Affrontare il calcolo delle probabilità può sembrare, a prima vista, un’impresa complessa, un labirinto di numeri e formule. Eppure, dietro quelle che sembrano astrazioni matematiche, si nasconde la chiave per capire e prevedere eventi del mondo reale. Con le variabili aleatorie discrete, iniziamo a disegnare mappe di possibilità, a dare un volto numerico all’incertezza che ci circonda. Questo articolo non è solo una raccolta di esercizi; è un invito a scoprire come i concetti di probabilità congiunta, marginale e condizionata ci aiutino a svelare le relazioni nascoste tra eventi, fornendoci strumenti pratici per interpretare dati e prendere decisioni informate. Immergiamoci insieme in questi esempi per toccare con mano la potenza e la bellezza di un approccio quantitativo all’imprevisto.
Fondamenti delle Distribuzioni di Probabilità per Variabili Discrete
Quando lavoriamo con variabili aleatorie discrete, è fondamentale comprendere come la probabilità si distribuisce sia per singole variabili sia per combinazioni di esse. Questo ci porta a esplorare due concetti chiave: la distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali.
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La Distribuzione di Probabilità Congiunta
Immaginate di avere due eventi o caratteristiche che vi interessano e che possono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio, il risultato di due lanci di dadi, oppure il numero di clienti che acquistano un prodotto (Variabile X) e il metodo di pagamento che utilizzano (Variabile Y).
La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili aleatorie discrete, diciamo [math]X[/math] e [math]Y[/math], descrive la probabilità che [math]X[/math] assuma un valore specifico [math]x[/math] e contemporaneamente [math]Y[/math] assuma un valore specifico [math]y[/math]. Viene solitamente denotata come [math]P(X=x,Y=y)[/math] o semplicemente [math]P(x,y)[/math].
Questa distribuzione ci offre una panoramica completa di tutte le possibili combinazioni di valori che [math]X[/math] e [math]Y[/math] possono assumere e della probabilità associata a ciascuna di esse. È spesso rappresentata tramite una tabella a doppia entrata, come quelle presentate negli esercizi, dove le righe corrispondono ai valori di [math]X[/math], le colonne ai valori di [math]Y[/math], e le celle contengono le probabilità congiunte.
Caratteristiche principali della distribuzione congiunta:
- Ogni probabilità [math]P(x,y)[/math] deve essere maggiore o uguale a 0 ([math]\displaystyle P(x,y) \ge 0[/math]).
- La somma di tutte le probabilità congiunte deve essere uguale a 1 ([math]\displaystyle \sum_x \sum_y P(x,y) = 1[/math]).
La distribuzione congiunta è il punto di partenza per capire come due variabili interagiscono. Da essa possiamo derivare altre informazioni cruciali, come le distribuzioni marginali e le distribuzioni condizionate.
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Le Distribuzioni di Probabilità Marginali
Mentre la distribuzione congiunta ci dice le probabilità di coppie di valori, le distribuzioni di probabilità marginali ci permettono di focalizzarci su una singola variabile, ignorando (o “marginalizzando”) l’influenza dell’altra.
Per ottenere la distribuzione marginale di una variabile, è sufficiente sommare le probabilità congiunte lungo le righe o le colonne della tabella congiunta.
Distribuzione marginale di [math]X[/math] ([math]P(X=x)[/math]):
Per calcolare la probabilità che la variabile [math]X[/math] assuma un certo valore [math]x[/math], si sommano tutte le probabilità congiunte [math]P(x,y)[/math] per quel dato [math]x[/math] attraverso tutti i possibili valori di [math]Y[/math]. In altre parole:
[math]\displaystyle P(X=x)=\sum_y P(X=x,Y=y)[/math]
Questo valore rappresenta la probabilità che [math]X[/math] assuma il valore [math]x[/math], indipendentemente da quale valore assuma [math]Y[/math].
Distribuzione marginale di [math]Y[/math] ([math]P(Y=y)[/math]):
Analogamente, per calcolare la probabilità che la variabile [math]Y[/math] assuma un certo valore [math]y[/math], si sommano tutte le probabilità congiunte [math]P(x,y)[/math] per quel dato [math]y[/math] attraverso tutti i possibili valori di [math]X[/math]. Quindi:
[math]\displaystyle P(Y=y)=\sum_x P(X=x,Y=y)[/math]
Questo valore rappresenta la probabilità che [math]Y[/math] assuma il valore [math]y[/math], indipendentemente da quale valore assuma [math]X[/math].
Perché sono importanti le distribuzioni marginali?
Le distribuzioni marginali ci restituiscono la distribuzione di probabilità “standard” per ciascuna variabile presa singolarmente, come se l’altra variabile non esistesse. Sono essenziali per:
- Comprendere la distribuzione di ogni variabile in modo isolato.
- Verificare l’indipendenza tra le variabili: se due variabili sono indipendenti, allora la loro probabilità congiunta è semplicemente il prodotto delle loro probabilità marginali ([math]\displaystyle P(x,y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)[/math]). Se questa condizione non è soddisfatta per almeno una coppia di valori, le variabili non sono indipendenti.
In sintesi, la distribuzione congiunta è la “base di dati” completa, mentre le distribuzioni marginali sono delle “sommarie” che ci permettono di analizzare ogni variabile singolarmente, fornendo un quadro più chiaro della sua frequenza e probabilità di occorrenza.
Le soluzioni degli esercizi sono in fondo:
✅ Esercizio 1 – Tabella di probabilità congiunta discreta
Sia definita la seguente tabella di probabilità congiunta delle variabili aleatorie discrete [math]X[/math] e [math]Y[/math]:
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 1 & 3 \\ \hline 0 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 1 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \end{array}[/math]
Domande:
a) Calcola le distribuzioni marginali di [math]X[/math] e [math]Y[/math].
b) Le variabili [math]X[/math] e [math]Y[/math] sono indipendenti? Giustifica la risposta.
c) Calcola il valore atteso e la varianza di [math]Y[/math] condizionata a [math]X=1[/math]:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y \mid X=1], \quad \mathrm{Var}(Y \mid X=1)[/math]
d) Calcola il valore atteso e la varianza di [math]X[/math] condizionata a [math]Y=3[/math]:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[X \mid Y=3], \quad \mathrm{Var}(X \mid Y=3)[/math]
✅ Esercizio 2 – Analisi di legge congiunta
Considera la seguente tabella di probabilità congiunta relativa a due variabili casuali discrete [math]X[/math] e [math]Y[/math]:
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 0 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 1 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \end{array}[/math]
Domande:
a) Determina le distribuzioni marginali [math]P(X)[/math] e [math]P(Y)[/math].
b) Le variabili [math]X[/math] e [math]Y[/math] sono indipendenti? Spiega il motivo con un confronto numerico.
c) Determina:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y \mid X=1], \quad \mathrm{Var}(Y \mid X=1)[/math]
✅ Esercizio 3 – Probabilità condizionata e varianza
La tabella seguente rappresenta la distribuzione congiunta di probabilità delle variabili [math]X[/math] e [math]Y[/math]:
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 1 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \end{array}[/math]
Domande:
a) Determina le distribuzioni marginali di [math]X[/math] e di [math]Y[/math].
b) Verifica se [math]X[/math] e [math]Y[/math] sono indipendenti. Mostra almeno un confronto tra [math]P(x,y)[/math] e [math]P(X=x) \cdot P(Y=y)[/math].
c) Calcola:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y \mid X=2], \quad \mathrm{Var}(Y \mid X=2)[/math]
Soluzioni degli Esercizi
✅ Esercizio 1
Tabella congiunta [math]P(X, Y)[/math]
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 1 & 3 \\ \hline 0 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 1 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \end{array}[/math]
(a) Calcolare le marginali [math]P(X)[/math] e [math]P(Y)[/math]
[math]\displaystyle P(X=0)=0.1+0.2=0.3[/math]
[math]\displaystyle P(X=1)=0.2+0.3=0.5[/math]
[math]\displaystyle P(X=2)=0.1+0.1=0.2[/math]
[math]\displaystyle P(Y=1)=0.1+0.2+0.1=0.4[/math]
[math]\displaystyle P(Y=3)=0.2+0.3+0.1=0.6[/math]
✅ Somma totale: [math]1[/math]
(b) Verificare se [math]X[/math] e [math]Y[/math] sono indipendenti
Controlliamo se [math]P(x,y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)[/math] per tutte le celle.
Ad esempio:
[math]\displaystyle P(0,1) = 0.1 \quad\text{ma}\quad P(X=0)P(Y=1) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12 \ne 0.1[/math]
❌ Non sono indipendenti.
(c) Calcolare [math]\mathbb{E}[Y \mid X = 1][/math], [math]\mathrm{Var}(Y \mid X = 1)[/math]
Distribuzione [math]Y \mid X=1[/math]:
[math]\displaystyle P(Y=1|X=1) = 0.2/0.5 = 0.4, \quad P(Y=3|X=1) = 0.3/0.5 = 0.6[/math]
Valore atteso:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y|X=1] = 1\cdot 0.4 + 3 \cdot 0.6 = 0.4 + 1.8 = 2.2[/math]
Valore atteso al quadrato:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y^2|X=1] = 1^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.6 = 0.4 + 5.4 = 5.8[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle \mathrm{Var}(Y|X=1) = 5.8 – (2.2)^2 = 5.8 – 4.84 = 0.96[/math]
(d) Calcolare [math]\mathbb{E}[X \mid Y = 3][/math], [math]\mathrm{Var}(X \mid Y = 3)[/math]
Distribuzione [math]X \mid Y=3[/math]:
[math]\displaystyle P(X=0|Y=3) = 0.2/0.6 = 1/3, \quad P(X=1|Y=3) = 0.3/0.6 = 0.5, \quad P(X=2|Y=3) = 0.1/0.6 = 1/6[/math]
Atteso:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[X|Y=3] = 0\cdot 1/3 + 1\cdot 0.5 + 2\cdot 1/6 = 0 + 0.5 + 0.333 = 0.833[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{E}[X^2|Y=3] &= 0^2 \cdot 1/3 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 1/6 \\ &= 0 + 0.5 + 4/6 = 0.5 + 0.666\dots = 1.166\dots \end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \mathrm{Var}(X|Y=3) = 1.166\dots – (0.833\dots)^2 \approx 1.166 – 0.694 = 0.472[/math]
Questo esercizio è particolarmente interessante perché introduce i concetti fondamentali delle distribuzioni congiunte e marginali , che sono la base per comprendere le relazioni tra più variabili. La sua peculiarità risiede nella richiesta di calcolare le probabilità condizionate , che sono cruciali per capire come la conoscenza di un evento influenzi la probabilità di un altro.
Dal punto di vista applicativo, scenari come questo si ritrovano spesso nell’analisi dei dati. Immaginate di studiare la relazione tra il voto ottenuto in un esame (variabile [math]X[/math]) e il tempo dedicato allo studio (variabile [math]Y[/math]). La tabella congiunta ci permetterebbe di vedere, ad esempio, quante persone hanno studiato poco e ottenuto un voto basso. Le distribuzioni marginali ci darebbero il quadro generale della distribuzione dei voti o del tempo di studio indipendentemente dall’altra variabile. Il calcolo delle probabilità condizionate, come [math]\displaystyle P(Y=3 \mid X=1)[/math], ci direbbe la probabilità di ottenere un certo voto sapendo che si è studiato per un certo tempo. L’analisi dell’indipendenza, infine, ci direbbe se il voto è influenzato in modo significativo dal tempo di studio. Questo esercizio pone le basi per analisi statistiche più complesse, come la regressione o la classificazione, dove si cerca di modellare la dipendenza tra variabili.
✅ Esercizio 2
Tabella [math]P(X,Y)[/math]
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 0 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 1 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \end{array}[/math]
Marginali:
[math]\displaystyle P(X=0) = 0.2+0.1=0.3[/math]
[math]\displaystyle P(X=1) = 0.1+0.3=0.4[/math>
[math]\displaystyle P(X=2) = 0.1+0.2=0.3[/math]
[math]\displaystyle P(Y=0) = 0.2+0.1+0.1=0.4[/math]
[math]\displaystyle P(Y=2) = 0.1+0.3+0.2=0.6[/math]
Verifica indipendenza:
[math]\displaystyle P(X=0,Y=0) = 0.2[/math]
[math]\displaystyle P(X=0)P(Y=0) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12[/math]
Dato che [math]P(X=0,Y=0) = 0.2 \ne 0.12 = P(X=0)P(Y=0)[/math], le variabili [math]X[/math] e [math]Y[/math] non sono indipendenti.
Calcolo [math]\mathbb{E}[Y \mid X = 1][/math] e [math]\mathrm{Var}(Y \mid X = 1)[/math]
Distribuzione [math]Y \mid X=1[/math]:
[math]\displaystyle P(Y=0|X=1) = 0.1/0.4 = 0.25[/math]
[math]\displaystyle P(Y=2|X=1) = 0.3/0.4 = 0.75[/math]
Valore atteso:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y|X=1] = 0\cdot 0.25 + 2\cdot 0.75 = 0 + 1.5 = 1.5[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle \begin{aligned} \mathbb{E}[Y^2|X=1] &= 0^2 \cdot 0.25 + 2^2 \cdot 0.75 \\ &= 0 + 4 \cdot 0.75 = 3 \end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \mathrm{Var}(Y|X=1) = \mathbb{E}[Y^2|X=1] – (\mathbb{E}[Y|X=1])^2 = 3 – (1.5)^2 = 3 – 2.25 = 0.75[/math]
L’Esercizio 2 è un’ottima continuazione del primo, consolidando i concetti di distribuzioni marginali e indipendenza. La sua peculiarità sta nell’accento posto sulla verifica numerica dell’indipendenza , chiedendo esplicitamente di spiegare il motivo con un confronto numerico. Questo rinforza la comprensione che l’indipendenza non è un’assunzione, ma una proprietà che deve essere dimostrata attraverso la relazione [math]\displaystyle P(x,y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)[/math].
Applicativamente, questo è fondamentale in ambiti come il controllo qualità o la ricerca scientifica. Supponiamo di avere una variabile [math]X[/math] che rappresenta il tipo di difetto di un prodotto e una variabile [math]Y[/math] che rappresenta la linea di produzione. Se [math]X[/math] e [math]Y[/math] fossero indipendenti, il tipo di difetto non dipenderebbe dalla linea di produzione, suggerendo che il problema è sistemico o casuale. Se invece non fossero indipendenti (come in questo esercizio), significherebbe che certe linee di produzione sono più propense a generare certi tipi di difetti, indirizzando così gli sforzi di miglioramento. Il calcolo di [math]\displaystyle \mathbb{E}[Y \mid X=1][/math] e [math]\displaystyle \mathrm{Var}(Y \mid X=1)[/math] è utile per capire il comportamento di una variabile in un sottoinsieme specifico della popolazione, ad esempio, come varia il difetto ([math]Y[/math]) quando il prodotto proviene da una specifica linea ([math]X=1[/math]).
✅ Esercizio 3
Tabella [math]P(X,Y)[/math]
[math]\displaystyle \begin{array}{c|cc} X \backslash Y & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 1 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 2 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \end{array}[/math]
Marginali:
[math]\displaystyle P(X=0) = 0.1+0.2=0.3[/math]
[math]\displaystyle P(X=1) = 0.2+0.2=0.4[/math]
[math]\displaystyle P(X=2) = 0.1+0.2=0.3[/math]
[math]\displaystyle P(Y=1) = 0.1+0.2+0.1=0.4[/math]
[math]\displaystyle P(Y=2) = 0.2+0.2+0.2=0.6[/math]
Verifica indipendenza:
Controlliamo, ad esempio, per [math]X=0, Y=1[/math]:
[math]\displaystyle P(X=0,Y=1) = 0.1[/math]
[math]\displaystyle P(X=0)P(Y=1) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12[/math]
Dato che [math]P(X=0,Y=1) = 0.1 \ne 0.12 = P(X=0)P(Y=1)[/math], le variabili [math]X[/math] e [math]Y[/math] non sono indipendenti.
Calcolo [math]\mathbb{E}[Y \mid X = 2][/math] e [math]\mathrm{Var}(Y \mid X = 2)[/math]
Distribuzione [math]Y \mid X=2[/math]:
[math]\displaystyle P(Y=1|X=2) = 0.1/P(X=2) = 0.1/0.3 = 1/3[/math]
[math]\displaystyle P(Y=2|X=2) = 0.2/P(X=2) = 0.2/0.3 = 2/3[/math]
Valore atteso:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y|X=2] = 1\cdot (1/3) + 2\cdot (2/3) = 1/3 + 4/3 = 5/3 \approx 1.667[/math]
Valore atteso al quadrato:
[math]\displaystyle \mathbb{E}[Y^2|X=2] = 1^2 \cdot (1/3) + 2^2 \cdot (2/3) = 1/3 + 4 \cdot (2/3) = 1/3 + 8/3 = 9/3 = 3[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle \mathrm{Var}(Y|X=2) = \mathbb{E}[Y^2|X=2] – (\mathbb{E}[Y|X=2])^2 = 3 – (5/3)^2 = 3 – 25/9 = (27-25)/9 = 2/9 \approx 0.222[/math]
Questo esercizio si concentra sulla probabilità condizionata e sulla varianza condizionata , concetti che sono spesso più difficili da assimilare per chi si avvicina alla probabilità. La sua peculiarità è l’enfasi sul calcolo della varianza condizionata, che fornisce una misura della dispersione di una variabile dato che un’altra variabile ha assunto un certo valore.
In un contesto applicativo, pensiamo alla finanza . [math]X[/math] potrebbe rappresentare il rendimento di un’azione A e [math]Y[/math] il rendimento di un’azione B. La varianza condizionata [math]\displaystyle \mathrm{Var}(Y \mid X=2)[/math] potrebbe indicare quanto il rendimento dell’azione B è volatile quando il rendimento dell’azione A è pari a 2. Questo è cruciale per la gestione del rischio e la costruzione di portafogli diversificati. Se la varianza condizionata è bassa, significa che i rendimenti dell’azione B sono più prevedibili data la performance dell’azione A. Questo esercizio, quindi, va oltre la semplice media, fornendo un’informazione più ricca sulla distribuzione condizionata e sulla sua “diffusione”.
