Il valor medio
Il valor medio di un insieme di dati consiste semplicemente nella media aritmetica di n valori assunti da una variabile numerica;
introduciamo ora un concetto simile, che riguarda le variabili aleatorie.
Data una variabile aleatoria X, alla sua distribuzione o densità di probabilità f (x ) sono associati alcuni numeri, detti parametri della distribuzione o della densità di probabilità, aventi lo stesso significato degli indici di posizione e di dispersione per un insieme di dati.
Valor medio − Caso discreto
Sia data una variabile aleatoria discreta X, i cui valori possibili sono x1 ,x2 ,…,xn , con probabilità rispettivamente
Definizione
Si definisce valor medio o speranza matematica di una variabile aleatoria discreta X la quantità:
Un caso particolare si ha quando le probabilità f (xi ) sono tutte uguali:
in tal caso µ è la media aritmetica di x1 ,x2,…,xn.
Il valor medio di X è un numero che indica dove è “centrata” la variabile aleatoria X, ossia attorno a quale valore ci aspettiamo che cadano i valori di X; esso rappresenta quindi una misura di tendenza centrale. Il valor medio di X può non essere un valore effettivamente assunto da X.
Esempio
Se la variabile aleatoria X è il punteggio ottenuto nel lancio di un dado, poiché i 6 risultati possibili sono ugualmente probabili, si ha
Esempio
La variabile aleatoria X indica la somma dei punti ottenuti con il lancio di due dadi.
La tabella della distribuzione di probabilità f (x) è la seguente:
Si noti che in questo esempio i valori xi non sono ugualmente probabili.
Esempio
Trovare il valor medio della variabile aleatoria X definita come il numero di teste ottenute con tre lanci successivi di una moneta.
Soluzione
I casi possibili sono 23= 8.
Esempio
Si lancia un dado: un giocatore vince € 2000 se esce il 2, € 4000 se esce il 4, perde € 3000 se esce il 6; se esce un numero dispari non vince né perde nulla.
Determinare il guadagno medio del giocatore.
Soluzione
La variabile aleatoria X indica il guadagno/perdita del giocatore.
Nella tabella seguente si riportano le probabilità associate ai guadagni/perdite:
Il guadagno medio è di € 500.
Giochi equi. Un’applicazione del valor medio
Gli esempi seguenti illustrano un’interpretazione del concetto di valor medio.
Sia X una variabile aleatoria e consideriamo un gioco in cui si paga una somma fissa S per partecipare e si riceve una vincita variabile X.
Il valor medio µ può essere visto come il valore da assegnare ad S affinché il gioco sia equo.
Se S > µ il gioco è iniquo a favore del banco.
Equità di un gioco di sorte
Definizione:
Un gioco di sorte si dice equo se la speranza matematica vale 0.
Importante
per valutare l’equità di un gioco di sorte occorre
1. Costruire la v.c. che esprime il guadagno
2. Calcolarne la media e vedere se vale 0.
Esempio
Un giocatore acquista un biglietto di una lotteria: può vincere il primo premio di € 5000 con probabilità 0.001 e il secondo premio di € 2000 con probabilità 0.003. Quale dovrebbe essere il giusto prezzo del biglietto?
Soluzione
Calcoliamo il valor medio (speranza matematica):
Affinché il gioco sia equo, il prezzo giusto per il biglietto dovrebbe essere € 11.
Esempio
In una lotteria nazionale vengono messi in palio i seguenti premi:
1° premio € 3.000.000
2° premio € 2.000.000
3° premio € 1.000.000
5 premi da € 100.000
20 premi da € 10.000
100 premi da € 1.000
Vengono venduti 2 milioni di biglietti; qual è il valor medio della vincita per chi acquista un biglietto? Se il biglietto costa € 5, il gioco è equo, ossia conviene partecipare alla lotteria?
Soluzione
Sia X la variabile aleatoria “premio vinto con un biglietto”;
la distribuzione di probabilità è la seguente:
Poichè il prezzo del biglietto è di € 5, il gioco non è equo, ma è a sfavore di chi compra i biglietti.
Se il gioco fosse equo, il biglietto della lotteria dovrebbe costare € 3.4 .
