La distribuzione binomiale negativa

Tra le distribuzioni teoriche discrete, nella ricerca ambientale e biologica una delle più importanti è la distribuzione binomiale negativa. Ha forse un numero maggiore di applicazioni delle precedenti; ma è più complessa, sia per gli aspetti teorici e matematici, sia nei calcoli.
Come quella binomiale e quella poissoniana, la distribuzione binomiale negativa permette la stima delle probabilità di eventi, misurati mediante un conteggio.

Dove è utile la distribuzione binomiale negativa

In botanica e in ecologia, permette l’analisi della distribuzione territoriale di popolazioni animali e vegetali; in epidemiologia, l’analisi del numero di ammalati in periodi brevi di tempo e in popolazioni piccole, in intervalli abbastanza lunghi; nell’industria, quella del numero scarti o di errori nella produzione varia nel tempo o tra macchine e operatori.

In generale, serve quando si elenca il numero di eventi avvenuti per unità temporali o spaziali.

Ad esempio, con una rilevazione di 200 giorni su un lungo tratto stradale, può essere il conteggio di incidenti avvenuti ogni giorno; oppure, su 200 km di percorso, il conteggio di quelli avvenuti in un decennio, per ogni tratto lungo un Km.

La distribuzione tende a essere binomiale negativa quando, come molto spesso succede, la distribuzione degli eventi è aggregata, vale a dire le probabilità cambiano.
Nell’esempio dell’autostrada, si ha una distribuzione binomiale negativa quando il numero di incidenti cambia perché sono diverse le condizioni meteorologiche oppure perché non tutti i tratti del percorso hanno la stessa pericolosità.

In modo didattico, l’infinita varietà di forme della distribuzione geografica di gruppi di individui è schematizzata in tre tipi principali, riportati graficamente nella figura seguente:

a – gruppi piccoli,
b – gruppi larghi, con altri individui distribuiti in modo random,
c – gruppi larghi, con altri individui distribuiti in modo regolare.

Differenze tra distribuzione poissoniana e distribuzione binomiale negativa

Per n grande e probabilità p basse, quando la media µ = np è piccola, unica o costante per tutta l’area o per tutto il periodo presi in considerazione, le frequenze attese sono fornite dalla distribuzione poissoniana.

In essa la varianza

e la media 

sono uguali:

Ma quando il fenomeno è complesso e la distribuzione di frequenza è determinata da due o più fattori, ognuno con una media µ diversa ma sempre piccola, si ha la distribuzione binomiale negativa.
Può essere vista come una mistura o combinazione di altre distribuzioni. Spesso è sinonimo di distribuzioni aggregate.

In essa, la varianza  σ² è superiore alla media µ :

Nella presentazione delle distribuzioni precedenti, è stato evidenziato che

p + q = 1

dove p indica la probabilità del successo e q la probabilità dell’evento alternativo.

Le differenze fondamentali tra la distribuzione binomiale, poissoniana e binomiale negativa sono collegate ai loro diversi rapporti tra media e varianza.

Con n prove,
– la distribuzione binomiale è caratterizzata da una varianza  σ² = npq inferiore alla media ( µ = np ), dato che q < 1;
– la distribuzione poissoniana ha una varianza uguale alla media (σ² = µ ) poiché q ≅ 1;

– la distribuzione binomiale negativa è caratterizzata da una varianza superiore alla media (σ² > µ ); quindi dovrebbe avere q > 1.

Per introdurre i concetti sui quali è fondata la distribuzione binomiale negativa, è possibile partire da una considerazione ovvia: quando si analizza la distribuzione territoriale di un gruppo di animali o di una specie vegetale, i dati sperimentali evidenziano spesso, come dato di fatto, che
– la varianza ( σ²= npq ) è superiore alla media ( µ = np ).

Da questa semplice osservazione, si deducono alcune contraddizioni logiche:

a) poiché npq > np , deve essere necessariamente q > 1; quindi p (uguale a 1− q ) ha un valore negativo; ma p rappresenta la probabilità che avvenga un evento e quindi non può essere negativa;
b) inoltre, poiché la media ( µ = np ) deve essere positiva (in quanto media di eventi), con p negativo, anche n deve essere negativo; ma n è un conteggio e quindi al massimo può essere nullo, mai negativo.

E’ una serie di illogicità che complica la soluzione matematica della distribuzione binomiale negativa.
Le soluzioni proposte sono numerose.
In una di esse, si pone n = −k , con k intero positivo.
Quindi con − p (che è mantenuto inalterato) il binomio assume la forma:

da cui il nome di binomiale negativa (l’esponente − k è chiamato negative-binomial k ).

Usando una scala continua, quindi con valori indicati con X, il termine generale per la distribuzione binomiale negativa è:

dove
– P = probabilità di un quadrato di contenere X individui o di una unità di tempo di avere X casi
– x = il conteggio delle unità di eventi (0, 1, 2, 3, …)
– µ = media della distribuzione per unità di superficie o di tempo
– k = esponente binomiale-negativo
– Γ = funzione Gamma.

la distribuzione binomiale negativa è unimodale e ha forma simile alla distribuzione di Poisson, ma con frequenze maggiori agli estremi e minori nella parte centrale.

La funzione Gamma può essere bene approssimata dalla formula di Stirling:

(la virgola e il punto sono usati con simbologia italiana).

I parametri essenziali, poiché gli altri possono essere derivati matematicamente da questi come precedentemente dimostrato, sono 2:
la media µ = np e l’esponente k = −n , da cui

µ = kp

La varianza teorica o attesa  σ² della binomiale negativa è:

da cui si deduce che sempre σ² > µ .

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