Curva di Phillips: cos’è, formula, esempi Python e limiti del modello

La Curva di Phillips con Python: esercizi, simulazioni e analisi dei dati

Una banca centrale deve decidere quanto rapidamente riportare l’inflazione verso il proprio obiettivo. Un governo deve valutare gli effetti delle proprie politiche sull’occupazione. Un’impresa deve formulare previsioni su salari, prezzi e domanda. In tutti questi casi la domanda di fondo è simile:

Se l’economia rallenta e la disoccupazione aumenta, l’inflazione scenderà davvero? E di quanto?

La risposta della Curva di Phillips non è semplicemente «sì» o «no».

Dipende dalle aspettative, dagli shock di offerta, dalla struttura del mercato del lavoro e dal modo in cui il modello viene stimato. Ed è proprio qui che il tema diventa interessante anche dal punto di vista della Data Science.

Un modello teorico può dirci che esiste una relazione del tipo:

ma i dati pongono domande più difficili:

• Quanto vale davvero [math]\beta[/math]?
• Il parametro è stabile nel tempo?
• Possiamo stimare il NAIRU?
• Quanto sono incerte le previsioni?
• Un modello con un buon RMSE è necessariamente utile per prendere decisioni?
• Una relazione statistica tra inflazione e disoccupazione implica causalità?

In questo articolo costruiremo un percorso progressivo.

Partiremo dalla Curva di Phillips teorica. Vedremo come cambiano inflazione e disoccupazione in presenza di shock e aspettative adattive. Poi passeremo ai dati: stimeremo una relazione con Python, valuteremo il modello, analizzeremo la sua incertezza e utilizzeremo simulazioni Monte Carlo per ragionare in termini di scenari.

L’obiettivo non è imparare una formula a memoria.

L’obiettivo è capire un passaggio molto più generale:

un modello economico diventa utile quando sappiamo quali ipotesi contiene, come stimarlo, quanto possiamo fidarci dei suoi risultati e quali decisioni può realmente supportare.

La Curva di Phillips: che cosa descrive?

La versione più semplice della Curva di Phillips suggerisce una relazione inversa tra:

• inflazione;
• disoccupazione.

Quando il mercato del lavoro è molto teso e la disoccupazione è bassa, salari e prezzi possono subire maggiori pressioni verso l’alto. Quando la disoccupazione aumenta, queste pressioni tendono invece a ridursi.

La formulazione moderna, che incorpora le aspettative, può essere scritta come:

dove:

• [math]\pi_t[/math] = inflazione effettiva;
• [math]\pi_t^e[/math] = inflazione attesa;
• [math]u_t[/math] = tasso di disoccupazione;
• [math]u_n[/math] = tasso naturale di disoccupazione o NAIRU;
• [math]\beta > 0[/math] = sensibilità dell’inflazione alle deviazioni della disoccupazione dal suo livello naturale;
• [math]\varepsilon_t[/math] = shock che colpiscono l’economia.

La struttura del modello è semplice da leggere.

Se:

allora:

e quindi il termine:

diventa positivo.

L’inflazione tende quindi a essere superiore alle aspettative.

Se invece:

l’effetto è negativo e l’inflazione tende a essere inferiore a quella attesa.

Questa relazione, però, non deve essere interpretata come una legge meccanica valida in ogni periodo storico.

La Curva di Phillips è un modello. E, come ogni modello, dipende dalle ipotesi.

Prima di usare Python: modello teorico e dati non sono la stessa cosa

Questa distinzione è fondamentale.

Possiamo costruire una curva impostando direttamente:

e calcolare l’inflazione per diversi livelli di disoccupazione.

In questo caso Python esegue semplicemente un modello che abbiamo già definito.

Il flusso è:

scegliamo i parametri → calcoliamo i risultati → visualizziamo la curva.

Quando invece lavoriamo con dati osservati, il problema cambia:

osserviamo inflazione e disoccupazione → stimiamo i parametri → misuriamo l’incertezza → valutiamo il modello.

Questa seconda parte è quella che ci porterà dalla macroeconomia teorica alla Data Science.

Cominciamo comunque dal modello più semplice.

Esercizio 1 — Leggere una Curva di Phillips di breve periodo

Il problema

Supponiamo che un’agenzia di analisi macroeconomica utilizzi per un’economia la seguente Curva di Phillips di breve periodo:

Le aspettative di inflazione sono quindi ancorate al 2%.

Vogliamo calcolare l’inflazione quando:

• [math]u = 4\%[/math];
• [math]u = 6\%[/math];
• [math]u = 8\%[/math].

Vogliamo inoltre identificare il livello naturale di disoccupazione e visualizzare la curva.

Soluzione matematica

Confrontiamo l’equazione con la forma generale:

Otteniamo:

Caso 1: [math]u = 4[/math]

La disoccupazione è inferiore al livello naturale e il modello associa questa situazione a una maggiore pressione inflazionistica.

Caso 2: [math]u = 6[/math]

Quando:

l’inflazione coincide con quella attesa.

Caso 3: [math]u = 8[/math]

Una disoccupazione superiore al livello naturale è associata, nel modello, a una minore inflazione.

Implementazione Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from dataclasses import dataclass


@dataclass(frozen=True)
class PhillipsCurve:
    """
    Curva di Phillips di breve periodo.

    Parameters
    ----------
    pi_e : float
        Inflazione attesa in punti percentuali.
    beta : float
        Sensibilità dell'inflazione alla deviazione
        della disoccupazione dal livello naturale.
    u_n : float
        Tasso naturale di disoccupazione.
    """

    pi_e: float
    beta: float
    u_n: float

    def __post_init__(self):
        if not np.isfinite(self.pi_e):
            raise ValueError("pi_e deve essere finito.")

        if not np.isfinite(self.beta) or self.beta <= 0:
            raise ValueError("beta deve essere positivo e finito.")

        if not np.isfinite(self.u_n) or self.u_n < 0:
            raise ValueError("u_n deve essere non negativo e finito.")

    def predict(self, u: float | np.ndarray) -> np.ndarray:
        """
        Calcola l'inflazione prevista.
        """

        u = np.asarray(u, dtype=float)

        if not np.all(np.isfinite(u)):
            raise ValueError("u contiene valori non validi.")

        return self.pi_e - self.beta * (u - self.u_n)


# Parametri del modello
pc = PhillipsCurve(
    pi_e=2.0,
    beta=0.5,
    u_n=6.0
)

# Valori da analizzare
u_values = np.array([4.0, 6.0, 8.0])

# Previsioni
pi_values = pc.predict(u_values)

for u, pi in zip(u_values, pi_values):
    print(
        f"Disoccupazione: {u:.1f}% | "
        f"Inflazione prevista: {pi:.2f}%"
    )

Output atteso

Disoccupazione: 4.0% | Inflazione prevista: 3.00%
Disoccupazione: 6.0% | Inflazione prevista: 2.00%
Disoccupazione: 8.0% | Inflazione prevista: 1.00%

Validazione del modello

Prima di disegnare un grafico, possiamo verificare che il codice rispetti alcune proprietà teoriche.

assert np.isclose(pc.predict(4.0), 3.0)
assert np.isclose(pc.predict(6.0), 2.0)
assert np.isclose(pc.predict(8.0), 1.0)

print("Tutti i test superati.")

Questi controlli sono semplici, ma introducono una buona abitudine.

Quando implementiamo un modello, non basta ottenere un numero plausibile.

Dobbiamo verificare che il comportamento del codice sia coerente con la teoria.

Visualizzazione

u_grid = np.linspace(2, 10, 200)
pi_grid = pc.predict(u_grid)

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.plot(
    u_grid,
    pi_grid,
    linewidth=2.5,
    label="Curva di Phillips"
)

plt.axvline(
    pc.u_n,
    linestyle="--",
    label="NAIRU"
)

plt.axhline(
    pc.pi_e,
    linestyle=":",
    label="Inflazione attesa"
)

plt.scatter(
    u_values,
    pi_values,
    zorder=5
)

plt.xlabel("Disoccupazione (%)")
plt.ylabel("Inflazione (%)")
plt.title("Curva di Phillips di breve periodo")

plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Come leggere il grafico?

La curva è decrescente.

Ma è importante non leggere il grafico come se mostrasse automaticamente una relazione causale.

Il grafico rappresenta il modello che abbiamo imposto.

Non abbiamo ancora dimostrato che nei dati reali la relazione:

sia stabile, lineare o identica in tutti i periodi.

Questo sarà il passaggio successivo.

Interpretazione decisionale

Supponiamo che la banca centrale osservi una disoccupazione al 4%.

Il modello restituisce:

La decisione non dovrebbe essere:

L’inflazione sarà certamente del 3%.

La lettura corretta è:

Se le aspettative restano al 2%, il NAIRU è effettivamente al 6% e il parametro [math]\beta[/math] vale 0.5, allora il modello associa una disoccupazione del 4% a un’inflazione del 3%.

La differenza sembra linguistica, ma è sostanziale.

Un modello produce risultati condizionati alle sue ipotesi.

Esercizio 2 — Shock e spostamento della Curva di Phillips

Il problema

Partiamo dalla stessa economia.

Supponiamo ora che si verifichino contemporaneamente due eventi:

1. le aspettative di inflazione salgono dal 2% al 3%;
2. uno shock energetico aggiunge 1.5 punti percentuali all’inflazione.

Il modello diventa:

Vogliamo:

• scrivere la nuova equazione;
• confrontarla con quella precedente;
• calcolare quale livello di disoccupazione sarebbe necessario per ottenere [math]\pi = 2\%[/math].

Soluzione

Semplificando:

Sviluppando ulteriormente:

Imponiamo ora:

Otteniamo:

Quindi:

Attenzione all’interpretazione

L’11% non è una previsione macroeconomica.

È il risultato del modello sotto ipotesi molto specifiche.

Abbiamo supposto che:

• [math]\beta = 0.5[/math];
• il NAIRU resti al 6%;
• lo shock abbia dimensione fissa;
• le aspettative restino al 3%;
• non esistano effetti dinamici;
• la politica monetaria non modifichi le aspettative.

Quindi il risultato corretto da riportare è:

In questo scenario parametrico, il modello richiede una disoccupazione dell’11% per riportare l’inflazione al 2%.

È molto diverso dal dire:

La banca centrale deve portare la disoccupazione all’11%.

Implementazione Python

pc_old = PhillipsCurve(
    pi_e=2.0,
    beta=0.5,
    u_n=6.0
)

pc_new = PhillipsCurve(
    pi_e=3.0,
    beta=0.5,
    u_n=6.0
)

epsilon = 1.5

u_grid = np.linspace(2, 12, 300)

pi_old = pc_old.predict(u_grid)
pi_new = pc_new.predict(u_grid) + epsilon

target_pi = 2.0

u_target = (
    pc_new.pi_e
    + epsilon
    - target_pi
) / pc_new.beta + pc_new.u_n

print(
    f"Disoccupazione necessaria nel modello: "
    f"{u_target:.2f}%"
)

Output

Disoccupazione necessaria nel modello: 11.00%

Grafico

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.plot(
    u_grid,
    pi_old,
    label="Scenario iniziale",
    linewidth=2
)

plt.plot(
    u_grid,
    pi_new,
    label="Nuovo scenario",
    linewidth=2
)

plt.axhline(
    target_pi,
    linestyle=":",
    label="Target inflazione"
)

plt.axvline(
    u_target,
    linestyle="--",
    label="u richiesto dal modello"
)

plt.scatter(
    [u_target],
    [target_pi],
    zorder=5
)

plt.xlabel("Disoccupazione (%)")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Come shock e aspettative modificano la Curva di Phillips"
)

plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Interpretazione decisionale

Questo esercizio mostra un punto importante.

Uno shock di offerta può modificare il problema della politica economica.

Se l’inflazione aumenta perché la domanda è eccessiva, una politica restrittiva può agire principalmente riducendo la domanda.

Ma uno shock energetico o produttivo può produrre una situazione diversa.

L’inflazione aumenta senza che la banca centrale possa eliminare direttamente la causa dello shock.

Il problema decisionale diventa allora:

Quanto rallentamento economico siamo disposti a tollerare per ridurre un’inflazione generata almeno in parte da uno shock di offerta?

Questa è una domanda di policy. Non una semplice sostituzione in una formula.

Esercizio 3 — Aspettative adattive e accelerazione dell’inflazione

Finora abbiamo considerato le aspettative come un valore fissato.

Ma le aspettative possono cambiare.

Una formulazione semplice è:

Le persone e le imprese utilizzano quindi l’inflazione osservata nel periodo precedente come riferimento per il periodo successivo.

La Curva di Phillips diventa:

Il problema

Supponiamo:

per quattro anni consecutivi.

Soluzione

Poiché:

abbiamo:

Quindi:

La traiettoria è:

La disoccupazione resta costante.

L’inflazione no.

Implementazione Python

def simulate_adaptive(
    pi0: float = 2.0,
    u: float = 3.0,
    u_n: float = 5.0,
    beta: float = 0.4,
    T: int = 4
) -> np.ndarray:
    """
    Simula una Curva di Phillips
    con aspettative adattive.
    """

    if beta <= 0:
        raise ValueError("beta deve essere positivo.")

    if T < 1:
        raise ValueError("T deve essere almeno 1.")

    pi = np.empty(T + 1)
    pi[0] = pi0

    for t in range(1, T + 1):
        pi[t] = (
            pi[t - 1]
            - beta * (u - u_n)
        )

    return pi


pi_path = simulate_adaptive()

for t, pi in enumerate(pi_path):
    print(f"Anno {t}: inflazione = {pi:.2f}%")

Output

Anno 0: inflazione = 2.00%
Anno 1: inflazione = 2.80%
Anno 2: inflazione = 3.60%
Anno 3: inflazione = 4.40%
Anno 4: inflazione = 5.20%

Grafico della traiettoria

years = np.arange(len(pi_path))

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.plot(
    years,
    pi_path,
    marker="o",
    linewidth=2
)

plt.xlabel("Anno")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Aspettative adattive e accelerazione dell'inflazione"
)

plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Interpretazione

Questo esercizio non dimostra una generica «spirale inflazionistica».

Mostra qualcosa di più preciso.

Se:

• le aspettative coincidono con l’inflazione passata;
• la disoccupazione rimane persistentemente sotto il livello naturale;
• [math]\beta[/math] resta costante;

allora l’inflazione aumenta progressivamente.

Il modello può essere riscritto come:

Se:

allora:

L’inflazione accelera.

Se:

allora:

e l’inflazione rimane stabile.

Interpretazione decisionale

Per un decisore il risultato importante non è il valore esatto del 5.2%.

Il punto centrale è la dinamica.

Una politica che mantiene il mercato del lavoro persistentemente oltre il livello compatibile con un’inflazione stabile può produrre effetti che non emergono osservando un singolo anno.

Questo introduce una regola generale per l’analisi dei dati:

Un modello statico può sembrare innocuo. Una dinamica ripetuta nel tempo può produrre conseguenze molto diverse.

Esercizio 4 — Dal modello teorico ai dati: stimare una Curva di Phillips

Finora abbiamo scelto noi il valore di:

Ma nella realtà non conosciamo il parametro.

Dobbiamo stimarlo.

Per introdurre il problema senza utilizzare immediatamente un dataset reale, generiamo un dataset sintetico.

Supponiamo che la vera economia segua:

dove:

rappresenta shock non osservati.

Creazione del dataset sintetico

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm


rng = np.random.default_rng(seed=42)

n = 120

unemployment = rng.uniform(
    low=3,
    high=10,
    size=n
)

epsilon = rng.normal(
    loc=0,
    scale=0.8,
    size=n
)

inflation = (
    5
    - 0.6 * unemployment
    + epsilon
)

df = pd.DataFrame({
    "unemployment": unemployment,
    "inflation": inflation
})

df.head()

Primo controllo visivo

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.scatter(
    df["unemployment"],
    df["inflation"],
    alpha=0.7
)

plt.xlabel("Disoccupazione (%)")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Inflazione e disoccupazione nel dataset simulato"
)

plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Ora non abbiamo più una linea perfetta.

Abbiamo punti.

Ed è questo il problema reale.

Ogni osservazione contiene:

• una componente sistematica;
• una componente casuale;
• eventuali fattori che il modello non osserva.

Stimiamo il modello

Utilizziamo una regressione lineare:

dove ci aspettiamo:

X = sm.add_constant(
    df["unemployment"]
)

y = df["inflation"]

model = sm.OLS(
    y,
    X
).fit()

print(model.summary())

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:              inflation   R-squared:                       0.670
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.667
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     239.3
Date:                Fri, 11 Sep 2026   Prob (F-statistic):           3.66e-30
Time:                        09:22:58   Log-Likelihood:                -144.42
No. Observations:                 120   AIC:                             292.8
Df Residuals:                     118   BIC:                             298.4
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
================================================================================
                   coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
--------------------------------------------------------------------------------
const            5.0032      0.263     19.014      0.000       4.482       5.524
unemployment    -0.6016      0.039    -15.469      0.000      -0.679      -0.525
==============================================================================
Omnibus:                        3.275   Durbin-Watson:                   1.580
Prob(Omnibus):                  0.195   Jarque-Bera (JB):                3.215
Skew:                           0.395   Prob(JB):                        0.200
Kurtosis:                       2.868   Cond. No.                         24.5
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Come interpretare l’output?

Il risultato principale sarà il coefficiente associato alla disoccupazione.

Poiché abbiamo costruito i dati con:

ci aspettiamo una stima vicina a questo valore.

Ma non necessariamente identica.

Lo shock casuale introduce variabilità.

Supponiamo, per esempio, di ottenere:

unemployment   -0.58

L’interpretazione è:

Nel dataset simulato, un aumento di un punto percentuale della disoccupazione è associato, secondo il modello lineare stimato, a una riduzione media dell’inflazione di circa 0.58 punti percentuali.

La parola importante è associato.

Non abbiamo dimostrato causalità.

Regressione non significa causalità

Questo punto merita una sezione esplicita.

Se stimiamo:

e otteniamo:

non possiamo automaticamente concludere che:

aumentando la disoccupazione riduciamo causalmente l’inflazione di [math]|\gamma|[/math].

Perché?

Potrebbero esistere:

• shock che influenzano entrambe le variabili;
• politiche monetarie che reagiscono all’inflazione;
• aspettative non osservate;
• variabili omesse;
• simultaneità.

In altre parole, la regressione descrive una relazione condizionata alla struttura del modello.

Per fare inferenza causale servirebbe un disegno più forte.

Per esempio:

• variabili strumentali;
• esperimenti naturali;
• modelli strutturali;
• disegni quasi-sperimentali.

Interpretazione decisionale

Un decisore non dovrebbe leggere il coefficiente:

come un pulsante.

Non esiste una leva chiamata «aumenta la disoccupazione di un punto».

Il coefficiente può essere utile per:

• costruire scenari;
• confrontare periodi;
• identificare relazioni storiche;
• verificare la stabilità del modello.

Ma trasformare direttamente un coefficiente statistico in una politica economica sarebbe un errore.

Esercizio 5 — Quanto è buono il modello?

Una volta stimata una regressione, la domanda successiva non è:

Il coefficiente è statisticamente significativo?

La domanda è:

Il modello è utile?

Non esiste una sola risposta.

Valuteremo tre aspetti:

1. Fit;
2. Calibrazione;
3. Decision Value.

Fit: quanto bene il modello descrive i dati?

Calcoliamo le previsioni.

df["prediction"] = model.predict(X)

df["residual"] = (
    df["inflation"]
    - df["prediction"]
)

Ora possiamo calcolare:

• MAE;
• RMSE;
• [math]R^2[/math].

from sklearn.metrics import (
    mean_absolute_error,
    mean_squared_error,
    r2_score
)

mae = mean_absolute_error(
    df["inflation"],
    df["prediction"]
)

rmse = mean_squared_error(
    df["inflation"],
    df["prediction"]
) ** 0.5

r2 = r2_score(
    df["inflation"],
    df["prediction"]
)

print(f"MAE:  {mae:.3f}")
print(f"RMSE: {rmse:.3f}")
print(f"R²:   {r2:.3f}")

MAE:  0.642
RMSE: 0.806
R²:   0.670

Come leggere queste metriche?

MAE

Il MAE misura l’errore assoluto medio.

Se:

MAE = 0.642

significa che, mediamente, le previsioni differiscono dall’inflazione osservata di circa 0.6 punti percentuali.

RMSE

L’RMSE penalizza maggiormente gli errori grandi.

Se il modello commette raramente errori molto elevati, questa metrica può essere più severa del MAE.

R²

L’[math]R^2[/math] misura quanta variabilità del target viene spiegata dal modello.

Ma un buon [math]R^2[/math] non garantisce:

• causalità;
• stabilità futura;
• utilità decisionale.

Questa distinzione è fondamentale.

Calibrazione: il modello sovrastima o sottostima?

Un modello può avere un buon RMSE ma produrre errori sistematici.

Per verificarlo confrontiamo:

con:

plt.figure(figsize=(7, 7))

plt.scatter(
    df["prediction"],
    df["inflation"],
    alpha=0.7
)

min_value = min(
    df["prediction"].min(),
    df["inflation"].min()
)

max_value = max(
    df["prediction"].max(),
    df["inflation"].max()
)

plt.plot(
    [min_value, max_value],
    [min_value, max_value],
    linestyle="--"
)

plt.xlabel("Inflazione prevista")
plt.ylabel("Inflazione osservata")

plt.title(
    "Calibrazione: osservato vs previsto"
)

plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

La linea diagonale rappresenta:

Se i punti sono sistematicamente sopra la linea, il modello tende a sottostimare.

Se sono sistematicamente sotto, tende a sovrastimare.

Interpretazione decisionale

Immaginiamo due modelli.

Modello A

RMSE leggermente migliore.

Ma tende a sottostimare l’inflazione durante i periodi più critici.

Modello B

RMSE leggermente peggiore.

Ma individua meglio le fasi di forte accelerazione.

Quale scegliamo?

Dipende dalla decisione.

Per una banca centrale, sottostimare sistematicamente un’accelerazione inflazionistica può essere molto più costoso di un piccolo errore medio aggiuntivo.

Ed è qui che entra il terzo elemento.

Decision Value: un modello utile per chi?

La qualità statistica non coincide automaticamente con il valore decisionale.

Supponiamo che il target di inflazione sia:

e che un decisore consideri particolarmente costoso sottostimare l’inflazione quando supera il 4%.

Possiamo definire una funzione di perdita semplice.

threshold = 4.0

actual = df["inflation"].to_numpy()
predicted = df["prediction"].to_numpy()

absolute_error = np.abs(
    actual - predicted
)

high_inflation_error = np.where(
    actual > threshold,
    absolute_error * 2,
    absolute_error
)

decision_loss = high_inflation_error.mean()

print(
    f"Decision Loss: "
    f"{decision_loss:.3f}"
)

Qui stiamo facendo una scelta esplicita.

Gli errori non hanno tutti lo stesso costo.

Un errore di:

punti percentuali può essere tollerabile in un periodo di bassa inflazione.

Lo stesso errore può essere molto più rilevante se l’inflazione sta accelerando rapidamente.

Fit, Calibrazione e Decision Value

Possiamo quindi riassumere il modello con tre domande.

Fit

Quanto sono vicine, in media, le previsioni ai dati?

Metriche:

• MAE;
• RMSE;
• [math]R^2[/math].

Calibrazione

Il modello tende sistematicamente a sovrastimare o sottostimare?

Analizziamo:

• osservato vs previsto;
• bias;
• residui.

Decision Value

Gli errori più importanti per la decisione vengono gestiti bene?

Definiamo:

• soglie;
• costi;
• scenari;
• funzioni di perdita.

Esercizio 6 — Analisi dei residui

I residui sono:

Rappresentano la parte dell’inflazione che il modello non riesce a spiegare.

Visualizziamoli.

plt.figure(figsize=(8, 5))

plt.scatter(
    df["prediction"],
    df["residual"],
    alpha=0.7
)

plt.axhline(
    0,
    linestyle="--"
)

plt.xlabel("Inflazione prevista")
plt.ylabel("Residuo")

plt.title(
    "Analisi dei residui"
)

plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Cosa cerchiamo?

Idealmente i residui dovrebbero apparire:

• distribuiti attorno allo zero;
• senza pattern evidenti;
• senza una struttura sistematica.

Se invece osserviamo una curva nei residui, potrebbe significare che una relazione lineare non è sufficiente.

Se la variabilità aumenta con l’inflazione, potremmo avere eteroschedasticità.

Se lavoriamo con dati temporali, potremmo avere autocorrelazione.

In altre parole:

il grafico dei residui spesso ci dice ciò che il [math]R^2[/math] non riesce a dirci.

Interpretazione decisionale

Se un modello sbaglia sempre nello stesso tipo di situazione, il problema non è soltanto statistico.

È operativo.

Un modello che funziona bene durante periodi tranquilli ma fallisce sistematicamente durante shock energetici potrebbe essere poco utile proprio quando il decisore ha più bisogno di supporto.

Esercizio 7 — La Curva di Phillips non è necessariamente stabile

Un errore frequente consiste nello stimare un parametro su molti anni e trattarlo come se fosse una costante economica universale.

Possiamo invece stimare il modello su finestre mobili.

L’idea è semplice.

Stimiamo:

su:

• primi 40 periodi;
• poi periodi 2–41;
• poi 3–42;

e così via.

Rolling regression

window = 40

rolling_beta = []
rolling_index = []

for start in range(
    len(df) - window + 1
):

    subset = df.iloc[
        start:start + window
    ]

    X_subset = sm.add_constant(
        subset["unemployment"]
    )

    y_subset = subset["inflation"]

    result = sm.OLS(
        y_subset,
        X_subset
    ).fit()

    rolling_beta.append(
        result.params["unemployment"]
    )

    rolling_index.append(
        start + window
    )


plt.figure(figsize=(9, 5))

plt.plot(
    rolling_index,
    rolling_beta
)

plt.axhline(
    0,
    linestyle="--"
)

plt.xlabel("Fine della finestra")
plt.ylabel("Coefficiente stimato")

plt.title(
    "Stabilità del coefficiente della disoccupazione"
)

plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

Come interpretare il risultato?

Se il coefficiente rimane relativamente stabile, il modello può avere una relazione robusta almeno all’interno del periodo analizzato.

Se cambia molto:

allora dobbiamo porci una domanda.

Stiamo davvero stimando una relazione stabile?

Oppure il sistema economico è cambiato?

Interpretazione decisionale

Un parametro instabile rende rischioso utilizzare una singola stima per decisioni di lungo periodo.

In questo caso potrebbe essere preferibile:

• utilizzare scenari;
• stimare modelli diversi per periodi diversi;
• usare coefficienti dinamici;
• aggiornare frequentemente le stime.

Un numero molto preciso può essere meno utile di un intervallo realistico.

Esercizio 8 — Il NAIRU non è direttamente osservabile

Negli esercizi precedenti abbiamo impostato:

Ma nella realtà il problema è più complesso.

Il NAIRU non appare normalmente in una colonna di un dataset insieme a:

Anno
Inflazione
Disoccupazione
NAIRU

Il NAIRU è una quantità stimata.

Può cambiare nel tempo a causa di:

• struttura del mercato del lavoro;
• produttività;
• mismatch tra domanda e offerta di competenze;
• istituzioni;
• composizione demografica;
• mobilità;
• dinamiche salariali.

Questo significa che:

può essere una variabile latente.

Una semplice analisi di sensibilità

Supponiamo di non sapere se il NAIRU sia:

• 5%;
• 6%;
• 7%.

Calcoliamo la curva per tutti e tre gli scenari.

u_grid = np.linspace(
    2,
    10,
    200
)

nairu_values = [
    5.0,
    6.0,
    7.0
]

beta = 0.5
pi_e = 2.0


plt.figure(figsize=(8, 5))

for u_n in nairu_values:

    pi = (
        pi_e
        - beta * (u_grid - u_n)
    )

    plt.plot(
        u_grid,
        pi,
        label=f"NAIRU = {u_n:.0f}%"
    )


plt.xlabel("Disoccupazione (%)")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Sensibilità della Curva di Phillips al NAIRU"
)

plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Interpretazione

Il risultato mostra una forma di incertezza diversa da quella degli shock casuali.

Non siamo incerti soltanto sul futuro.

Siamo incerti anche sui parametri del modello.

Questo è un punto centrale nel modeling.

Possiamo distinguere almeno due forme di incertezza.

Incertezza sugli eventi

Per esempio:

Lo shock futuro non è noto.

Incertezza sui parametri

Per esempio:

oppure:

Non conosciamo esattamente il valore corretto.

Interpretazione decisionale

Se una decisione cambia completamente passando da:

a:

allora la decisione è fragile rispetto all’incertezza del parametro.

In questi casi è più utile presentare:

se il NAIRU è vicino al 5%, scenario A;

se è vicino al 6%, scenario B;

se è vicino al 7%, scenario C.

Questo approccio è spesso più onesto e più utile di una singola previsione apparentemente precisa.

import numpy as np


def simulate_monte_carlo(
    pi0: float,
    u: float,
    u_n: float,
    beta: float,
    sigma: float,
    T: int,
    n_simulations: int,
    seed: int = 42
) -> np.ndarray:
    """
    Simula molte traiettorie dell'inflazione
    con aspettative adattive e shock casuali.

    Returns
    -------
    np.ndarray
        Matrice di dimensione
        (n_simulations, T + 1).

        Ogni riga rappresenta una traiettoria.
        La prima colonna contiene l'inflazione iniziale.
    """

    values = [pi0, u, u_n, beta, sigma]

    if not all(np.isfinite(value) for value in values):
        raise ValueError(
            "Tutti i parametri numerici devono essere finiti."
        )

    if beta <= 0:
        raise ValueError(
            "beta deve essere positivo."
        )

    if sigma < 0:
        raise ValueError(
            "sigma deve essere non negativo."
        )

    if not isinstance(T, int) or T < 1:
        raise ValueError(
            "T deve essere un intero almeno pari a 1."
        )

    if not isinstance(n_simulations, int) or n_simulations < 1:
        raise ValueError(
            "n_simulations deve essere un intero almeno pari a 1."
        )

    rng = np.random.default_rng(seed)

    paths = np.empty(
        (n_simulations, T + 1)
    )

    paths[:, 0] = pi0

    deterministic_effect = (
        -beta * (u - u_n)
    )

    for t in range(1, T + 1):

        shocks = rng.normal(
            loc=0.0,
            scale=sigma,
            size=n_simulations
        )

        paths[:, t] = (
            paths[:, t - 1]
            + deterministic_effect
            + shocks
        )

    return paths

paths = simulate_monte_carlo(
    pi0=2.0,
    u=4.0,
    u_n=5.0,
    beta=0.4,
    sigma=0.5,
    T=4,
    n_simulations=10_000,
    seed=42
)

final_inflation = paths[:, -1]

median = np.median(
    final_inflation
)

p05 = np.percentile(
    final_inflation,
    5
)

p95 = np.percentile(
    final_inflation,
    95
)

probability_above_5 = np.mean(
    final_inflation > 5.0
)

print(
    f"Inflazione mediana: "
    f"{median:.2f}%"
)

print(
    f"5° percentile: "
    f"{p05:.2f}%"
)

print(
    f"95° percentile: "
    f"{p95:.2f}%"
)

print(
    f"P(π > 5%): "
    f"{probability_above_5:.2%}"
)

Inflazione mediana: 3.60%
5° percentile: 1.97%
95° percentile: 5.26%
P(π > 5%): 8.33%

import matplotlib.pyplot as plt

years = np.arange(
    paths.shape[1]
)

plt.figure(figsize=(9, 5))

for i in range(100):
    plt.plot(
        years,
        paths[i],
        color="steelblue",
        alpha=0.08
    )

median_path = np.median(
    paths,
    axis=0
)

p05_path = np.percentile(
    paths,
    5,
    axis=0
)

p95_path = np.percentile(
    paths,
    95,
    axis=0
)

plt.plot(
    years,
    median_path,
    color="black",
    linewidth=2.5,
    label="Mediana"
)

plt.plot(
    years,
    p05_path,
    color="darkorange",
    linestyle="--",
    label="5° percentile"
)

plt.plot(
    years,
    p95_path,
    color="darkorange",
    linestyle="--",
    label="95° percentile"
)

plt.axhline(
    5.0,
    color="red",
    linestyle=":",
    label="Soglia del 5%"
)

plt.xlabel("Anno")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Scenari Monte Carlo dell'inflazione"
)

plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Esercizio 10 — Analisi di sensibilità del parametro β

Il parametro:

determina quanto l’inflazione risponde alla distanza tra:

e:

Ma raramente conosciamo il suo valore con certezza.

Confrontiamo:

u_grid = np.linspace(
    2,
    10,
    200
)

beta_values = [
    0.2,
    0.5,
    0.8
]

pi_e = 2.0
u_n = 6.0


plt.figure(figsize=(8, 5))

for beta in beta_values:

    pi = (
        pi_e
        - beta * (u_grid - u_n)
    )

    plt.plot(
        u_grid,
        pi,
        label=f"β = {beta}"
    )


plt.xlabel("Disoccupazione (%)")
plt.ylabel("Inflazione (%)")

plt.title(
    "Analisi di sensibilità del parametro β"
)

plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Come cambia la curva?

Con un valore basso di:

la curva è più piatta.

L’inflazione reagisce meno alle variazioni della disoccupazione.

Con un valore elevato la curva è più ripida.

Interpretazione decisionale

Questo grafico può cambiare completamente la valutazione di una politica.

Supponiamo di voler ridurre l’inflazione aumentando la disoccupazione.

Se:

l’effetto previsto è relativamente limitato.

Se:

l’effetto è molto più forte.

Quindi, prima di discutere:

Quanto dobbiamo intervenire?

dobbiamo chiederci:

Quanto siamo sicuri del parametro che collega l’intervento al risultato?

Cosa possiamo imparare dalla Curva di Phillips?

A questo punto possiamo distinguere diversi livelli.

Livello 1 — Il modello teorico

La Curva di Phillips fornisce una struttura:

Ci aiuta a ragionare su:

• aspettative;
• disoccupazione;
• inflazione;
• shock.

Livello 2 — La simulazione

Fissiamo i parametri.

Vediamo le conseguenze delle ipotesi.

Possiamo costruire:

• scenari;
• grafici;
• dinamiche temporali.

Livello 3 — La stima statistica

Utilizziamo dati per stimare:

• coefficienti;
• intervalli;
• errori.

Qui il modello smette di essere soltanto una formula.

Livello 4 — La validazione

Verifichiamo:

• MAE;
• RMSE;
• [math]R^2[/math];
• residui;
• calibrazione;
• stabilità.

Livello 5 — La decisione

Chiediamo:

Quale errore costa di più?

Quale scenario è accettabile?

Quanto è robusta la decisione rispetto all’incertezza?

Fit, Calibrazione e Decision Value: sintesi finale

Cosa facciamo con questo modello?

Questa è forse la domanda più importante.

Una buona analisi non dovrebbe terminare con:

β = -0.58
p-value < 0.05
R² = 0.42

Dovrebbe continuare.

Situazione 1 — Il coefficiente è negativo ma instabile

Cosa significa?

La relazione esiste nel campione, ma cambia nel tempo.

Cosa facciamo?

Evitiamo di utilizzare un unico parametro storico.

Consideriamo:

• finestre mobili;
• scenari;
• modelli dinamici.

Situazione 2 — Il RMSE è buono ma il modello sottostima le crisi

Cosa significa?

Il modello funziona mediamente bene, ma fallisce nelle situazioni più importanti.

Cosa facciamo?

Cambiamo la funzione di valutazione.

Non ottimizziamo soltanto l’errore medio.

Situazione 3 — Il NAIRU è molto incerto

Cosa significa?

La decisione dipende fortemente da una variabile non direttamente osservabile.

Cosa facciamo?

Utilizziamo intervalli e analisi di sensibilità.

Situazione 4 — Gli shock dominano la dinamica

Cosa significa?

La relazione media tra inflazione e disoccupazione spiega solo una parte del problema.

Cosa facciamo?

Introduciamo:

• scenari;
• distribuzioni;
• Monte Carlo;
• variabili aggiuntive.

Limiti del modello

La Curva di Phillips è utile.

Ma non è sufficiente per descrivere tutta l’inflazione.

Il modello semplice utilizzato in questo articolo non include esplicitamente:

• dinamica salariale;
• produttività;
• prezzi delle materie prime;
• politica fiscale;
• tassi di interesse;
• tasso di cambio;
• shock geopolitici;
• aspettative razionali;
• struttura settoriale;
• cambiamenti tecnologici.

Inoltre, una regressione tra inflazione e disoccupazione non identifica automaticamente una relazione causale.

Questo non rende inutile il modello.

Rende necessario usarlo per ciò che è:

una rappresentazione semplificata di un sistema complesso.

Conclusione

La Curva di Phillips viene spesso presentata come una semplice relazione inversa tra inflazione e disoccupazione.

Ma quando proviamo a utilizzarla con Python e con i dati, scopriamo che il problema è più interessante.

Prima scegliamo una formula.

Poi dobbiamo stimare i parametri.

Poi dobbiamo capire quanto sono incerti.

Poi dobbiamo verificare se il modello continua a funzionare.

Infine dobbiamo decidere quale tipo di errore siamo disposti ad accettare.

È qui che un esercizio di macroeconomia diventa un problema di Data Science.

La lezione più importante non è che:

La lezione più importante è un’altra:

un modello non diventa utile quando produce un numero. Diventa utile quando sappiamo interpretare le ipotesi che hanno prodotto quel numero, misurare la sua incertezza e capire se può migliorare una decisione reale.

La Curva di Phillips è quindi un ottimo esempio di come possano incontrarsi:

• teoria economica;
• statistica;
• Python;
• simulazione;
• econometria;
• analisi dell’incertezza;
• decision science.

Ed è proprio in questo passaggio, dalla formula alla decisione, che i dati iniziano davvero a diventare conoscenza.

Domande di riflessione

1. Se una regressione stima un coefficiente negativo tra disoccupazione e inflazione, possiamo concludere che aumentare la disoccupazione riduce causalmente l’inflazione?

No. Il coefficiente descrive una relazione statistica condizionata al modello. Possono esistere simultaneità, variabili omesse e shock comuni.

2. Un modello con RMSE più basso è sempre il migliore?

No. Può avere un buon errore medio ma fallire sistematicamente nelle situazioni che hanno il maggiore costo decisionale.

3. Perché il NAIRU introduce incertezza anche se osserviamo perfettamente la disoccupazione?

Perché il NAIRU non è normalmente osservato direttamente. È una quantità stimata e dipende dal modello e dalle ipotesi utilizzate.

4. Perché usare Monte Carlo invece di una sola previsione?

Perché molte decisioni dipendono dalla distribuzione dei risultati possibili e dalla probabilità di superare soglie critiche, non soltanto dal valore medio.

5. Qual è la differenza tra incertezza sugli shock e incertezza sui parametri?

Gli shock rappresentano eventi futuri non prevedibili con precisione. L’incertezza sui parametri riguarda invece il fatto che non conosciamo esattamente i valori corretti del modello, come [math]\beta[/math] o [math]u_n[/math].

Esercizio finale

Hai stimato una Curva di Phillips e ottenuto:

Coefficiente disoccupazione: -0.42

R²: 0.38

RMSE: 0.74

MAE: 0.56

La rolling regression mostra però che il coefficiente varia nel tempo tra:

-0.15
e
-0.80

Inoltre il modello tende a sottostimare l’inflazione durante gli shock energetici.

Domande

1. Utilizzeresti il coefficiente -0.42 come parametro fisso per una previsione a cinque anni?
2. Quali problemi emergono dalla rolling regression?
3. Perché un RMSE di 0.74 potrebbe essere insufficiente per valutare il modello?
4. Come modificheresti il modello?
5. Quali scenari simuleresti prima di prendere una decisione?

La soluzione più interessante non consiste nel trovare un singolo numero corretto.

Consiste nel progettare un processo migliore:

stimare → validare → analizzare l’incertezza → confrontare scenari → decidere.

Ed è questo, in fondo, uno dei compiti più importanti della Data Science.