La statistica non è solo numeri 💡

Quando navighiamo nel mare dei dati, spesso ci ritroviamo con una domanda fondamentale: il cambiamento che vediamo è reale, o è solo fortuna? La statistica inferenziale è l’arte di rispondere proprio a questo. Non stiamo parlando di algoritmi aridi o formule astratte, ma della capacità critica di prendere una piccola fotografia del mondo (il campione) e dedurre con sicurezza ciò che accade nell’universo intero (la popolazione).

Per un controllore di qualità, un politico o un data scientist, l’inferenza è lo strumento che separa l’intuizione dalla prova scientifica. In questa guida, lasciamo da parte la teoria pesante e ci sporchiamo le mani con 8 esercizi originali e progressivi.

Ti accompagneremo passo dopo passo, dall’impostare il giusto sospetto (l’ipotesi) fino a trarre conclusioni robuste, imparando a misurare l’efficacia di un nuovo programma di allenamento o il rischio di produrre cavi difettosi.

Pronto a trasformare il tuo sospetto in una decisione informata?

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Esercizio 1 (Facile) – Il Fondamento: Ipotesi Nulla e Alternativa

Testo:

Un produttore di biscotti afferma che il suo macchinario riempie ogni busta con un peso medio di 200g. Tu, in qualità di controllore di qualità, sospetti che il macchinario sia sregolato e che il peso medio sia diverso da quello dichiarato. Descrivi come formalizzeresti questo problema in un test di ipotesi, specificando l’ipotesi nulla ([math]H_0[/math]) e l’ipotesi alternativa ([math]H_1[/math]).

Risoluzione:

Identificazione del Parametro di Interesse:

Il parametro che vogliamo testare è la media della popolazione ([math]\mu[/math]), ovvero il vero peso medio di tutte le buste di biscotti prodotte dal macchinario.

Formulazione dell’Ipotesi Nulla ([math]H_0[/math]):

L’ipotesi nulla rappresenta sempre lo “status quo” o l’affermazione che si presume vera fino a prova contraria.

[math]H_0: \mu = 200\text{g}[/math]

(Il peso medio è esattamente 200g).

Formulazione dell’Ipotesi Alternativa ([math]H_1[/math]):

Il nostro sospetto è che il peso medio sia diverso da 200g (non sappiamo se maggiore o minore). Questo definisce un test bidirezionale (o a due code).

[math]H_1: \mu \neq 200\text{g}[/math]

(Il peso medio è diverso da 200g).

💡 Osservazione:
La scelta tra un test a una coda ([math]H_1: \mu > 200\text{g}[/math] o [math]H_1: \mu < 200\text{g}[/math]) e un test a due code ([math]H_1: \mu \neq 200\text{g}[/math]) è cruciale e dipende dal contesto del problema. Un test a una coda si usa quando si ha un sospetto specifico sulla direzione della differenza.

Domanda di Riflessione:
Perché in questo caso abbiamo scelto un’ipotesi alternativa “[math]\neq[/math]” invece di “[math]>[/math]” o “[math]<[/math]”?”

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Esercizio 2 (Facile) – Il Punto di Vista del Produttore

Testo:

Riprendendo l’esercizio precedente, immagina ora di essere il produttore. Vuoi assicurarti che il tuo macchinario non stia sotto-riempiendo le buste, un problema che potrebbe portare a multe. Come cambierebbero le ipotesi nulla e alternativa?

Risoluzione Passo-Passo:

Identificazione del Parametro di Interesse:

Il parametro è sempre la media della popolazione ([math]\mu[/math]).

Formulazione dell’Ipotesi Nulla ([math]H_0[/math]):

Lo “status quo” è che il macchinario funzioni correttamente o sovra-riempia. Formalmente, possiamo pensare a [math]H_0[/math] come “non c’è sotto-riempimento”.

[math]H_0: \mu \geq 200\text{g}[/math]

(Il peso medio è almeno 200g).

Formulazione dell’Ipotesi Alternativa ([math]H_1[/math]):

Il produttore teme specificamente il sotto-riempimento. Questa è l’ipotesi che vuole verificare.

[math]H_1: \mu < 200\text{g}[/math]

(Il peso medio è inferiore a 200g).

💡 Osservazione:
L’ipotesi alternativa ([math]H_1[/math]) contiene sempre l’ipotesi che vogliamo dimostrare o verificare. In questo caso, il produttore sta cercando attivamente evidenza a supporto di [math]H_1[/math].

Domanda di Riflessione:
Quale proprietà del test (livello di significatività [math]\alpha[/math], potenza) è più importante per il produttore in questo scenario e perché?

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Esercizio 3 (Facile/Medio) – Calcolo e Interpretazione del P-value

Testo:

Stai conducendo un test d’ipotesi bilaterale sulla media di una popolazione, con [math]H_0: \mu = 50[/math] e [math]H_1: \mu \neq 50[/math]. Da un campione, ottieni una statistica test [math]Z[/math] (distribuita normalmente) pari a 2.1.

a) Trova il p-value approssimato per questo test.

b) Interpreta il p-value alla luce di un livello di significatività [math]\alpha = 0.05[/math]. Cosa concludi?

Risoluzione:

Richiamo Teorico:

Il p-value è la probabilità, supponendo [math]H_0[/math] vera, di osservare un valore della statistica test altrettanto o più estremo di quello effettivamente osservato.

Calcolo del P-value (Test a Due Code):

Poiché il test è bilaterale ([math]H_1: \mu \neq 50[/math]), “più estremo” significa valori di [math]Z[/math] maggiori di [math]|2.1|[/math] o minori di [math]-|2.1|[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(Z > 2.1) &= 1 – P(Z < 2.1) \\
&{} \quad \text{(Dalle tavole, } P(Z < 2.1) \approx 0.9821) \\ P(Z > 2.1) &= 1 – 0.9821 = 0.0179 \\
\text{p-value} &\approx 2 \times 0.0179 = \mathbf{0.0358}
\end{aligned}[/math]

Decisione e Interpretazione:

Confrontiamo il p-value con [math]\alpha = 0.05[/math].

Regola decisionale: Se [math]\text{p-value} \leq \alpha[/math], si rifiuta [math]H_0[/math].

[math]0.0358 < 0.05[/math].

Conclusione: Rifiutiamo l’ipotesi nulla [math]H_0[/math]. Abbiamo evidenza statistica sufficiente, a un livello di significatività del [math]5\%[/math], per affermare che la media della popolazione è diversa da 50.

💡 Osservazione:
Un p-value basso (minore di [math]\alpha[/math]) è una “prova contro [math]H_0[/math]”. Indica che, se [math]H_0[/math] fosse vera, l’evento che abbiamo osservato nel campione sarebbe molto improbabile.

Domanda di Riflessione:
Se avessimo usato [math]\alpha = 0.01[/math], la nostra conclusione sarebbe cambiata?

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Esercizio 4 (Medio) – Test Z su una Media (Varianza Nota)

Testo:

Un’azienda produce cavi con una resistenza media alla trazione di 3000 kg e una deviazione standard nota [math]\sigma = 85\text{ kg}[/math]. Dopo un cambio di fornitore della materia prima, si estrae un campione di 50 cavi, ottenendo una resistenza media campionaria di 2970 kg. Verifica, con un livello di significatività [math]\alpha = 0.05[/math], se il cambio di fornitore ha ridotto la resistenza media.

Risoluzione:

Impostazione delle Ipotesi:

Sospettiamo una riduzione, quindi è un test a coda sinistra.

[math]H_0: \mu \geq 3000\text{ kg}[/math]
[math]H_1: \mu < 3000\text{ kg}[/math]

Scelta della Statistica Test:

La deviazione standard della popolazione ([math]\sigma[/math]) è nota e la dimensione campionaria ([math]n=50[/math]) è grande. Usiamo il test Z per una media.

[math]Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}[/math]

Calcolo della Statistica Test:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Z &= \frac{2970 – 3000}{85/\sqrt{50}} \\
&= \frac{-30}{85/7.071} \\
&\approx \frac{-30}{12.02} \approx \mathbf{-2.50}
\end{aligned}[/math]

Regione di Rifiuto:

Per un test a coda sinistra con [math]\alpha=0.05[/math], il valore critico ([math]-z_c[/math]) è -1.645.

La nostra statistica test [math]Z = -2.50[/math] cade nella regione di rifiuto (poiché [math]-2.50 < -1.645[/math]).

Conclusione:

Rifiutiamo [math]H_0[/math]. Al livello di significatività del [math]5\%[/math], esiste evidenza statistica sufficiente per concludere che il cambio di fornitore ha portato a una riduzione della resistenza media dei cavi.

Domanda di Riflessione:
Quali sono le due condizioni principali che ci hanno permesso di utilizzare il test Z in questo caso?

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Esercizio 5 (Medio) – Test t su una Media (Varianza Incognita)

Testo:

Un personal trainer sostiene che il suo nuovo programma aumenta il numero di flessioni che i suoi clienti riescono a fare. I dati (numero di flessioni) per un campione di 8 clienti, prima e dopo il programma, sono riportati di seguito. Verifica l’efficacia del programma a un livello [math]\alpha = 0.05[/math].

• Clienti: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
• Prima: 18, 22, 25, 27, 20, 30, 24, 19
• Dopo: 21, 24, 30, 29, 24, 32, 28, 23

Risoluzione:

Impostazione del Problema:

Questo è un problema per campioni appaiati. Calcoliamo la differenza ([math]D = \text{Dopo} – \text{Prima}[/math]).

Differenze ([math]D[/math]): [3, 2, 5, 2, 4, 2, 4, 4]

Testiamo se la media delle differenze ([math]\mu_D[/math]) è maggiore di zero.

[math]H_0: \mu_D \leq 0 \quad \text{(Il programma non ha effetto)}[/math]
[math]H_1: \mu_D > 0 \quad \text{(Il programma ha un effetto positivo)}[/math]

Scelta della Statistica Test:

La deviazione standard della popolazione delle differenze è sconosciuta e [math]n<30[/math]. Usiamo un test t di Student per un campione sulle differenze, con [math]n-1[/math] gradi di libertà ([math]gdl[/math]).

[math]t=\frac{\bar{d}-\mu_0}{s_d/\sqrt{n}}[/math]

Calcoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Media campionaria } \bar{d} &= \frac{3+2+5+2+4+2+4+4}{8} = \frac{26}{8} = \mathbf{3.25} \\
\text{Deviazione standard } s_d &\approx 1.165 \\
\text{Statistica test } t &= \frac{3.25 – 0}{1.165/\sqrt{8}} \\
&= \frac{3.25}{0.412} \approx \mathbf{7.89}
\end{aligned}[/math]

Gradi di libertà: [math]gdl = n – 1 = 7[/math].

Decisione (Valore Critico):

Per un test a coda destra con [math]\alpha=0.05[/math] e [math]gdl=7[/math], il valore critico [math]t_c[/math] è circa 1.895.

La nostra statistica test [math]t = 7.89[/math] è molto maggiore di [math]1.895[/math], quindi cade nella regione di rifiuto.

Conclusione:

Rifiutiamo [math]H_0[/math]. Al livello di significatività del [math]5\%[/math], esiste evidenza statistica sufficiente per concludere che il programma del personal trainer ha aumentato in modo significativo il numero di flessioni.

Domanda di Riflessione:
Perché in questo caso abbiamo usato il test t invece del test Z?

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Esercizio 6 (Medio/Difficile) – Test per una Proporzione

Testo:

Un sondaggio politico nazionale indica che un candidato ha il [math]45\%[/math] dei consensi. Un giornalista sospetta che questo supporto sia diverso in una specifica regione. Intervista 200 elettori di quella regione e trova che 98 di loro supporterebbero il candidato. Condurre un test di ipotesi a un livello [math]\alpha = 0.10[/math] per verificare il sospetto del giornalista.

Risoluzione:

Impostazione delle Ipotesi:

Il parametro è la proporzione della popolazione ([math]p[/math]) nella regione.

[math]H_0: p = 0.45 \quad \text{(La proporzione è uguale a quella nazionale)}[/math]
[math]H_1: p \neq 0.45 \quad \text{(La proporzione è diversa; test bilaterale)}[/math]

Scelta della Statistica Test:

Usiamo il test Z per una proporzione.

[math]Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}[/math]

Calcoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Proporzione campionaria } \hat{p} &= 98/200 = 0.49 \\
\text{Errore standard } SE &= \sqrt{\frac{0.45 \times 0.55}{200}} \\
&= \sqrt{0.0012375} \approx 0.03518 \\
\text{Statistica test } Z &= \frac{0.49 – 0.45}{0.03518} \\
&\approx \frac{0.04}{0.03518} \approx \mathbf{1.14}
\end{aligned}[/math]

Decisione (P-value):

Per un test bilaterale, [math]\text{p-value} = 2 \times P(Z > |1.14|)[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(Z > 1.14) &\approx 1 – 0.8729 = 0.1271 \\
\text{p-value} &\approx 2 \times 0.1271 = \mathbf{0.2542}
\end{aligned}[/math]

Confronto con [math]\alpha=0.10[/math]: [math]0.2542 > 0.10[/math].

Conclusione:

Non riusciamo a rifiutare [math]H_0[/math]. Al livello di significatività del [math]10\%[/math], non c’è evidenza statistica sufficiente per affermare che il supporto per il candidato nella regione sia diverso da quello nazionale.

Domanda di Riflessione:
Perché nell’errore standard della proporzione usiamo [math]p_0[/math] e non [math]\hat{p}[/math]?

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Esercizio 7 (Difficile) – Errori di I e II Tipo e Potenza del Test

Testo:

Torniamo all’Esercizio 4 sul produttore di cavi. Il macchinario necessita di una revisione costosa se la resistenza media scende sotto i 2980 kg.

a) Definisci, nel contesto di questo problema, l’Errore di I Tipo e l’Errore di II Tipo.

b) Supponiamo che la vera resistenza media dopo il cambio fornitore sia di 2970 kg (con [math]\sigma=85\text{ kg}[/math]). Calcola la potenza del test con [math]\alpha=0.05[/math] e [math]n=50[/math].

Risoluzione:

Definizione degli Errori:

• Errore di I Tipo ([math]\alpha[/math]): Rifiutare [math]H_0[/math] quando [math]H_0[/math] è vera.
  Contesto: Concludere che la resistenza è diminuita ([math]\mu < 3000[/math]) quando in realtà non lo è. Conseguenza: Fare una revisione costosa non necessaria.
• Errore di II Tipo ([math]\beta[/math]): Non rifiutare [math]H_0[/math] quando [math]H_0[/math] è falsa (e [math]H_1[/math] è vera).
  Contesto: Concludere che la resistenza è accettabile ([math]\mu \geq 3000[/math]) quando in realtà è scesa (es. a [math]2970\text{ kg}[/math]). Conseguenza: Non fare la revisione, rischiando di produrre cavi difettosi.

Calcolo della Potenza del Test:

La potenza è la probabilità di rifiutare correttamente [math]H_0[/math] quando [math]H_1[/math] è vera ([math]1 – \beta[/math]). [math]H_1[/math] è vera, e stabiliamo che il vero [math]\mu = 2970[/math].

Passo 1: Trova il valore critico in termini di [math]\bar{x}[/math].

Sotto [math]H_0[/math] ([math]\mu=3000[/math]), la regione di rifiuto per [math]\alpha=0.05[/math] è [math]Z < -1.645[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{x}_c &= \mu_0 + Z_{\text{crit}} \times \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\
\bar{x}_c &= 3000 + (-1.645) \times \left(\frac{85}{\sqrt{50}}\right) \\
\bar{x}_c &\approx 3000 – 1.645 \times 12.02 \\
&\approx 3000 – 19.77 \approx 2980.23
\end{aligned}[/math]

Rifiutiamo [math]H_0[/math] se [math]\bar{x} < 2980.23[/math].

Passo 2: Calcola la probabilità di rifiutare [math]H_0[/math] sotto [math]H_1[/math] vera.

Ora, se la vera media è [math]\mu_1 = 2970[/math], dobbiamo trovare [math]P(\bar{x} < 2980.23 \mid \mu=2970)[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Z &= \frac{\bar{x}_c – \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}} \\
&= \frac{2980.23 – 2970}{12.02} \approx \frac{10.23}{12.02} \approx 0.85
\end{aligned}[/math]

[math]P(\bar{x} < 2980.23 \mid \mu=2970) = P(Z < 0.85)[/math].

Dalle tavole, [math]P(Z < 0.85) \approx 0.8023[/math].

Conclusione:

La potenza del test è circa [math]0.8023[/math] o [math]80.23\%[/math]. C’è un [math]80\%[/math] di probabilità di rilevare correttamente che la resistenza media è scesa a [math]2970\text{ kg}[/math].

Domanda di Riflessione:
Come aumenteresti la potenza di questo test?

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Esercizio 8 (Difficile) – Confronto tra Due Medie (Test t per Campioni Indipendenti)

Testo:

Un insegnante vuole valutare l’efficacia di due metodi di insegnamento (A e B). Assegna casualmente 12 studenti al metodo A e 15 al metodo B. Alla fine del corso, i punteggi medi sono [math]\bar{x}_A=78[/math] e [math]\bar{x}_B=82[/math]. Le deviazioni standard campionarie sono [math]s_A = 5[/math] e [math]s_B = 6[/math].

Assumendo popolazioni normali con varianze diverse, verifica l’ipotesi che il metodo B produca punteggi medi più alti del metodo A, usando [math]\alpha = 0.05[/math].

Risoluzione:

Impostazione delle Ipotesi:

Siano [math]\mu_A[/math] e [math]\mu_B[/math] le medie delle popolazioni per i due metodi.

[math]H_0: \mu_B \leq \mu_A \quad \text{o} \quad H_0: \mu_B – \mu_A \leq 0[/math]
[math]H_1: \mu_B > \mu_A \quad \text{o} \quad H_1: \mu_B – \mu_A > 0[/math]

Scelta della Statistica Test:

Campioni indipendenti, varianze non note e assunte diverse. Usiamo il test t per campioni indipendenti con varianze non poolizzate (test t di Welch).

[math]t=\frac{\bar{x}_B – \bar{x}_A}{\sqrt{\frac{s_B^2}{n_B} + \frac{s_A^2}{n_A}}}[/math]

I gradi di libertà ([math]gdl[/math]) sono approssimati dalla formula di Welch-Satterthwaite.

Calcoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Differenza delle medie: } \bar{x}_B – \bar{x}_A &= 82 – 78 = 4 \\
\text{Errore standard: } SE &= \sqrt{\frac{6^2}{15} + \frac{5^2}{12}} \\
&= \sqrt{\frac{36}{15} + \frac{25}{12}} \\
&= \sqrt{2.4 + 2.083} = \sqrt{4.483} \approx 2.117 \\
\text{Statistica test } t &= \frac{4}{2.117} \approx \mathbf{1.89}
\end{aligned}[/math]

Gradi di Libertà (approssimati):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
gdl &\approx \frac{\left(\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}\right)^2}{\frac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A – 1} + \frac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B – 1}} \\
&\approx \frac{(4.483)^2}{\frac{(2.083)^2}{11} + \frac{(2.4)^2}{14}} \\
&\approx \frac{20.09}{0.394 + 0.411} \approx \frac{20.09}{0.805} \approx 24.95
\end{aligned}[/math]

Approssimiamo per eccesso a [math]gdl = 25[/math].

Decisione (Valore Critico):

Per un test a coda destra con [math]\alpha=0.05[/math] e [math]gdl=25[/math], il valore critico [math]t_c[/math] è circa 1.708.

La nostra statistica test [math]t = 1.89[/math] è maggiore di [math]1.708[/math], quindi cade nella regione di rifiuto.

Conclusione:

Rifiutiamo [math]H_0[/math]. Al livello di significatività del [math]5\%[/math], esiste evidenza statistica sufficiente per concludere che il metodo B produce punteggi medi più alti del metodo A.

Domanda di Riflessione:
Qual è l’ipotesi semplificante più forte in questo test, e perché l’assegnazione casuale degli studenti è fondamentale per la sua validità?