La distribuzione geometrica
Differenze tra distribuzione binomiale e geometrica
La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale serve per valutare, entro un numero complessivo n di eventi, la probabilità P di avere i eventi favorevoli (Pi), ognuno dei quali ha una probabilità p costante. Con n prefissato (esempio: famiglie di 4 figli) e p costante (esempio: la probabilità p = 0.52 di avere un figlio maschio), permette di stimare la probabilità di avere i volte l’evento atteso (esempio: avere 0 oppure 1 oppure 2, 3, 4 figli maschi). Nel calcolo, n e p sono costanti, mentre i varia.
La distribuzione geometrica
La distribuzione geometrica serve per valutare la probabilità di avere un evento favorevole (i = 1).
Con i prefissato (uguale a 1) e p costante, permette di stimare la probabilità (Pn) di avere l’evento desiderato all’aumentare del numero n di osservazioni. Nel calcolo della distribuzione geometrica, i e p sono costanti mentre n varia.
Ad esempio, si supponga che, in un’analisi complessa di laboratorio, un esperimento abbia il 30% di probabilità di dare una risposta positiva. Quante prove occorre fare per avere la probabilità P di avere una risposta positiva?
La probabilità che il primo tentativo sia positivo è p.
Scritto in modo formale:
P(N = 1; p) = p
La probabilità che il secondo tentativo dia un risultato positivo è (1- p) x p:
P(N = 2; p) = (1 – p) ⋅ p
La probabilità che sia il terzo a dare il risultato positivo è
P(N = 3; p) = (1 – p)2 ⋅ p
e la probabilità che sia l’n-esimo è
P( N = n; p) = (1 – p)n – 1 ⋅ p
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ESEMPIO.
Con p = 0,3 calcolare la probabilità P di avere l’evento desiderato alle prove da 1 a n.
Sviluppando P(n) = (1 – p)n – 1 ⋅ p
si ottengono le probabilità riportate nella tabella:
Ad esempio, con n = 3 la probabilità è P3 =(1- 0,3)2 * 0,3 = 0,147 .
Ottenuti mediante la formula sopra riportata, i valori della tabella sono le probabilità (i dati del calcolo nella colonna 2, i risultati nella colonna 3) che l’esperimento riesca al primo tentativo, al secondo e così via. Sono probabilità esatte: forniscono la probabilità che ogni singolo tentativo dia la risposta desiderata.
Se è necessario sapere quanti tentativi occorre fare, per avere una determinata probabilità che entro essi sia presente almeno una risposta positiva, si deve utilizzare la sommatoria dei singoli valori esatti. L’elenco della tabella mostra che per avere una probabilità non inferiore al 90% di avere il primo risultato positivo occorre fare 7 tentativi, mentre per una probabilità non inferiore al 95% occorre fare 9 tentativi, sempre che la probabilità sia costante e gli eventi siano indipendenti.
