La speranza condizionata e le martingale occupano una posizione importante nel calcolo delle probabilità, soprattutto quando si studiano fenomeni che evolvono nel tempo e le informazioni disponibili cambiano progressivamente. Sono concetti strettamente collegati: la speranza condizionata permette di aggiornare una previsione sulla base delle informazioni osservate, mentre una martingala descrive un processo nel quale la previsione del valore futuro, condizionata alla storia già conosciuta, coincide con il valore presente.

Questi strumenti trovano applicazione nella finanza quantitativa, nella modellazione dei fenomeni aleatori, nell’analisi dei sistemi dinamici e nella simulazione di processi stocastici. Permettono, per esempio, di distinguere un andamento realmente imprevedibile da uno caratterizzato da una tendenza sistematica, oppure di studiare come una strategia di investimento si comporta quando le decisioni vengono prese sulla base delle informazioni disponibili in ciascun momento.

La raccolta di esercizi proposta in questo articolo parte dalla speranza condizionata, introduce progressivamente le martingale e arriva al teorema di arresto opzionale. L’obiettivo è comprendere non soltanto come applicare le formule, ma anche perché funzionano e quali condizioni devono essere rispettate.

Il percorso affronta alcuni aspetti fondamentali:

• la differenza tra una speranza condizionata che è un numero e una che è una variabile casuale;
• il significato di informazione disponibile e il ruolo delle filtrazioni;
• la definizione di martingala e la distinzione tra martingale, submartingale e supermartingale;
• la costruzione di martingale attraverso la sottrazione di un compensatore;
• le trasformazioni che permettono di ricondurre alcuni processi a una martingala;
• l’applicazione del teorema di arresto opzionale e il confronto tra risultati teorici e simulazioni Monte Carlo.

Informazione, filtrazione e σ-algebra

In probabilità, condizionare significa formulare una previsione utilizzando le informazioni disponibili. Per descrivere matematicamente queste informazioni si ricorre alle σ-algebre e, quando si studiano processi che evolvono nel tempo, alle filtrazioni.

Una filtrazione [math](\mathcal F_n)_{n\geq 0}[/math] è una successione crescente di σ-algebre:

[math]\mathcal F_0\subseteq\mathcal F_1\subseteq\mathcal F_2\subseteq\cdots[/math]

La σ-algebra [math]\mathcal F_n[/math] rappresenta l’insieme delle informazioni disponibili fino al tempo [math]n[/math]. Con il passare del tempo le informazioni possono aumentare, ma non diminuiscono: ciò che conosciamo al tempo [math]n[/math] rimane disponibile anche nei momenti successivi.

Se osserviamo le variabili casuali [math]X_1,\ldots,X_n[/math], possiamo rappresentare l’informazione raccolta attraverso:

[math]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n).[/math]

Questa notazione indica la σ-algebra generata dalle variabili osservate fino al tempo [math]n[/math].

È importante non confondere la filtrazione con una variabile casuale o con un singolo evento. Una filtrazione descrive l’intero insieme degli eventi che possono essere distinti sulla base delle osservazioni effettuate.

Un processo stocastico [math](X_n)[/math] si dice adattato alla filtrazione [math](\mathcal F_n)[/math] se, per ogni istante [math]n[/math], la variabile [math]X_n[/math] è [math]\mathcal F_n[/math]-misurabile. In termini intuitivi, il valore del processo al tempo [math]n[/math] deve essere determinabile utilizzando esclusivamente le informazioni disponibili in quel momento.

Questa distinzione permette di separare tre oggetti che ricorrono continuamente negli esercizi:

• [math]X_n[/math] rappresenta il valore del processo al tempo [math]n[/math];
• [math]\mathcal F_n[/math] descrive tutto ciò che sappiamo fino a quel momento;
• [math]E[X\mid\mathcal F_n][/math] rappresenta la previsione media della variabile [math]X[/math] utilizzando le informazioni disponibili al tempo [math]n[/math].

La terza espressione è il punto di partenza per comprendere le martingale.

Speranza condizionata

Il significato della speranza condizionata

La speranza condizionata [math]E[X\mid\mathcal F][/math] rappresenta la previsione media di una variabile casuale [math]X[/math] quando disponiamo delle informazioni contenute nella σ-algebra [math]\mathcal F[/math].

Se queste informazioni non forniscono alcuna indicazione utile su [math]X[/math], come nel caso in cui [math]X[/math] sia indipendente da [math]\mathcal F[/math], la previsione non cambia:

[math]E[X\mid\mathcal F]=E[X].[/math]

Se invece le informazioni disponibili determinano completamente il valore di [math]X[/math], allora:

[math]E[X\mid\mathcal F]=X.[/math]

Nella situazione generale, la speranza condizionata si colloca tra questi due casi: è una variabile casuale che dipende esclusivamente dalle informazioni contenute in [math]\mathcal F[/math] e restituisce la migliore previsione media possibile sulla base di ciò che conosciamo.

Definizione formale

Sia [math]X[/math] una variabile casuale integrabile, cioè tale che:

[math]E[|X|]<\infty,[/math]

e sia [math]\mathcal F[/math] una σ-algebra. La speranza condizionata [math]E[X\mid\mathcal F][/math] è una variabile casuale [math]Y[/math] che soddisfa due proprietà:

• [math]Y[/math] è [math]\mathcal F[/math]-misurabile;
• per ogni evento [math]A\in\mathcal F[/math],[math]E[Y\mathbf 1_A]=E[X\mathbf 1_A].[/math]

La prima proprietà stabilisce che la previsione utilizza soltanto le informazioni disponibili in [math]\mathcal F[/math]. La seconda richiede che [math]X[/math] e [math]Y[/math] abbiano la stessa media quando vengono considerate all’interno di qualsiasi evento appartenente a quella σ-algebra.

La variabile [math]Y[/math] così definita è unica quasi certamente, cioè a meno di insiemi di probabilità nulla.

La definizione può sembrare astratta, ma descrive un’idea abbastanza intuitiva: vogliamo sostituire [math]X[/math] con una previsione che dipenda soltanto dalle informazioni disponibili, mantenendo correttamente il valore medio su tutti gli eventi che possiamo distinguere attraverso quelle informazioni.

Una distinzione da ricordare

La notazione utilizzata può generare qualche confusione, soprattutto quando si passa dagli eventi alle variabili casuali.

Se [math]A[/math] è un evento con probabilità positiva, [math]E[X\mid A][/math] è un numero e rappresenta la media di [math]X[/math] quando sappiamo che si è verificato [math]A[/math].

Se invece condizioniamo rispetto a una σ-algebra, [math]E[X\mid\mathcal F][/math] è generalmente una variabile casuale, perché il valore della previsione dipende dall’informazione effettivamente osservata.

Anche la notazione [math]E[X\mid Z][/math], utilizzata frequentemente negli esercizi, indica in realtà:

[math]E[X\mid\sigma(Z)].[/math]

In questo caso la previsione è una funzione della variabile casuale [math]Z[/math].

Proprietà fondamentali

Le proprietà della speranza condizionata sono indispensabili per risolvere gli esercizi sulle martingale e per costruire processi che soddisfano la condizione di gioco equo.

Linearità

Per due variabili casuali integrabili [math]X[/math] e [math]Y[/math], e per due costanti reali [math]a[/math] e [math]b[/math], vale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[aX+bY\mid\mathcal F]
={}&aE[X\mid\mathcal F] \\
&{}+bE[Y\mid\mathcal F].
\end{aligned}[/math]

La linearità permette di scomporre espressioni più complesse in termini più semplici, mantenendo separati i contributi delle diverse variabili.

Proprietà della torre

Se [math]\mathcal G\subseteq\mathcal F[/math], allora:

[math]E[E[X\mid\mathcal F]\mid\mathcal G]=E[X\mid\mathcal G].[/math]

La proprietà descrive il comportamento delle previsioni quando le informazioni vengono progressivamente ridotte. Se prima utilizziamo un insieme di informazioni più ampio e successivamente torniamo a uno più limitato, otteniamo la stessa previsione che avremmo calcolato direttamente utilizzando soltanto le informazioni meno dettagliate.

Ponendo [math]\mathcal G=\{\varnothing,\Omega\}[/math], cioè considerando la σ-algebra banale, si ottiene la legge della speranza totale:

[math]E[E[X\mid\mathcal F]]=E[X].[/math]

La media complessiva coincide quindi con la media delle previsioni condizionate, opportunamente pesate dalle rispettive probabilità.

Ciò che è noto può essere portato fuori

Se [math]Z[/math] è [math]\mathcal F[/math]-misurabile e le condizioni di integrabilità sono soddisfatte, allora:

[math]E[ZX\mid\mathcal F]=ZE[X\mid\mathcal F].[/math]

In particolare, se [math]X[/math] è già determinato dalle informazioni disponibili in [math]\mathcal F[/math], si ha:

[math]E[X\mid\mathcal F]=X.[/math]

Questa proprietà sarà utilizzata continuamente quando calcoleremo la speranza condizionata di un processo che contiene valori già osservati.

Indipendenza

Se [math]X[/math] è indipendente da [math]\mathcal F[/math], allora:

[math]E[X\mid\mathcal F]=E[X].[/math]

È una proprietà particolarmente utile nello studio dei processi con incrementi indipendenti dal passato, perché permette di sostituire la speranza condizionata di un nuovo incremento con la sua media ordinaria.

Monotonia e convergenza

Se [math]X\leq Y[/math] quasi certamente, allora:

[math]E[X\mid\mathcal F]\leq E[Y\mid\mathcal F][/math]

quasi certamente.

La speranza condizionata conserva quindi l’ordinamento delle variabili casuali. Esistono inoltre importanti teoremi di convergenza, come quelli di convergenza monotona e dominata nella loro formulazione condizionata, che consentono di studiare il comportamento delle previsioni al variare delle informazioni disponibili.

La speranza condizionata come previsione ottimale

Quando [math]X[/math] è quadrato-integrabile, cioè:

[math]E[X^2]<\infty,[/math]

la speranza condizionata [math]E[X\mid\mathcal F][/math] ha un’ulteriore interpretazione: è il predittore [math]\mathcal F[/math]-misurabile che minimizza l’errore quadratico medio.

Tra tutte le variabili casuali [math]Y[/math], quadrato-integrabili e [math]\mathcal F[/math]-misurabili, vale infatti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[(X-E[X\mid\mathcal F])^2]
&\leq E[(X-Y)^2].
\end{aligned}[/math]

La condizione di quadrato-integrabilità è importante: la definizione generale della speranza condizionata richiede soltanto che [math]X[/math] sia integrabile, mentre l’interpretazione come proiezione ortogonale in senso quadratico richiede che [math]X[/math] appartenga a [math]L^2[/math].

Questa proprietà spiega perché la speranza condizionata sia così importante nella previsione statistica e nella costruzione di modelli che utilizzano informazioni parziali.

Martingale

Definizione

Un processo stocastico [math](M_n)_{n\geq0}[/math] è una martingala rispetto alla filtrazione [math](\mathcal F_n)[/math] se soddisfa contemporaneamente tre condizioni:

• [math]M_n[/math] è adattato alla filtrazione;
• [math]M_n[/math] è integrabile per ogni [math]n[/math], cioè [math]E[|M_n|]<\infty[/math];
• per ogni [math]n\geq0[/math],[math]E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n.[/math]

La terza condizione è quella che caratterizza il comportamento di una martingala. La previsione del valore al tempo successivo, utilizzando tutte le informazioni disponibili al tempo corrente, deve coincidere con il valore già osservato.

Si parla spesso di gioco equo, perché il processo non presenta un guadagno o una perdita media prevedibile sulla base della storia passata.

Questo non significa che il processo sia costante o che non possa registrare variazioni anche molto ampie. Una martingala può oscillare continuamente, attraversare periodi positivi e negativi e assumere valori molto diversi nel tempo; ciò che conta è che il valore atteso del prossimo passo, condizionato al passato, sia esattamente quello attuale.

Submartingale e supermartingale

Non tutti i processi soddisfano l’uguaglianza richiesta per una martingala. In alcuni casi la previsione del valore futuro è sistematicamente maggiore o minore del valore corrente.

Un processo adattato e integrabile è una submartingala se:

[math]E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]\geq M_n.[/math]

La previsione condizionata del valore futuro non è inferiore a quello presente: il processo presenta un drift medio non negativo.

Un processo è invece una supermartingala se:

[math]E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]\leq M_n.[/math]

In questo caso la previsione condizionata del valore futuro non supera il valore corrente e il drift medio è non positivo.

Le tre definizioni si distinguono quindi per una sola relazione matematica, ma descrivono comportamenti differenti:

• martingala: nessun drift prevedibile;
• submartingala: drift prevedibile non negativo;
• supermartingala: drift prevedibile non positivo.

Esempio: random walk equo

Consideriamo una successione di incrementi indipendenti [math]X_1,X_2,\ldots[/math], ciascuno dei quali può assumere i valori [math]+1[/math] e [math]-1[/math] con la stessa probabilità:

[math]P(X_i=+1)=P(X_i=-1)=\frac12.[/math]

Definiamo il processo cumulato:

[math]S_0=0,\qquad S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.[/math]

La filtrazione naturale è:

[math]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n).[/math]

Al tempo [math]n[/math], il valore [math]S_n[/math] è già noto, mentre l’incremento [math]X_{n+1}[/math] è indipendente dalle informazioni passate e ha media nulla.

Di conseguenza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[S_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=E[S_n+X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n+E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n+E[X_{n+1}]\\
&=S_n.
\end{aligned}[/math]

Il processo [math]S_n[/math] è quindi una martingala.

L’esempio rappresenta il caso più semplice di gioco equo: ogni incremento ha valore atteso nullo e il guadagno cumulato non presenta una direzione media prevedibile.

Esempio: il quadrato del random walk e il compensatore

Con lo stesso random walk, consideriamo il processo [math]S_n^2[/math].

Il suo comportamento è diverso da quello di [math]S_n[/math], perché il quadrato tende a crescere anche quando gli incrementi hanno media nulla.

Infatti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[S_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]
&=E[(S_n+X_{n+1})^2\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n^2+2S_nE[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&\quad+E[X_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n^2+1.
\end{aligned}[/math]

Poiché:

[math]E[S_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]\neq S_n^2,[/math]

il processo [math]S_n^2[/math] non è una martingala.

Possiamo però sottrarre la crescita media accumulata nel tempo e definire:

[math]M_n=S_n^2-n.[/math]

Verifichiamo la proprietà:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=E[S_{n+1}^2-(n+1)\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n^2+1-(n+1)\\
&=S_n^2-n\\
&=M_n.
\end{aligned}[/math]

Il nuovo processo è una martingala.

Il termine [math]n[/math] è chiamato compensatore, perché sottrae la crescita media che impediva al processo originale di soddisfare la condizione di gioco equo.

Questo procedimento è molto importante: in numerosi problemi un processo non è una martingala nella sua forma iniziale, ma può diventarlo dopo aver sottratto una componente prevedibile.

Il collegamento tra speranza condizionata e martingale

La relazione tra i due concetti non è soltanto teorica, perché la speranza condizionata è lo strumento utilizzato per definire, verificare e costruire una martingala.

Dire che un processo [math](M_n)[/math] è una martingala significa affermare che:

[math]E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n.[/math]

La previsione aggiornata del valore futuro coincide quindi con il valore corrente. Il processo non presenta un drift prevedibile sulla base delle informazioni disponibili.

Da questa relazione derivano alcune proprietà importanti.

Le differenze di martingala

Se [math]M_n[/math] è una martingala, possiamo definire gli incrementi:

[math]D_n=M_n-M_{n-1}.[/math]

Questi incrementi soddisfano:

[math]E[D_n\mid\mathcal F_{n-1}]=0.[/math]

Sono chiamati differenze di martingala e rappresentano una generalizzazione degli incrementi indipendenti a media nulla.

La differenza è significativa: gli incrementi di una martingala non devono necessariamente essere indipendenti. È sufficiente che la loro media condizionata rispetto alle informazioni precedenti sia nulla.

La media di una martingala rimane costante

Se [math]M_n[/math] è una martingala, allora:

[math]E[M_n]=E[M_0][/math]

per ogni [math]n[/math].

La dimostrazione deriva direttamente dalla legge della speranza totale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}]
&=E[E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]]\\
&=E[M_n].
\end{aligned}[/math]

Applicando ripetutamente questa proprietà si ottiene:

[math]E[M_n]=E[M_0].[/math]

La media costante è una conseguenza della proprietà di martingala, ma non è sufficiente da sola per dimostrarla: occorre verificare la relazione condizionata rispetto alla filtrazione.

Costruire una martingala attraverso la speranza condizionata

Sia [math]X[/math] una variabile casuale integrabile e sia [math](\mathcal F_n)[/math] una filtrazione crescente. Definiamo:

[math]M_n=E[X\mid\mathcal F_n].[/math]

Il processo così costruito è una martingala rispetto alla filtrazione considerata.

Infatti, utilizzando la proprietà della torre:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=E[E[X\mid\mathcal F_{n+1}]\mid\mathcal F_n]\\
&=E[X\mid\mathcal F_n]\\
&=M_n.
\end{aligned}[/math]

Questa costruzione ha un significato molto interessante: a ogni istante aggiorniamo la previsione di un valore finale [math]X[/math] utilizzando le informazioni disponibili. La previsione può cambiare quando arrivano nuove informazioni, ma la sua evoluzione è una martingala.

La speranza condizionata aggiorna le previsioni, mentre la martingala descrive un processo nel quale questi aggiornamenti non introducono un guadagno medio prevedibile.

Come affrontare gli esercizi

Negli esercizi proposti la difficoltà cresce progressivamente, ma il procedimento di analisi rimane sostanzialmente lo stesso.

All’inizio si lavora con variabili casuali discrete o continue, utilizzando le distribuzioni condizionate e la legge della speranza totale. Successivamente si introducono processi con incrementi indipendenti, per i quali è possibile sfruttare la media nulla degli incrementi e la loro indipendenza dalle informazioni passate.

Gli esercizi successivi richiedono di individuare un compensatore, riconoscere una trasformazione che renda il processo una martingala e, infine, applicare il teorema di arresto opzionale.

Prima di iniziare i calcoli è utile verificare sempre alcuni aspetti:

• Quali informazioni sono disponibili al tempo [math]n[/math], e quindi quale filtrazione dobbiamo utilizzare?
• Il processo è adattato alla filtrazione?
• Gli incrementi sono indipendenti dal passato oppure soddisfano soltanto una condizione di media condizionata nulla?
• Qual è il valore atteso condizionato dell’incremento successivo?
• Esiste una componente prevedibile che possiamo sottrarre attraverso un compensatore?
• Le ipotesi di integrabilità richieste dalla dimostrazione sono soddisfatte?

Queste verifiche aiutano a evitare un errore frequente: riconoscere una martingala soltanto perché il valore atteso del processo rimane costante. La proprietà decisiva riguarda sempre la previsione condizionata rispetto alla storia del processo.

Esercizio 1 — Consegne a domicilio: previsione condizionata per zona (facile)

Scenario

Una piattaforma di consegne a domicilio vuole stimare il tempo di consegna [math]T[/math], espresso in minuti. Gli ordini provengono da due zone: centro [math]C[/math] e periferia [math]P[/math].

Le probabilità di provenienza sono:

[math]P(C)=0.4,\qquad P(P)=0.6.[/math]

I tempi di consegna hanno distribuzioni differenti nelle due zone.

Per il centro:

[math]P(T=15\mid C)=0.5,\qquad P(T=25\mid C)=0.5.[/math]

Per la periferia:

[math]P(T=30\mid P)=0.3,\qquad P(T=50\mid P)=0.7.[/math]

Richieste

• Calcolare [math]E[T\mid C][/math] ed [math]E[T\mid P][/math].
• Determinare il tempo medio complessivo [math]E[T][/math].
• Spiegare il ruolo della legge della speranza totale.

Soluzione

Calcolo della speranza condizionata nella zona centro

La media dei tempi di consegna, sapendo che l’ordine proviene dal centro, è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T\mid C]
&=15\cdot0.5+25\cdot0.5\\
&=7.5+12.5\\
&=20.
\end{aligned}[/math]

La previsione media per un ordine proveniente dal centro è quindi di 20 minuti.

Calcolo della speranza condizionata nella zona periferia

Analogamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T\mid P]
&=30\cdot0.3+50\cdot0.7\\
&=9+35\\
&=44.
\end{aligned}[/math]

Per gli ordini provenienti dalla periferia il tempo medio previsto è di 44 minuti.

Calcolo della media complessiva

Per ottenere il tempo medio di tutti gli ordini dobbiamo considerare la probabilità che un ordine provenga da ciascuna zona:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T]
&=P(C)E[T\mid C]+P(P)E[T\mid P]\\
&=0.4\cdot20+0.6\cdot44\\
&=8+26.4\\
&=34.4.
\end{aligned}[/math]

Il tempo medio complessivo di consegna è quindi:

[math]\boxed{E[T]=34.4\text{ minuti}}[/math]

Il risultato deriva dalla legge della speranza totale:

[math]E[T]=E[E[T\mid Z]],[/math]

dove [math]Z[/math] identifica la zona di provenienza dell’ordine.

È importante osservare che [math]E[T\mid Z][/math] è una variabile casuale: vale 20 quando la zona è il centro e 44 quando la zona è la periferia. La media di questa variabile restituisce il tempo medio complessivo.

Interpretazione applicativa

Il risultato mostra perché una previsione complessiva può cambiare anche quando i tempi medi delle singole zone rimangono invariati. Se aumenta la quota di ordini provenienti dal centro, il tempo medio generale diminuisce; se cresce invece il peso della periferia, la previsione aumenta.

La composizione degli ordini diventa quindi un elemento importante nella pianificazione delle consegne e nella valutazione delle prestazioni del servizio.

Verifica

Se la quota di ordini provenienti dal centro salisse a [math]0.7[/math], mantenendo invariati i tempi condizionati, il nuovo tempo medio sarebbe:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T]
&=0.7\cdot20+0.3\cdot44\\
&=14+13.2\\
&=\boxed{27.2\text{ minuti}}.
\end{aligned}[/math]

La proprietà utilizzata è ancora la legge della speranza totale.

Esercizio 2 — Consumi smart home e condizioni climatiche (facile-medio)

Scenario

Un sistema smart home vuole prevedere il consumo giornaliero di energia elettrica [math]X[/math], espresso in kWh. Il consumo dipende dalle condizioni climatiche, che possono essere soleggiate [math]S[/math] oppure nuvolose [math]C[/math].

Le probabilità dei due scenari sono:

[math]P(S)=0.7,\qquad P(C)=0.3.[/math]

Le distribuzioni condizionate del consumo sono:

[math]X\mid S\sim U(2,6),[/math]

[math]X\mid C\sim U(4,10).[/math]

Si assume quindi che, in condizioni soleggiate, il consumo sia distribuito uniformemente tra 2 e 6 kWh, mentre nelle giornate nuvolose sia distribuito uniformemente tra 4 e 10 kWh.

Richieste

• Calcolare [math]E[X\mid S][/math] ed [math]E[X\mid C][/math].
• Determinare il consumo medio complessivo.
• Stabilire se [math]E[X\mid W][/math], dove [math]W[/math] rappresenta il clima, sia un numero oppure una variabile casuale.

Soluzione

Per una variabile casuale uniforme continua nell’intervallo [math][a,b][/math], il valore atteso è:

[math]E[X]=\frac{a+b}{2}.[/math]

Calcolo delle medie condizionate

Per le giornate soleggiate:

[math]E[X\mid S]=\frac{2+6}{2}=4.[/math]

Per le giornate nuvolose:

[math]E[X\mid C]=\frac{4+10}{2}=7.[/math]

Il consumo medio previsto è quindi di 4 kWh nelle giornate soleggiate e di 7 kWh in quelle nuvolose.

Calcolo della media complessiva

Applicando la legge della speranza totale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X]
&=P(S)E[X\mid S]+P(C)E[X\mid C]\\
&=0.7\cdot4+0.3\cdot7\\
&=2.8+2.1\\
&=\boxed{4.9\text{ kWh}}.
\end{aligned}[/math]

Natura della speranza condizionata

La speranza condizionata rispetto alla variabile casuale [math]W[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X\mid W]=
\begin{cases}
4, & W=S,\\
7, & W=C.
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Non si tratta di un numero fisso, ma di una variabile casuale che assume valore 4 con probabilità 0.7 e valore 7 con probabilità 0.3.

La sua media coincide con quella di [math]X[/math]:

[math]E[E[X\mid W]]=0.7\cdot4+0.3\cdot7=4.9.[/math]

Interpretazione applicativa

Il clima fornisce un’informazione utile per la previsione del consumo. Se il sistema conosce le condizioni meteorologiche, può utilizzare una stima più precisa rispetto a quella ottenuta considerando soltanto il consumo medio generale.

Questa distinzione è importante anche nei modelli predittivi: una previsione non dipende soltanto dalla variabile da stimare, ma anche dalle informazioni effettivamente disponibili al momento della previsione.

Verifica

Se le probabilità dei due scenari diventassero uguali, il consumo medio complessivo sarebbe:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X]
&=0.5\cdot4+0.5\cdot7\\
&=\boxed{5.5\text{ kWh}}.
\end{aligned}[/math]

La speranza condizionata continuerebbe ad assumere due valori distinti, perché il clima rimarrebbe informativo anche se i due scenari avessero la stessa probabilità.

Esercizio 3 — Coupon digitali e gioco equo (medio)

Scenario

Una piattaforma digitale introduce una promozione nella quale ogni giorno un utente selezionato riceve un premio netto casuale [math]X_i[/math], espresso in euro.

I risultati possibili sono:

[math]P(X_i=+3)=\frac13,\qquad P(X_i=-1.5)=\frac23.[/math]

Gli incrementi giornalieri sono indipendenti e identicamente distribuiti.

Definiamo il guadagno netto cumulato dopo [math]n[/math] giorni:

[math]S_0=0,\qquad S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.[/math]

La filtrazione naturale è:

[math]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n).[/math]

Richieste

• Calcolare il valore atteso di un singolo incremento.
• Verificare se [math]S_n[/math] è una martingala rispetto alla filtrazione naturale.
• Interpretare il risultato in termini di gioco equo.

Soluzione

Calcolo del valore atteso

La media dell’incremento giornaliero è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X_i]
&=3\cdot\frac13+(-1.5)\cdot\frac23\\
&=1-1\\
&=0.
\end{aligned}[/math]

Il premio netto ha quindi valore atteso nullo.

Verifica della proprietà di martingala

Il processo [math]S_n[/math] è adattato alla filtrazione, perché il guadagno cumulato al tempo [math]n[/math] dipende esclusivamente dagli incrementi già osservati.

Inoltre, ogni [math]S_n[/math] è integrabile, essendo la somma di un numero finito di variabili casuali integrabili.

Resta da verificare la proprietà della speranza condizionata:

[math]S_{n+1}=S_n+X_{n+1}.[/math]

Pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[S_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=E[S_n+X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&=S_n+E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n].
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]X_{n+1}[/math] è indipendente dalle informazioni passate:

[math]E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[X_{n+1}]=0.[/math]

Di conseguenza:

[math]E[S_{n+1}\mid\mathcal F_n]=S_n.[/math]

Il processo [math]S_n[/math] è quindi una martingala.

Interpretazione

La promozione è equa dal punto di vista del valore atteso: il guadagno cumulato non presenta una tendenza media prevedibile.

Questo non significa che ogni utente riceva complessivamente zero euro, perché i risultati individuali possono essere positivi oppure negativi. Significa soltanto che, prima di osservare il nuovo premio, la previsione del guadagno aggiuntivo è nulla.

Verifica con una modifica della promozione

Supponiamo che il premio positivo aumenti da 3 a 4 euro, mentre le probabilità rimangano invariate:

[math]P(X_i=+4)=\frac13,\qquad P(X_i=-1.5)=\frac23.[/math]

Il valore atteso diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X_i]
&=4\cdot\frac13-1.5\cdot\frac23\\
&=\frac43-1\\
&=\frac13>0.
\end{aligned}[/math]

La speranza condizionata del guadagno cumulato è:

[math]E[S_{n+1}\mid\mathcal F_n]=S_n+\frac13.[/math]

Il processo non è più una martingala, ma una submartingala, perché il suo drift medio è positivo.

Se invece il valore atteso dell’incremento fosse negativo, il processo sarebbe una supermartingala.

Esercizio 4 — Trading simulato: varianza cumulata e martingala (medio)

Scenario

Un’applicazione di trading simulato registra il profitto o la perdita giornaliera [math]X_i[/math] di una strategia finanziaria.

Supponiamo che gli incrementi siano indipendenti e identicamente distribuiti, con:

[math]E[X_i]=0,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2.[/math]

Il profitto cumulato dopo [math]n[/math] giorni è:

[math]S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad S_0=0.[/math]

Consideriamo la filtrazione:

[math]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n).[/math]

Definiamo il processo:

[math]M_n=S_n^2-n\sigma^2.[/math]

Richieste

• Dimostrare che [math]M_n[/math] è una martingala.
• Spiegare perché [math]S_n^2[/math] non è una martingala.
• Calcolare [math]E[M_n][/math].
• Interpretare il ruolo della varianza cumulata come compensatore.

Soluzione

Verifica della proprietà di martingala

Per dimostrare che [math]M_n[/math] è una martingala dobbiamo verificare che sia adattato, integrabile e che soddisfi la proprietà della speranza condizionata.

L’adattamento è immediato, perché [math]S_n[/math] dipende esclusivamente dagli incrementi osservati fino al tempo [math]n[/math].

L’integrabilità di [math]M_n[/math] deriva dalla finitezza del secondo momento degli incrementi.

Partiamo dalla definizione:

[math]M_{n+1}=S_{n+1}^2-(n+1)\sigma^2.[/math]

Poiché:

[math]S_{n+1}=S_n+X_{n+1},[/math]

possiamo sviluppare il quadrato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
M_{n+1}
={}&S_n^2+2S_nX_{n+1}+X_{n+1}^2\\
&{}-(n+1)\sigma^2.
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo la speranza condizionata rispetto alle informazioni disponibili al tempo [math]n[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
={}&S_n^2
+2S_nE[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&{}+E[X_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]
-(n+1)\sigma^2.
\end{aligned}[/math]

L’indipendenza degli incrementi rispetto al passato permette di scrivere:

[math]E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[X_{n+1}]=0.[/math]

Inoltre:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]
&=E[X_{n+1}^2]\\
&=\operatorname{Var}(X_{n+1})+E[X_{n+1}]^2\\
&=\sigma^2.
\end{aligned}[/math]

Sostituendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=S_n^2+\sigma^2-(n+1)\sigma^2\\
&=S_n^2-n\sigma^2\\
&=M_n.
\end{aligned}[/math]

Il processo è quindi una martingala.

Perché il quadrato del profitto non è una martingala

Se considerassimo soltanto [math]S_n^2[/math], avremmo:

[math]E[S_{n+1}^2\mid\mathcal F_n]=S_n^2+\sigma^2.[/math]

La previsione del quadrato del profitto futuro è superiore al quadrato del profitto corrente di una quantità pari alla varianza giornaliera.

Il processo cresce in media anche se il profitto giornaliero ha valore atteso nullo. Questo comportamento deriva dalla variabilità degli incrementi e non da un guadagno sistematico della strategia.

Sottraendo la varianza cumulata, rappresentata da [math]n\sigma^2[/math], eliminiamo proprio questa componente prevedibile.

Calcolo della media

Una martingala ha valore atteso costante nel tempo. Poiché:

[math]M_0=S_0^2=0,[/math]

si ottiene:

[math]\boxed{E[M_n]=E[M_0]=0}.[/math]

Il caso delle varianze differenti nel tempo

Se gli incrementi sono indipendenti, hanno media nulla e varianze finite ma differenti:

[math]\operatorname{Var}(X_i)=\sigma_i^2,[/math]

il compensatore non è più [math]n\sigma^2[/math], ma la varianza cumulata:

[math]\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2.[/math]

Il processo da considerare diventa:

[math]M_n=S_n^2-\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2.[/math]

Infatti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=S_n^2+\sigma_{n+1}^2-\sum_{i=1}^{n+1}\sigma_i^2\\
&=S_n^2-\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2\\
&=M_n.
\end{aligned}[/math]

Anche in questo caso otteniamo una martingala.

L’interpretazione è interessante per l’analisi finanziaria: il quadrato del P&L cumulato incorpora una componente di variabilità che cresce nel tempo, e il compensatore permette di separare questa crescita dalla componente aleatoria.

Esercizio 5 — Engagement social e processo AR(1) (medio-difficile)

Scenario

Una piattaforma social registra quotidianamente il punteggio di engagement [math]X_n[/math] associato a un contenuto.

Per descriverne l’evoluzione utilizziamo un modello autoregressivo di primo ordine:

[math]X_{n+1}=aX_n+\varepsilon_{n+1},\qquad a=0.8.[/math]

Il termine [math]\varepsilon_{n+1}[/math] rappresenta una perturbazione casuale con media nulla, indipendente dalle informazioni disponibili al tempo [math]n[/math]:

[math]E[\varepsilon_{n+1}]=0.[/math]

La filtrazione è:

[math]\mathcal F_n=\sigma(X_0,\ldots,X_n).[/math]

Supponiamo che oggi il punteggio sia:

[math]X_{10}=50.[/math]

Richieste

• Calcolare [math]E[X_{11}\mid\mathcal F_{10}][/math] ed [math]E[X_{12}\mid\mathcal F_{10}][/math].
• Stabilire se [math]X_n[/math] è una martingala.
• Verificare che la trasformazione [math]Y_n=a^{-n}X_n[/math] definisce una martingala.

Soluzione

Previsione a un passo

Utilizzando il modello:

[math]X_{11}=0.8X_{10}+\varepsilon_{11}.[/math]

La speranza condizionata è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[X_{11}\mid\mathcal F_{10}]
&=0.8X_{10}+E[\varepsilon_{11}\mid\mathcal F_{10}]\\
&=0.8\cdot50\\
&=\boxed{40}.
\end{aligned}[/math]

La previsione del punteggio per il giorno successivo è quindi 40.

Previsione a due passi

Applicando nuovamente il modello:

[math]E[X_{12}\mid\mathcal F_{10}]=0.8E[X_{11}\mid\mathcal F_{10}].[/math]

Pertanto:

[math]E[X_{12}\mid\mathcal F_{10}]=0.8\cdot40=\boxed{32}.[/math]

In generale, per [math]k[/math] passi futuri:

[math]E[X_{n+k}\mid\mathcal F_n]=a^kX_n.[/math]

Quando [math]0<a<1[/math], la previsione tende progressivamente verso zero. Questa è una caratteristica del comportamento mean-reverting del modello.

Il processo originale è una martingala?

La condizione richiesta sarebbe:

[math]E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=X_n.[/math]

Nel nostro caso, invece:

[math]E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=0.8X_n.[/math]

L’uguaglianza non è generalmente verificata, quindi [math]X_n[/math] non è una martingala.

Possiamo però stabilire che, se [math]X_n\geq0[/math] quasi certamente a ogni istante, il processo è una supermartingala, perché:

[math]0.8X_n\leq X_n.[/math]

La sola conoscenza del fatto che [math]X_{10}=50[/math] non è sufficiente a garantire questa proprietà per tutto il processo: le perturbazioni casuali potrebbero infatti produrre valori negativi. Senza l’ipotesi di non negatività, non possiamo classificare automaticamente il processo come supermartingala.

Trasformazione in martingala

Definiamo:

[math]Y_n=a^{-n}X_n,[/math]

con [math]a=0.8[/math].

La trasformazione corregge il decadimento medio introdotto dal coefficiente autoregressivo.

Calcoliamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[Y_{n+1}\mid\mathcal F_n]
&=a^{-(n+1)}E[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]\\
&=a^{-(n+1)}aX_n\\
&=a^{-n}X_n\\
&=Y_n.
\end{aligned}[/math]

La trasformazione [math]Y_n[/math] è quindi una martingala, purché le variabili coinvolte siano integrabili.

Il risultato mostra come un processo che non è equo nella sua forma originale possa diventarlo dopo una trasformazione deterministica.

Se [math]a=1[/math], il modello diventa:

[math]X_{n+1}=X_n+\varepsilon_{n+1},[/math]

e il processo originale è già una martingala.

Se invece [math]a=0[/math], la trasformazione [math]a^{-n}X_n[/math] non è definita: il modello perde completamente la dipendenza dal valore precedente e diventa [math]X_{n+1}=\varepsilon_{n+1}[/math].

Esercizio 6 — Take-profit, stop-loss e arresto opzionale (difficile)

Scenario

Un gioco produce a ogni round un guadagno di un euro oppure una perdita di un euro, con probabilità uguali e indipendentemente dai round precedenti:

[math]P(X_i=+1)=P(X_i=-1)=\frac12.[/math]

Il capitale iniziale è pari a zero. Dopo [math]n[/math] round, il capitale cumulato è:

[math]S_0=0,\qquad S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.[/math]

Il giocatore decide di fermarsi al primo raggiungimento di una delle due soglie: take-profit a [math]+2[/math] euro e stop-loss a [math]-3[/math] euro. Definiamo il tempo di uscita:

[math]T=\inf\{n\geq0:S_n\in\{2,-3\}\}.[/math]

Questo è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione naturale [math]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n)[/math]: per stabilire se il gioco è già terminato al tempo [math]n[/math], basta conoscere i risultati osservati fino a quel momento.

Richieste

• Calcolare la probabilità di raggiungere il take-profit prima dello stop-loss.
• Determinare la durata media del gioco.
• Interpretare l’effetto delle soglie asimmetriche.
• Verificare i risultati teorici attraverso una simulazione Monte Carlo in Python.

Soluzione

Il random walk [math]S_n[/math] è una martingala rispetto alla filtrazione naturale: gli incrementi sono indipendenti dal passato e hanno media nulla. Anche il processo

[math]M_n=S_n^2-n[/math]

è una martingala, perché gli incrementi hanno media nulla e varianza unitaria.

Prima di applicare il teorema di arresto opzionale, verifichiamo che il tempo [math]T[/math] abbia media finita. Prima dell’uscita, il capitale può trovarsi soltanto negli stati interni [math]-2,-1,0,1[/math]. Da ognuno di questi stati, una sequenza di quattro incrementi tutti uguali porta a una delle due soglie entro quattro round. La probabilità di una sequenza prefissata di quattro incrementi è [math]1/16[/math]. Di conseguenza, qualunque sia lo stato interno in cui ci troviamo, la probabilità di raggiungere una barriera nei quattro round successivi è almeno [math]1/16[/math].

Applicando questo ragionamento a blocchi di quattro round, otteniamo:

[math]P(T>4k)\leq\left(\frac{15}{16}\right)^k,\qquad k\geq0.[/math]

Questa disuguaglianza geometrica implica che [math]E[T]<\infty[/math]. In particolare, il gioco raggiunge una delle due soglie con probabilità uno.

Per giustificare l’arresto opzionale, consideriamo dapprima i tempi limitati [math]T\wedge n[/math]. Il teorema si applica alle martingale arrestate a [math]T\wedge n[/math], poiché tale tempo è limitato. Inoltre, il capitale arrestato [math]S_{T\wedge n}[/math] rimane sempre compreso tra [math]-3[/math] e [math]2[/math]. Possiamo quindi passare al limite per [math]n\to\infty[/math]: per [math]S_{T\wedge n}[/math] usiamo la sua limitatezza, mentre per [math]S_{T\wedge n}^2-(T\wedge n)[/math] usiamo la limitatezza del termine quadratico e l’integrabilità di [math]T[/math]. Otteniamo così:

[math]E[S_T]=E[S_0]=0[/math]

e

[math]E[S_T^2-T]=E[M_0]=0.[/math]

Questa giustificazione evita di applicare direttamente l’arresto opzionale a un tempo non limitato senza averne prima controllato le condizioni.

Probabilità di raggiungere il take-profit

Poniamo

[math]p=P(S_T=2).[/math]

Poiché il gioco termina a una delle due soglie,

[math]P(S_T=-3)=1-p.[/math]

Dall’identità [math]E[S_T]=0[/math] segue:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0=E[S_T]
&=2p-3(1-p)\\
&=5p-3.
\end{aligned}[/math]

Pertanto:

[math]\boxed{P(S_T=2)=\frac35=0.6}.[/math]

La probabilità di raggiungere il take-profit è quindi del 60%; quella di raggiungere lo stop-loss è del 40%.

Durata media del gioco

Dall’identità [math]E[S_T^2-T]=0[/math] ricaviamo:

[math]E[T]=E[S_T^2].[/math]

Usando le probabilità di uscita appena calcolate:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T]
&=2^2\cdot\frac35+(-3)^2\cdot\frac25\\
&=4\cdot\frac35+9\cdot\frac25\\
&=6.
\end{aligned}[/math]

La durata media del gioco è dunque:

[math]\boxed{E[T]=6\text{ round}}.[/math]

Interpretazione delle soglie asimmetriche

Il take-profit è più vicino del livello di stop-loss. Per questo è più probabile raggiungere la soglia positiva prima di quella negativa. Tuttavia, la probabilità più alta di chiudere in profitto non implica un guadagno atteso positivo: il possibile stop-loss è più ampio.

Infatti:

[math]E[S_T]=2\cdot0.6-3\cdot0.4=0.[/math]

Il gioco resta equo in termini di valore atteso. Per valutare il risultato non basta quindi considerare la probabilità di vincita: bisogna tenere conto anche dell’entità dei guadagni e delle perdite.

Simulazione Monte Carlo in Python

La dimostrazione teorica può essere affiancata da una simulazione Monte Carlo, nella quale ripetiamo molte volte il random walk e registriamo quale barriera viene raggiunta per prima.

L’obiettivo è confrontare quattro quantità:

• probabilità teorica di raggiungere il take-profit: 60%;
• probabilità empirica ottenuta dalla simulazione;
• durata media teorica: 6 round;
• durata media empirica.

Il codice seguente utilizza NumPy per generare gli incrementi casuali e simulare i percorsi.

Il seme casuale rende riproducibile l’esperimento.

import numpy as np

# Parametri della simulazione
N_SIMULAZIONI = 200_000
TAKE_PROFIT = 2
STOP_LOSS = -3
SEED = 42

rng = np.random.default_rng(SEED)

# Stato iniziale di ogni simulazione
capitale = np.zeros(N_SIMULAZIONI, dtype=int)

# Numero di round necessari per terminare ogni percorso
durata = np.zeros(N_SIMULAZIONI, dtype=int)

# True indica che il percorso è ancora attivo
attivi = np.ones(N_SIMULAZIONI, dtype=bool)

# Registrazione del risultato finale
take_profit_raggiunto = np.zeros(
    N_SIMULAZIONI, dtype=bool
)

# Simulazione dei percorsi
while np.any(attivi):

    # Generazione degli incrementi per i soli percorsi attivi
    n_attivi = np.sum(attivi)

    incrementi = rng.choice(
        [-1, 1],
        size=n_attivi,
        p=[0.5, 0.5]
    )

    # Aggiornamento del capitale
    capitale[attivi] += incrementi

    # Aggiornamento della durata
    durata[attivi] += 1

    # Verifica delle condizioni di uscita
    usciti = (
        (capitale[attivi] == TAKE_PROFIT)
        | (capitale[attivi] == STOP_LOSS)
    )

    # Identificazione degli indici dei percorsi attivi
    indici_attivi = np.flatnonzero(attivi)

    # Percorsi che hanno raggiunto il take-profit
    raggiunto_tp = (
        capitale[indici_attivi] == TAKE_PROFIT
    )

    take_profit_raggiunto[indici_attivi[raggiunto_tp]] = True

    # Disattivazione dei percorsi terminati
    attivi[indici_attivi[usciti]] = False


# Calcolo dei risultati empirici
probabilita_tp = np.mean(take_profit_raggiunto)
durata_media = np.mean(durata)

# Risultati teorici
probabilita_tp_teorica = 3 / 5
durata_media_teorica = 6

# Stampa dei risultati
print("RISULTATI SIMULAZIONE MONTE CARLO")
print("-" * 45)

print(f"Numero di simulazioni: {N_SIMULAZIONI:,}")

print(
    f"Probabilità take-profit teorica: "
    f"{probabilita_tp_teorica:.4%}"
)

print(
    f"Probabilità take-profit empirica: "
    f"{probabilita_tp:.4%}"
)

print(
    f"Durata media teorica: "
    f"{durata_media_teorica:.4f} round"
)

print(
    f"Durata media empirica: "
    f"{durata_media:.4f} round"
)

print("-" * 45)

print(
    f"Errore probabilità: "
    f"{abs(probabilita_tp - probabilita_tp_teorica):.4%}"
)

print(
    f"Errore durata media: "
    f"{abs(durata_media - durata_media_teorica):.4f} round"
)

Come leggere il codice

Ogni simulazione rappresenta un percorso indipendente, che parte da zero e procede attraverso incrementi di [math]+1[/math] oppure [math]-1[/math].

La variabile attivi permette di distinguere i percorsi ancora in corso da quelli che hanno già raggiunto una delle due barriere. A ogni iterazione vengono aggiornati soltanto i capitali dei percorsi attivi, evitando di continuare a generare incrementi per quelli già terminati.

Quando il capitale raggiunge [math]+2[/math] oppure [math]-3[/math], il percorso viene disattivato. La simulazione prosegue finché tutti i percorsi hanno raggiunto una delle due soglie.

Alla fine, la probabilità empirica di take-profit è calcolata come la proporzione di simulazioni terminate a [math]+2[/math], mentre la durata media è ottenuta calcolando la media dei round necessari per raggiungere una barriera.

Risultato atteso

Output esempio:

RISULTATI SIMULAZIONE MONTE CARLO
---------------------------------------------
Numero di simulazioni: 200,000
Probabilità take-profit teorica: 60.0000%
Probabilità take-profit empirica: 59.9285%
Durata media teorica: 6.0000 round
Durata media empirica: 6.0108 round
---------------------------------------------
Errore probabilità: 0.0715%
Errore durata media: 0.0108 round

Con 200.000 simulazioni, i risultati dovrebbero essere vicini ai valori teorici:

I valori empirici non devono necessariamente coincidere esattamente con quelli teorici, perché la simulazione introduce una variabilità dovuta al campionamento casuale.

Aumentando il numero di simulazioni, generalmente si osserva una maggiore stabilità delle stime, anche se non esiste la garanzia che ogni singola esecuzione produca un risultato più vicino al valore teorico.

Un’ultima verifica: che cosa succede se la moneta non è equa?

Supponiamo che la probabilità di vincere un euro sia:

[math]P(X_i=+1)=p_0=0.48,[/math]

mentre quella di perdere un euro sia:

[math]P(X_i=-1)=0.52.[/math]

Il valore atteso dell’incremento diventa:

[math]E[X_i]=0.48-0.52=-0.04.[/math]

Il random walk non è più una martingala, perché presenta un drift negativo. Il processo:

[math]S_n-n(2p_0-1)[/math]

è invece una martingala, dato che il termine sottratto rappresenta il drift medio cumulato.

Per calcolare la probabilità di raggiungere [math]+2[/math] prima di [math]-3[/math] possiamo utilizzare la formula della rovina del giocatore.

Traslando gli stati in modo che il limite inferiore corrisponda a zero, partiamo dallo stato 3 e abbiamo una barriera superiore a 5:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(S_T=2)=
\frac{1-(q/p_0)^3}{1-(q/p_0)^5},
\end{aligned}[/math]

dove [math]q=1-p_0=0.52[/math].

Sostituendo i valori:

[math]\boxed{P(S_T=2)\approx0.5515}.[/math]

La probabilità di raggiungere il take-profit scende quindi dal 60% a circa il 55,15%.

Risolvendo inoltre le equazioni ricorsive del tempo medio di assorbimento si ottiene:

[math]\boxed{E[T]\approx6.0638\text{ round}}.[/math]

Il valore atteso finale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[S_T]
&=2\cdot0.5515-3\cdot(1-0.5515)\\
&\approx-0.2420\text{ euro}.
\end{aligned}[/math]

Anche in questo caso le soglie asimmetriche influenzano la probabilità di uscita, ma non eliminano il vantaggio statistico della parte che propone il gioco. Un piccolo svantaggio per round è sufficiente a modificare sensibilmente il valore atteso del risultato finale.

Risposte alle verifiche

Esercizio 1

Se la probabilità di provenienza dal centro aumenta a 0.7, mentre quella della periferia scende a 0.3, la media complessiva diventa:

[math]E[T]=0.7\cdot20+0.3\cdot44=27.2.[/math]

La proprietà utilizzata è la legge della speranza totale.

Esercizio 2

Con probabilità uguali per i due scenari climatici:

[math]E[X]=0.5\cdot4+0.5\cdot7=5.5\text{ kWh}.[/math]

La speranza condizionata rispetto al clima rimane una variabile casuale, perché assume un valore diverso a seconda che la giornata sia soleggiata oppure nuvolosa.

Esercizio 3

Con un premio positivo di 4 euro e una perdita di 1.5 euro:

[math]E[X_i]=4\cdot\frac13-1.5\cdot\frac23=\frac13.[/math]

Il guadagno medio per round è positivo, quindi il processo cumulato è una submartingala:

[math]E[S_{n+1}\mid\mathcal F_n]=S_n+\frac13.[/math]

Esercizio 4

Se le varianze giornaliere sono differenti, ma gli incrementi restano indipendenti e a media nulla, il compensatore deve essere la varianza cumulata:

[math]M_n=S_n^2-\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2.[/math]

La dimostrazione segue direttamente dalla proprietà della speranza condizionata e dall’indipendenza degli incrementi.

Esercizio 5

Se [math]a=1[/math], il modello diventa:

[math]X_{n+1}=X_n+\varepsilon_{n+1}.[/math]

Poiché la perturbazione ha media condizionata nulla, il processo originale è una martingala.

Se [math]0<a<1[/math], la previsione del valore futuro è invece [math]aX_n[/math]. La trasformazione [math]Y_n=a^{-n}X_n[/math] compensa il decadimento medio e soddisfa la proprietà di martingala.

Esercizio 6

Con take-profit a [math]+3[/math] e stop-loss a [math]-2[/math], la probabilità di raggiungere la soglia positiva prima di quella negativa è:

[math]3p-2(1-p)=0.[/math]

Da cui:

[math]5p=2,\qquad \boxed{p=0.4}.[/math]

La durata media si ricava ancora dalla martingala [math]S_n^2-n[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E[T]
&=E[S_T^2]\\
&=9\cdot0.4+4\cdot0.6\\
&=\boxed{6\text{ round}}.
\end{aligned}[/math]

La probabilità di raggiungere il take-profit è quindi del 40%, mentre quella di raggiungere lo stop-loss è del 60%.

Se la moneta non fosse equa, il processo [math]S_n[/math] non sarebbe più una martingala e i calcoli dovrebbero tenere conto del drift. Nel caso con probabilità di vincita pari a 0.48, già analizzato nell’esercizio, la probabilità di raggiungere il take-profit a [math]+2[/math] prima dello stop-loss a [math]-3[/math] scende a circa il 55,15%.

Mini-glossario

• Filtrazione [math](\mathcal F_n)[/math]: successione crescente di σ-algebre che descrive le informazioni disponibili nel tempo.
• Processo adattato: processo per il quale il valore al tempo [math]n[/math] è determinabile utilizzando le informazioni disponibili fino a quel momento.
• Speranza condizionata: previsione media di una variabile casuale sulla base di una determinata informazione.
• Legge della speranza totale: proprietà secondo cui la media delle speranze condizionate coincide con la media complessiva.
• Martingala: processo adattato e integrabile la cui speranza condizionata al passo successivo coincide con il valore corrente.
• Submartingala: processo per il quale la speranza condizionata futura è maggiore o uguale al valore corrente.
• Supermartingala: processo per il quale la speranza condizionata futura è minore o uguale al valore corrente.
• Differenza di martingala: incremento di una martingala con media condizionata nulla rispetto alle informazioni precedenti.
• Compensatore: componente prevedibile sottratta a un processo per ottenere una martingala.
• Tempo di arresto: variabile casuale che individua un istante di interruzione sulla base delle informazioni disponibili fino a quel momento.
• Arresto opzionale: teorema che, sotto opportune condizioni di integrabilità e regolarità, permette di trasferire la proprietà di martingala a un processo arrestato e di conservare il valore atteso.

Conclusioni

La speranza condizionata e le martingale descrivono due aspetti dello stesso problema: come cambiano le previsioni quando arrivano nuove informazioni e quali proprietà deve avere un processo affinché il suo valore futuro non presenti una variazione media prevedibile.

Gli esercizi mostrano che questi concetti non appartengono soltanto alla teoria astratta della probabilità. La previsione dei tempi di consegna, la stima dei consumi energetici, la valutazione di una promozione e l’analisi di una strategia finanziaria richiedono tutti di distinguere tra valore atteso, informazione disponibile e comportamento nel tempo.

Il passaggio dalla teoria alla simulazione computazionale aggiunge un ulteriore elemento: una dimostrazione matematica stabilisce il risultato sotto determinate ipotesi, mentre una simulazione permette di osservare come quel risultato emerge da un insieme di esperimenti casuali e quanto le stime empiriche possano discostarsi dai valori teorici.

Questa distinzione è centrale anche nella Data Science. Un modello probabilistico non deve essere valutato soltanto per la sua capacità di produrre una previsione, ma anche per la correttezza delle ipotesi che la sostengono, per il trattamento dell’incertezza e per la coerenza tra risultati teorici e osservazioni.

Le martingale offrono un linguaggio rigoroso per affrontare questi problemi e costituiscono una base importante per lo studio dei processi stocastici, dei modelli finanziari e delle tecniche probabilistiche più avanzate.