Affari Tuoi è un popolare game show italiano trasmesso su Rai 1, conosciuto anche come “Il gioco dei pacchi”. È la versione italiana del format internazionale “Deal or No Deal”, anche se con uno stile più narrativo e coinvolgente, spesso incentrato sulle emozioni e sulle storie dei concorrenti.
Il silenzio nello studio, interrotto solo dal respiro del pubblico. Il “Dottore” che bisbiglia al telefono.
Maria, al centro della scena, davanti a venti pacchi sigillati.
Affari Tuoi non è soltanto un gioco di fortuna; è una lezione accelerata di strategia, psicologia e nervi saldi.
Ogni volta che il presentatore annuncia “pacco blu”, il valore della partita cambia.
Ogni volta che rifiuta un’offerta, sta facendo una scommessa.
Ma quanto è “giusta” quella scommessa? E se potessimo usare la matematica non per prevedere il futuro, ma per capire il valore del presente?
Abbiamo preso il gioco dei pacchi e l’abbiamo portato in laboratorio. Niente intuito, niente scaramanzia. Solo numeri.
Questo è Affari Tuoi visto attraverso la lente della probabilità: un viaggio per scoprire cosa ci dicono davvero i numeri quando le emozioni provano a prendere il sopravvento.
Assunzioni di base (valori usati negli esercizi)
Per rendere gli esercizi concreti usiamo una lista di 20 valori tipici (in euro) contenuti nei pacchi:
[0,50€, 1€, 5€, 10€, 50€, 100€, 250€, 500€, 1.000€, 2.500€, 5.000€, 10.000€, 25.000€, 50.000€, 75.000€, 100.000€, 150.000€, 200.000€, 250.000€, 300.000€]
Modulo 1 – Probabilità e Scelte nel Gioco dei Pacchi
Scenario
Immagina di essere al centro dello studio di Affari Tuoi. Le luci si abbassano, il pubblico trattiene il fiato.
Davanti a te, 20 pacchi numerati, ciascuno con dentro una somma diversa di denaro:
0,50 – 1 – 5 – 10 – 50 – 100 – 250 – 500 – 1.000 – 2.500 – 5.000 – 10.000 – 25.000 – 50.000 – 75.000 – 100.000 – 150.000 – 200.000 – 250.000 – 300.000 €
Il “Dottore” osserva e prepara le sue offerte.
Ma tu… vuoi giocare con la matematica.
Esercizio 1 – Il valore atteso di un pacco
Maria, concorrente della Sardegna, sceglie il pacco n. 7 ma non lo apre. Si chiede: “Se fosse tutto casuale, quale sarebbe il valore medio del mio pacco?”
Domanda:
Calcola il valore atteso (EV) del pacco scelto.
Soluzione:
Somma dei valori:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S &= 0.5 + 1 + 5 + 10 + 50 + 100 + 250 + 500 + 1000 + 2500 \\
&{} \quad + 5000 + 10000 + 25000 + 50000 + 75000 + 100000 \\
&{} \quad + 150000 + 200000 + 250000 + 300000 \\
&= 1{,}169{,}416.50
\end{aligned}[/math]
Numero di pacchi:
[math]n = 20[/math]
Valore atteso:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{EV} &= \frac{S}{n} \\
&= \frac{1{,}169{,}416.50}{20} \\
&= 58{,}470.825
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
Il valore medio di un pacco è € 58.470,83 (arrotondato ai centesimi).
Commento:
Questo è l’importo che un giocatore statisticamente vincerebbe se il gioco fosse ripetuto molte volte. Non è un pronostico, ma un’aspettativa matematica.
Esercizio 2 – Dopo cinque pacchi aperti
…. Maria apre i pacchi n. 3, 6, 9, 14 e 18, trovando i seguenti valori:
300.000 €, 250.000 €, 1.000 €, 10 €, 0,50 €
Domanda:
Qual è ora il nuovo valore atteso del suo pacco, sapendo che questi valori sono usciti dal gioco?
Soluzione:
Rimuovi i valori aperti:
Restano 15 pacchi.
Somma dei valori rimasti:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S’ &= 1{,}169{,}416.50 – (300{,}000 + 250{,}000 + 1{,}000 + 10 + 0.5) \\
&= 1{,}169{,}416.50 – 551{,}010.50 \\
&= 618{,}406.00
\end{aligned}[/math]
Nuovo valore atteso:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{EV’} &= \frac{S’}{15} \\
&= \frac{618{,}406}{15} \\
&= 41{,}227.0666\ldots
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
Il nuovo valore atteso del pacco è € 41.227,07
Commento:
L’uscita dei due premi massimi (300 mila e 250 mila €) ha ridotto drasticamente l’EV. Anche se restano ancora premi medi, il potenziale massimo si è abbassato: il “Dottore” potrebbe ora proporre un’offerta intorno a 25–30 mila €, coerente con la media attesa.
Esercizio 3 – Probabilità di avere un pacco “alto”
… Dopo le cinque aperture, Maria si chiede:
“Qual è la probabilità che nel mio pacco ci sia più di 50.000 €?”
Soluzione:
Valori superiori a 50.000 € rimasti:
75.000 €, 100.000 €, 150.000 €, 200.000 € → 4 valori “alti”
Pacchi rimasti: 15
Probabilità:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(\text{pacco alto}) &= \frac{4}{15} \\
&= 0.2666\ldots
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
Probabilità [math]\approx \mathbf{26{,}67 \%}[/math]
Commento:
In termini semplici, c’è circa 1 possibilità su 4 che il pacco di Maria contenga un premio “alto”. Se il Dottore offrisse 25.000 €, la scelta tra accettare o continuare dipenderebbe dall’avversione al rischio del giocatore.
Esercizio 4 – Decisione razionale o emotiva?
….. Il Dottore offre € 25.000. Maria è indecisa. Vuole capire se matematicamente conviene accettare.
Soluzione:
EV corrente: 41.227,07 €
Confronto diretto:
[math]25.000 \text{ €} < 41.227 \text{ €}[/math]
→ in media conviene continuare se si è razionali e neutrali al rischio.
Ma se Maria è prudente, può valutare l’utilità attesa.
Supponiamo che la sua utilità cresca con la radice quadrata del premio:
[math]U(x) = \sqrt{x}[/math]
Calcoliamo la media delle utilità dei valori rimasti e la confrontiamo con [math]U(25.000)[/math].
Esempio semplificato (5 valori simbolici ancora in gioco):
{0.5, 10, 5.000, 50.000, 200.000}
Utilità media (dell’esempio):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\overline{U} &= \frac{\sqrt{0.5} + \sqrt{10} + \sqrt{5000} + \sqrt{50000} + \sqrt{200000}}{5} \\
&\approx \frac{0.707 + 3.162 + 70.711 + 223.607 + 447.214}{5} \\
&= \frac{745.401}{5} \\
&\approx 149.08
\end{aligned}[/math]
Utilità dell’offerta:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(25.000) &= \sqrt{25.000} \\
&\approx 158.11
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
[math]158.11 > 149.08[/math]
→ conviene accettare (secondo il modello di utilità).
Commento:
L’analisi mostra come la psicologia (avversione al rischio) cambi la decisione: anche se l’EV è più alto, il valore percepito dell’offerta può essere più rassicurante.
La funzione di Utilità [math]U(x) = \sqrt{x}[/math]
La funzione [math]U(x) = \sqrt{x}[/math] è un modello matematico molto usato per rappresentare un comportamento psicologico umano fondamentale: l’utilità marginale decrescente.
In parole semplici, questo concetto significa: più soldi hai, meno “felicità” (utilità) ti dà ogni euro in più.
Perché proprio la forma [math]\sqrt{x}[/math]?
La funzione radice quadrata ha una forma specifica che cattura perfettamente questa idea.
All’inizio cresce velocemente: Passare da 0€ a 1.000€ è un cambiamento enorme nella tua vita. Ti dà tantissima utilità (compri cibo, paghi l’affitto).
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{1000} &\approx 31{,}6
\end{aligned}[/math]
Poi cresce sempre più lentamente: Passare da 1.000.000€ a 1.001.000€ (un guadagno identico di 1.000€) è quasi irrilevante. Ti dà pochissima utilità in più.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sqrt{1.001.000} – \sqrt{1.000.000} &\approx 1000{,}5 – 1000 \\
&= 0{,}5
\end{aligned}[/math]
Il primo guadagno di 1.000€ ti ha dato 31,6 “punti felicità”. Il secondo guadagno di 1.000€ ti ha dato solo 0,5 “punti felicità”.
La curva si appiattisce. Questa forma modella l’idea che i primi soldi contano moltissimo, e i soldi successivi contano sempre meno.
Cosa c’entra con il rischio?
Questa forma (concava) è la definizione matematica dell’avversione al rischio.
Proprio perché la curva si appiattisce, una perdita fa più “male” di quanto una vincita equivalente faccia “bene”.
Facciamo un esempio partendo da 20.000€:
Perdere 10.000€ (scendi a 10.000€):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(\text{inizio}) &= \sqrt{20.000} \approx 141{,}4 \\
U(\text{fine}) &= \sqrt{10.000} = 100 \\
\text{Perdita di utilità (dolore)} &: 141{,}4 – 100 = \mathbf{-41{,}4} \text{ punti.}
\end{aligned}[/math]
Vincere 10.000€ (sali a 30.000€):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(\text{inizio}) &= \sqrt{20.000} \approx 141{,}4 \\
U(\text{fine}) &= \sqrt{30.000} \approx 173{,}2 \\
\text{Guadagno di utilità (piacere)} &: 173{,}2 – 141{,}4 = \mathbf{+31{,}8} \text{ punti.}
\end{aligned}[/math]
Come vedi, il “dolore” della perdita ([math]-41{,}4[/math]) è maggiore del “piacere” della vincita ([math]+31{,}8[/math]).
Si usa [math]U(x) = \sqrt{x}[/math] (o funzioni simili come [math]U(x) = \log(x)[/math]) perché modella matematicamente una persona prudente o avversa al rischio: una persona che preferisce una somma certa (l’uovo oggi) a una scommessa rischiosa (la gallina domani), anche se la scommessa ha un valore medio ([math]\text{EV}[/math]) più alto, perché la paura di perdere è psicologicamente più forte della speranza di vincere.
🔍 Riepilogo del Modulo 1
| Situazione | Valore atteso (€) | Probabilità di pacco alto | Offerta (€) | Scelta razionale | Scelta prudente |
|---|---|---|---|---|---|
| Inizio gioco | 58.470,83 | [math]\frac{5}{20} = 25 \%[/math] | – | – | – |
| Dopo 5 pacchi aperti | 41.227,07 | [math]\frac{4}{15} \approx 26{,}7 \%[/math] | 25.000 | Continuare | Accettare |
Modulo 2 – Decisioni condizionali e strategie nel gioco dei pacchi
Scenario
Il pubblico applaude, Maria sorride ma il Dottore torna al telefono.
La prima offerta è stata rifiutata. Ora il gioco si fa serio: restano 15 pacchi, e ogni nuova apertura può cambiare drasticamente le probabilità.
In questo modulo esploreremo come aggiornare le probabilità e il valore atteso a ogni fase, e come ragionare in modo condizionale — cioè dato ciò che già sappiamo.
Esercizio 1 – Probabilità condizionata dopo un evento favorevole
Maria apre due pacchi di fila, trovando 5 € e 250 €.
“Bene!” – pensa – “sono due valori piccoli: forse il mio pacco è buono!”
Domanda:
Qual è la probabilità che il suo pacco contenga più di 50 000 €, dato che due piccoli premi sono usciti?
Soluzione
Situazione iniziale:
Dopo il primo turno rimanevano 15 pacchi.
I valori superiori a 50 000 € erano:
[math]75{,}000,\ 100{,}000,\ 150{,}000,\ 200{,}000 \rightarrow \mathbf{4 \text{ valori alti}}[/math]
Aperture:
Sono usciti 5 € e 250 € → entrambi non appartenevano ai “valori alti”.
Aggiornamento condizionale:
Poiché le due aperture non hanno toccato i valori alti, restano ancora 4 valori alti su [math]15 – 2 = \mathbf{13}[/math] pacchi.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(\text{pacco alto} \mid \text{usciti due piccoli}) &= \frac{4}{13} \\
&\approx 0.3077
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
Probabilità [math]\approx \mathbf{30{,}77 \%}[/math]
Commento:
L’apertura di pacchi “piccoli” aumenta leggermente la probabilità che il proprio pacco sia alto, perché il gioco si aggiorna in base alle informazioni nuove.
Questo è un esempio pratico di probabilità condizionata.
Esercizio 2 – Nuovo valore atteso dopo un evento favorevole
Il Dottore osserva e si gratta il mento: “Due pacchi bassi in meno… facciamo un’altra offerta.”
Maria vuole capire come cambia il valore atteso prima di sentire la proposta.
Soluzione
Valori rimasti dopo le due aperture:
Restano 13 pacchi con somma:
(La somma precedente era [math]S’ = 618{,}406[/math] dall’Esercizio 2 del Modulo 1)
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S” &= 618{,}406 – (5 + 250) \\
&= 618{,}406 – 255 \\
&= 618{,}151
\end{aligned}[/math]
Nuovo valore atteso:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{EV”} &= \frac{618{,}151}{13} \\
&\approx 47{,}550.0769\ldots \\
&\approx 47{,}550.08
\end{aligned}[/math]
👉 Risultato finale:
Il valore atteso del pacco è ora € 47.550,08
Commento:
Anche se la probabilità di un pacco alto è salita, la crescita dell’EV non è enorme. L’informazione favorevole “protegge” l’attesa, ma non la raddoppia: è il tipico equilibrio tra fortuna percepita e media matematica.
Esercizio 3: L’offerta condizionata del Dottore
Siamo nella fase calda della partita.
Maria ha già aperto 8 pacchi.
Restano in gioco 12 pacchi, con i seguenti premi:
1 €, 5 €, 10 €, 50 €, 100 €, 250 €, 500 €, 1 000 €, 2 500 €, 75 000 €, 100 000 €, 150 000 €
Il Dottore la chiama:
“Maria… ti offro 30 000 €. Prendere o lasciare?”
Maria vuole capire se l’offerta è conveniente, prima di decidere col cuore.
Obiettivo
Calcolare il valore atteso (EV) del pacco di Maria dopo 8 aperture, e confrontarlo con l’offerta del Dottore.
Passo 1 – Analizzare i premi rimasti
Osserviamo i valori:
- 9 pacchi “bassi”: da 1 € a 2 500 €
- 3 pacchi “alti”: 75 000 €, 100 000 €, 150 000 €
Poiché i valori bassi sono molto piccoli rispetto agli altri, possiamo trattarli come un’unica “fascia bassa” per semplificare il calcolo.
👉 Qui entra in gioco l’approssimazione “≈ 5 000 €”.
Passo 2 – Perché si usa ≈ 5 000 €
In realtà la media dei premi bassi è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\overline{x}_{\text{bassi}} &= \frac{1 + 5 + 10 + 50 + 100 + 250 + 500 + 1{,}000 + 2{,}500}{9} \\
&= \frac{4{,}416}{9} \\
&\approx 490.6 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
Ma questo valore è talmente piccolo che non riflette il peso psicologico che i pacchi “bassi” hanno nel gioco.
Durante Affari Tuoi, il pubblico e il Dottore ragionano a fasce (“pacchi piccoli”, “pacchi medi”, “pacchi alti”).
Per questo, nel modello didattico, si approssima tutta la fascia bassa con un valore rappresentativo:
[math]\text{Pacchi bassi} \approx 5{,}000 \text{ €}[/math]
Questo non altera il concetto matematico, ma rende i calcoli più realistici nel contesto del gioco, dove le offerte si basano sulla percezione del rischio, non solo sulla media aritmetica esatta.
Passo 3 – Calcolare il valore atteso approssimato
Abbiamo:
- 9 pacchi da [math]\approx 5\,000 \text{ €}[/math]
- 3 pacchi da 75 000 €, 100 000 €, 150 000 €
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{EV}_{\text{approssimato}} &= \frac{(9 \times 5{,}000) + (75{,}000 + 100{,}000 + 150{,}000)}{12} \\
&= \frac{45{,}000 + 325{,}000}{12} \\
&= \frac{370{,}000}{12} \\
&\approx 30{,}833.33 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
👉 Valore atteso approssimato: [math]\approx \mathbf{30\,833.33 \text{ €}}[/math]
Passo 4 – Confronto con l’offerta
Il Dottore offre 30 000 €.
L’offerta è leggermente inferiore al valore atteso approssimato [math](30\,833.33 \text{ €})[/math], ma:
- l’EV è stato calcolato approssimando verso l’alto ([math]5\,000 \text{ €}[/math] invece di [math]490.6 \text{ €}[/math]),
- e il rischio di eliminare i pacchi alti è alto (solo 3 su 12).
Conclusione
| Scenario | Descrizione | Valore (€) |
|---|---|---|
| EV reale (media matematica esatta) | Somma esatta divisa per 12: [math]\frac{4{,}416 + 325{,}000}{12} \approx \mathbf{27{,}451.33}[/math] | [math]\approx 27\,451[/math] |
| EV approssimato (con “≈ 5 000 €”) | Semplificazione didattica | [math]\approx 30\,833[/math] |
| Offerta del Dottore | – | 30 000 |
Interpretazione:
- Se Maria ragionasse da matematica pura ([math]27\,451 \text{ €}[/math]), l’offerta ([math]30\,000 \text{ €}[/math]) è superiore al valore atteso reale e conveniente.
- Se ragionasse da concorrente prudente (seguendo l’EV approssimato che sovrastima la media), accettare i [math]30\,000 \text{ €}[/math] è una decisione razionale, in quanto il rischio di perdere i premi alti è significativo.
L’approssimazione “≈ 5 000 €” serve a mostrare come, nel gioco, la percezione e il rischio (più che l’esatta media) possano spostare la valutazione di convenienza.
💡 Commento finale
L’approssimazione “≈ 5 000 €” non è un errore, ma un espediente didattico che:
- rende più fluido il calcolo del valore atteso;
- mantiene il senso strategico del gioco (concentrandosi sul rischio degli alti);
- e mostra la differenza tra approccio statistico e approccio psicologico al rischio.
Esercizio 4 Analisi Condizionale
Maria deve decidere se accettare l’offerta di 30.000 € basandosi sul valore atteso (EV) del suo pacco, prima di aprire i 2 pacchi aggiuntivi.
1) Probabilità che Maria apra solo pacchi bassi (Legge della Probabilità Totale)
Analizziamo i valori rimanenti (11 totali):
- Pacchi Basi ([math]N_B[/math]): 1, 5, 10, 50, 100, 250, 500, 1000, 2500 → [math]N_B = \mathbf{9}[/math]
- Pacchi Alti ([math]N_A[/math]): 75.000, 100.000 → [math]N_A = \mathbf{2}[/math]
Calcoliamo la probabilità che i due pacchi aperti siano entrambi bassi, condizionando sul contenuto del pacco di Maria (che è sconosciuto).
Scenario A – Maria ha un pacco basso ([math]P(A) = 9/11[/math])
Se Maria ha un pacco basso, i 10 pacchi rimanenti contengono 8 bassi e 2 alti.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(2\text{ bassi} \mid A) &= \frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} \\
&= \frac{28}{45}
\end{aligned}[/math]
Scenario B – Maria ha un pacco alto ([math]P(B) = 2/11[/math])
Se Maria ha un pacco alto, i 10 pacchi rimanenti contengono 9 bassi e 1 alto.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(2\text{ bassi} \mid B) &= \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{2}} \\
&= \frac{36}{45}
\end{aligned}[/math]
Probabilità Totale:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(2\text{ bassi}) &= P(A) \cdot P(2\text{ bassi}|A) + P(B) \cdot P(2\text{ bassi}|B) \\
&= \frac{9}{11} \cdot \frac{28}{45} + \frac{2}{11} \cdot \frac{36}{45} \\
&= \frac{252}{495} + \frac{72}{495} \\
&= \frac{324}{495} \\
&= \frac{36}{55} \approx 0{,}6545
\end{aligned}[/math]
✅ Risultato 1:
La probabilità che Maria apra solo pacchi bassi è [math]\frac{36}{55} \approx \mathbf{65{,}45 \%}[/math].
2) Valore Atteso “a Priori” del pacco di Maria (EV)
Poiché Maria non sa cosa c’è nel suo pacco, e tutte le combinazioni rimaste sono equiprobabili, il Valore Atteso (EV) del suo pacco è semplicemente la media aritmetica di tutti gli 11 valori rimanenti.
Somma dei valori rimanenti:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
S_{\text{tot}} &= (1+5+\dots+2500) + (75\,000+100\,000) \\
&= 4\,416 + 175\,000 \\
&= 179\,416 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
Media “a Priori”:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{EV}_{\text{a priori}} &= \frac{179{,}416}{11} \\
&\approx 16{,}310.55 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
✅ Risultato 2:
Il Valore Atteso del pacco di Maria (prima di aprire i 2 pacchi) è [math]\approx \mathbf{€ 16.310,55}[/math].
3) Confronto con l’Offerta del Dottore
- EV del pacco di Maria: [math]\approx 16.310,55 \text{ €}[/math]
- Offerta del Dottore: [math]30.000 \text{ €}[/math]
Poiché l’offerta di [math]30.000 \text{ €}[/math] è molto superiore al Valore Atteso matematico ([math]16.310,55 \text{ €}[/math]), la scelta razionale è accettare l’offerta.
Nota: Anche se Maria aprisse i 2 pacchi, il valore atteso del suo pacco, condizionato solo dal fatto di aprire a caso tra i rimanenti, rimarrebbe [math]\approx 16.310,55 \text{ €}[/math] fino a quando non vede i risultati. La decisione prima dell’apertura deve basarsi sull’EV “a priori”.
✅ Conclusioni Finali:
La scelta razionale per Maria è accettare l’offerta di [math]30.000 \text{ €}[/math] perché è quasi il doppio del valore atteso matematico del suo pacco.
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Applicabilità degli Esercizi
Questa sezione spiega perché ogni esercizio è interessante dal punto di vista applicativo e strategico.
Modulo 1
- Es. 1 (EV Iniziale):
- Questo è il prezzo del biglietto. È il valore “equo” del gioco prima che inizi.
- Applicabilità: Dimostra che, all’inizio, il gioco è (quasi) equo, con un valore altissimo (58k €). Spiega perché il Dottore non fa offerte all’inizio: qualsiasi offerta “ragionevole” sarebbe troppo alta per la produzione.
- Es. 2 (EV Aggiornato dopo Eventi Sfavorevoli):
- Questo è il Bayes Theorem in azione. L’informazione (aprire 300k e 250k) aggiorna drasticamente la nostra aspettativa.
- Applicabilità: È il cuore del risk management. Dimostra che l’EV non è statico; è un valore vivo che reagisce alle nuove informazioni. Insegna a “ricalibrare” le aspettative dopo una perdita.
- Es. 3 (Probabilità di Pacco Alto):
- Sposta l’attenzione dall’EV (media) al profilo di rischio.
- Applicabilità: L’EV era 41k €, ma questo esercizio ci dice che quel valore è “gonfiato” da una probabilità bassa (26,7%) di vincere tanto. Ci sono molte più probabilità (73,3%) di avere un pacco basso. Questo introduce il dilemma: ti fidi della media (alta) o temi la probabilità (sfavorevole)?
- Es. 4 (Decisione Razionale vs. Utilità):
- È l’esercizio più importante. Spiega perché la “scelta razionale” (rifiutare 25k perché < 41k) è matematicamente giusta ma psicologicamente difficile.
- Applicabilità: Introduce l’avversione al rischio. La funzione [math]U(x) = \sqrt{x}[/math] (utilità) modella il fatto che “perdere” 25.000€ fa più male che “guadagnare” altri 25.000€. Spiega perché le persone (correttamente) preferiscono un “uovo oggi” (l’offerta certa) a una “gallina domani” (l’EV incerto).
Modulo 2
- Es. 1 & 2 (Eventi Favorevoli):
- È l’opposto dell’Es. 2 (Modulo 1). Aprire pacchi blu (piccoli) fa salire l’EV (da 41k a 47.5k).
- Applicabilità: Dimostra matematicamente perché aprire un pacco da 5€ è una vittoria. Ogni pacco blu eliminato “purifica” il set di pacchi rimasti, aumentando la concentrazione di valore.
- Es. 3 (L’Approssimazione Psicologica):
- L’uso di “≈ 5.000 €” è un trucco didattico.
- Applicabilità: Spiega come ragiona il Dottore (e il concorrente). A fine partita, 1€, 100€ o 2.500€ sono percepiti allo stesso modo: “Non è un premio alto”. La matematica pura (media 490€) è irrilevante per la psicologia del gioco. L’offerta del Dottore (30k) si basa sull’EV “psicologico” (30.8k), non su quello reale (27.4k), rendendola un’offerta perfettamente calibrata per tentare il concorrente.
- Es. 4 (EV “A Priori” e Simmetria):
- L’EV a priori (16.3k) è molto più basso dell’offerta (30k), anche se ci sono due pacchi altissimi in gioco.
- Applicabilità: Questo esercizio è fondamentale per capire il tempismo delle decisioni. Prima di vedere le due nuove aperture, il valore del pacco di Maria è semplicemente la media di tutti i pacchi (principio di simmetria). L’offerta di 30k è quasi il doppio dell’EV reale (16.3k). È un’offerta irrinunciabile dal punto di vista matematico, fatta per sfruttare la paura del concorrente di aprire i due pacchi alti.
