrando l’impatto cumulativo nei 10 mesi successivi. Diventa uno strumento di pianificazione finanziaria: permette di capire se budgettizzare un investimento sul redesign dell’onboarding (modifica della riga Sperimentatore) o sul customer success (modifica della riga Curioso), confrontando direttamente i ROI previsti dalla matematica del modello.

Una lettura da Data Scientist

Dal punto di vista analitico il risultato più importante è un altro.

La simulazione dimostra che:

il Customer Journey può essere trattato come un sistema dinamico governato da probabilità di transizione.

Questo significa che il problema della crescita non è più soltanto una questione di marketing creativo.

Diventa un problema matematico di ottimizzazione della matrice di transizione.

Ogni intervento aziendale modifica una o più probabilità:

• onboarding → riduce il drop-off degli sperimentatori;
• formazione → aumenta il passaggio a utente abituale;
• retention → riduce il churn;
• referral → alimenta continuamente lo stato Awareness.

L’intera strategia di crescita può quindi essere interpretata come il tentativo di rimodellare la Catena di Markov in modo da aumentare la probabilità di raggiungere gli stati desiderati e diminuire quella di cadere negli stati assorbenti.

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