Quante probabilità ci sono che oggi nessun pacco spedito arrivi danneggiato? Quante notifiche deve inviare un’app per essere sicura che ne leggerai almeno due? E come fa un’industria a decidere se un intero lotto di produzione è affidabile basandosi su un piccolo campione?
Queste non sono domande astratte, ma problemi concreti che aziende e professionisti affrontano ogni giorno. La chiave per rispondere non è tirare a indovinare, ma usare uno degli strumenti più potenti della statistica: la distribuzione binomiale.
In questa guida pratica, non troverai solo formule, ma scenari reali. Attraverso 6 esercizi progressivi, vedrai come la binomiale smette di essere un concetto da manuale per diventare un alleato fondamentale nel prendere decisioni basate sui dati, che tu sia uno studente alle prese con l’esame o un futuro analista di dati.
Partiamo.
📚 Prima un veloce ripasso:
🟢 Esercizio 1 – Facile
Testo
Un’azienda di e-commerce spedisce i pacchi con corriere espresso.
Dall’esperienza passata, il 3 % dei pacchi arriva danneggiato.
Oggi vengono spediti 40 pacchi; assumiamo che i danni avvengano indipendentemente l’uno dall’altro.
- Qual è la probabilità che nessun pacco arrivi danneggiato?
- Qual è la probabilità che al più 2 pacchi arrivino danneggiati?
Risoluzione guidata
1. Modello
La variabile aleatoria
[math]X = \text{“numero di pacchi danneggiati”}[/math]
segue la distribuzione binomiale:
[math]X\sim\mathrm{Binom}(n=40,\;p=0.03).[/math]
2. Formula di massima
[math]\displaystyle P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots ,n.[/math]
3. Punto a)
[math]\displaystyle P(X=0)=\binom{40}{0}0.03^{0}\,0.97^{40}=0.97^{40}\approx 0.296.[/math]
4. Punto b)
[math]\displaystyle P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).[/math]
Calcoliamo i singoli addendi:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(X=1)&=\binom{40}{1}0.03^{1}\,0.97^{39}=40\cdot 0.03\cdot 0.97^{39}\approx 0.366,\\
P(X=2)&=\binom{40}{2}0.03^{2}\,0.97^{38}=780\cdot 0.0009\cdot 0.97^{38}\approx 0.220.
\end{aligned}[/math]
Sommando:
[math]P(X\le 2)\approx 0.296+0.366+0.220=\boldsymbol{0.882}.[/math]
Se [math]p[/math] è piccolo e [math]n[/math] è moderato, la probabilità di 0 eventi non è trascurabile.
🤔 Domanda di riflessione
Se la probabilità di danno fosse [math]0.30[/math] invece di [math]0.03[/math], cambierebbe solo la probabilità di 0 danni oppure anche la forma della distribuzione?
🟢 Esercizio 2 – Medio
Testo
Un’applicazione di fitness notifica 5 promemoria al giorno per camminare.
Ogni notifica ha una probabilità del 25 % di essere effettivamente letta.
- Qual è la probabilità che almeno 3 notifiche su 5 vengano lette?
- Quante notifiche, in media, vengono lette ogni giorno?
- Se l’app vuole che almeno 2 notifiche vengano lette con probabilità ≥ 0.9, quante notifiche deve inviare?
Risoluzione guidata
1. Modello
[math]X\sim\mathrm{Binom}(n=5,\;p=0.25).[/math]
2. Punto a)
[math]\displaystyle P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\bigl[P(0)+P(1)+P(2)\bigr].[/math]
Calcoli (arrotondati a 3 cifre):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(0)&=0.75^{5}\approx 0.237,\\
P(1)&=\binom{5}{1}0.25\cdot 0.75^{4}\approx 0.396,\\
P(2)&=\binom{5}{2}0.25^{2}\cdot 0.75^{3}\approx 0.264.
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle P(X\le 2)\approx 0.237+0.396+0.264=0.897\quad\Rightarrow\quad P(X\ge 3)\approx 0.103.[/math]
3. Punto b)
Valore atteso: [math]\mathbb{E}[X]=n p=5\cdot 0.25=\boldsymbol{1.25}[/math] notifiche lette.
4. Punto c)
Cerchiamo il minimo [math]n[/math] tale che [math]P(X\ge 2)\ge 0.9[/math].
Procediamo per tentativi:
- [math]n=5\Rightarrow P(X\ge 2)\approx 0.633[/math] (troppo basso)
- [math]n=8\Rightarrow P(X\ge 2)\approx 0.851[/math]
- [math]n=10\Rightarrow P(X\ge 2)\approx 0.943\quad\checkmark[/math]
Servono 10 notifiche.
In casi come questo, la funzione di ripartizione (calcolatrice o software) è molto più rapida dei calcoli manuali.
🤔 Domanda di riflessione
Cosa succede alla varianza se raddoppiamo [math]n[/math] ma dimezziamo [math]p[/math]?
🟡 Esercizio 3 – Medio-Più
Testo
Una fabbrica di microchip produce lotti da 1000 pezzi.
Il controllo qualità accetta il lotto se al più 10 chip sono difettosi.
Il processo produttivo ha una probabilità di difetto [math]p=0.008[/math].
- Calcola la probabilità che un lotto venga accettato.
- Se il capo reparto vuole aumentare il [math]p[/math] standard per ridurre i costi, qual è il valore massimo di [math]p[/math] che mantiene la probabilità di accettazione [math]\ge 0.95[/math]?
Risoluzione guidata
1. Modello
[math]X\sim\mathrm{Binom}(n=1000,\;p=0.008).[/math]
2. Punto a)
[math]P(\text{accettazione})=P(X\le 10).[/math]
Per [math]n[/math] grande usiamo l’approssimazione di Poisson con [math]\lambda=np=8[/math]:
[math]\displaystyle P(X\le 10)\approx\sum_{k=0}^{10}\frac{e^{-8}\,8^{k}}{k!}\approx\boldsymbol{0.816}.[/math]
3. Punto b)
Cerchiamo [math]p_{\max}[/math] tale che [math]P(X\le 10)\ge 0.95[/math].
Ripetiamo il calcolo con diversi [math]p[/math] (software o calcolatrice):
- [math]p=0.005\Rightarrow\lambda=5\Rightarrow P\le 10\approx 0.986\quad\checkmark[/math]
- [math]p=0.007\Rightarrow\lambda=7\Rightarrow P\le 10\approx 0.901\quad\times[/math]
Interpolando: [math]p_{\max}\approx 0.0059[/math].
Per [math]n\ge 30[/math] e [math]p\le 0.05[/math], l’approssimazione di Poisson è ottima (errore < 1 %).
🤔 Domanda di riflessione
Perché l’approssimazione di Poisson non funziona se [math]p[/math] è grande?
🟠 Esercizio 4 – Avanzato (Università – Analisi della varianza)
Testo
Un’agenzia di sondaggi chiede a 300 intervistati: «Pensi che l’inquinamento sia un problema serio?».
Rispondono “sì” con probabilità [math]p=0.68[/math].
- Determina media e deviazione standard del numero di “sì”.
- Calcola la probabilità che le risposte “sì” siano comprese fra 190 e 210 usando l’approssimazione normale con correzione di continuità.
- Confronta il risultato con quello ottenuto dalla binomiale esatta via software.
Risoluzione guidata
1. Modello
[math]X\sim\mathrm{Binom}(n=300,\;p=0.68).[/math]
2. Punto a)
[math]\mu=np=204,\quad\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{300\cdot 0.68\cdot 0.32}\approx 8.08.[/math]
3. Punto b)
Approssimazione normale con correzione di continuità:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
z_{1}&=\frac{189.5-204}{8.08}\approx -1.79,\\
z_{2}&=\frac{210.5-204}{8.08}\approx 0.80.
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle P(190\le X\le 210)\approx\Phi(0.80)-\Phi(-1.79)\approx 0.788-0.037=\boldsymbol{0.751}.[/math]
4. Punto c)
Software (R, Python, calcolatrice):
P_binom(190\le X\le 210)\approx 0.754.
L’errore relativo è circa 0.4 %, accettabile.
La correzione di continuità riduce l’errore quando si approssima una distribuzione discreta con una continua.
🤔 Domanda di riflessione
Se [math]p[/math] fosse 0.95, la distribuzione sarebbe ancora approssimabile con la normale? Qual è il criterio pratico?
🔴 Esercizio 5 – Universitario (Test di ipotesi)
Testo
Un produttore di lampadine LED dichiara che la probabilità che una lampadina superi 10 000 h di vita è [math]p_0=0.92[/math].
Un laboratorio indipendente testa [math]n=150[/math] lampadine e trova [math]k=128[/math] superstiti.
- Imposta il test bilaterale per verificare l’affermazione a livello [math]\alpha=0.05[/math].
- Calcola il p-value esatto e con l’approssimazione normale.
- Stabilisci se rifiutare l’ipotesi nulla.
Risoluzione guidata
1. Ipotesi
[math]H_0:\;p=0.92\quad\text{vs}\quad H_1:\;p\ne 0.92.[/math]
2. Statistica test
Sotto [math]H_0[/math]: [math]X\sim\mathrm{Binom}(150,0.92)[/math].
Osservato: [math]k=128\Rightarrow\hat p=\frac{128}{150}=0.853[/math].
3. Punto b)
- Esatto (software):
p-value = 2·min{P(X≤128), P(X≥128)} ≈ 2·0.013 = 0.026. - Approssimazione normale (con continuità):
[math]\mu=150\cdot 0.92=138,\ \sigma=\sqrt{150\cdot 0.92\cdot 0.08}\approx 3.32[/math].
[math]Z=\frac{|128-138|-0.5}{3.32}\approx 2.86[/math], quindi
p-value ≈ 2·(1-Φ(2.86)) ≈ 0.004.
4. Punto c)
Sia con l’esatto (0.026 < 0.05) sia con la normale (0.004 < 0.05), rifiutiamo [math]H_0[/math].
I dati mettono in dubbio l’affermazione del produttore.
Il p-value esatto è preferibile quando [math]n[/math] non è “enorme” o [math]p[/math] è estremo.
🤔 Domanda di riflessione
Cosa succede al p-value se raddoppiamo [math]n[/math] mantenendo la stessa proporzione osservata [math]\hat p[/math]?
🔴 Esercizio 6 – Universitario (Progetto di controllo di qualità)
Testo
Un’industria farmaceutica confeziona blister da 20 compresse.
Ogni compressa ha probabilità 0.005 di essere difettosa.
Il lotto viene scartato se il blister contiene ≥ 2 compresse difettose.
- Determina la probabilità che un blister venga scartato.
- Il responsabile vuole ridurre tale probabilità al di sotto dello 0.1 %.
Quale valore massimo di [math]p[/math] è consentito se non possiamo cambiare [math]n=20[/math]?
Risoluzione guidata
1. Modello
[math]X\sim\mathrm{Binom}(20,0.005).[/math]
2. Punto a)
[math]\displaystyle P(\text{scarto})=P(X\ge 2)=1-\bigl[P(0)+P(1)\bigr][/math]
[math]\displaystyle =1-\bigl[0.995^{20}+20\cdot 0.005\cdot 0.995^{19}\bigr]\approx\boldsymbol{0.0043}\ (\text{0.43 %}).[/math]
3. Punto b)
Cerchiamo [math]p_{\max}[/math] tale che [math]P(X\ge 2)<0.001[/math].
Risolviamo numericamente:
p = 0.002 → P(scarto) ≈ 0.00076 ✔️p = 0.0022 → P(scarto) ≈ 0.00096 ✔️p = 0.0023 → P(scarto) ≈ 0.00105 ✗
Quindi [math]p_{\max}\approx 0.0022[/math] (0.22 %).
Per [math]p[/math] piccoli, [math]P(X\ge 2)\approx 1-e^{-\lambda}(1+\lambda)[/math] dove [math]\lambda=np[/math] (utile per controlli rapidi).
🤔 Domanda di riflessione
Se potessimo aumentare [math]n[/math] fino a 50, quale sarebbe il nuovo [math]p_{\max}[/math] per mantenere [math]P(\text{scarto})<0.1\%[/math]?
