Statistica multivariata: esercizi svolti sulla retta di regressione

Statistica multivariata

Esercizio 1

Si considerino i seguenti dati campionari, raccolti per stimare il tempo che impiega un computer a processare dati: x é il numero di “dati” e y il tempo, in secondi, impiegato dal computer per processarli.

a. Si tracci uno scatterplot dei dati.
b. Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le variabili.
c. Si scriva l’ equazione della retta di regressione e la si disegni sullo scatterplot
d. Si calcoli il tempo previsto per processare 200, 300, 400, 500 dati.

Soluzione

a.

Nella seguente figura sono rappresentati lo scatterplot e la retta di regressione.

b.

Per determinare il coefficiente di correlazione, calcoliamo prima le seguenti quantità:

Calcolo del coefficiente di correlazione

II coefficiente di correlazione σ_xy vale quindi 0.94298.

c.

Per determinare i coefficienti della retta di regressione y= ax + b usiamo le formule che puoi trovare qui:

ed i calcoli del punto precedente per trovare:

d.

Inserendo i valori nella retta di regressione si ottiene:

 

Esercizio 2

La direzione di una catena di fast-food ha effettuato una rilevazione dei costi in migliaia di euro (Y) in relazione alle presenze giornaliere in migliaia di unità (X), i risultati sono riportati in tabella

Disegnare il grafico di dispersione
Determinare la retta di regressione
Disegnare la retta di regressione

Soluzione

Costruiamo la seguente tabella che ci permetterà di conoscere i dati che interessano:

Calcoliamo le medie x e y

L’equazione della retta di regressione è  y = b₁x + b₀

Dove il valore di b₀ si calcola  come il rapporto tra la covarianza e la varianza.

Dunque:

Rappresentiamo ora il grafico di dispersione e la retta di regressione.
Disponiamo un opportuno diagramma cartesiano, con x che va da 0 al valore massimo 4; y va da 0 al valore massimo 17.

Per rappresentare la retta di regressione individuiamo almeno due punti della retta; assegniamo dei valori alla x e ricaviamo i corrispondenti valori di y. Assegniamo a x dei valori che sono tra quelli che abbiamo già rappresentato, cioè tra 0 e 4.

I punti da rappresentare hanno coordinate A(1,5), B(4,17)

Esercizio 3

I seguenti dati di deformazione laterale (e_y) e longitudinale (e_x) sono stati ottenuti sottoponendo a sforzo delle sbarre fabbricate con una
lega sperimentale:

a. Disegnare uno scatterplot delle precedent! osservazioni, disponendo ε_x e ε_y rispettivamente, sull’asse x e y
b. Calcolare il coefficiente di correlazione delle variabili ε_x e ε_y.
c. In base ai punti a. e b., è ragionevole supporre che sussista una relazione lineare tra le variabili ε_x e ε_y? 

d. Usare il metodo dei minimi quadrati per determinare la retta di regressione, e disegnarne il grafico sullo scatterplot delle due variabili.
e. Usare la retta di regressione trovata per predire la deformazione laterale corrispondente a una deformazione longitudinale pari a ε_x = 0.35, oppure a ε_x = 0.8. Quale delle due previsioni ritenete più affidabile? Perché?

Soluzione

a.

Nella seguente figura sono rappresentati lo scatterplot e la retta di regressione.

b.

Come nell’esercizio precedente calcoliamo le quantità:

II coefficiente di correlazione ρ_xy vale quindi 0.98599.

c.

Poiché ρ_xy molto vicino a l è ragionevole che sussista una relazione tra le variabili ε_x e ε_y

d.

Per determinare i coefficienti della retta di regressione y = ax + b procediamo come nell’esercizio precedente:

e.

per ε_x = 0.35 si ha

ε_y = -0.01 + 0.37 • 0.35 = 0.1195

mentre per ε_x = 0.8 si ha

ε_y = —0.01 + 0.37 • 0.8 = 0.286.

La previsione più affidabile è quella relativa al valore ε_x = 0.35 poiché è più vicino ai valori di ε_x già osservati.