Esercizi Svolti Deviazione Standard: Guida Pratica con 6 Esempi (Facili e Difficili)

Perché alcuni processi sono affidabili come un orologio svizzero e altri sembrano una lotteria?

La risposta, molto spesso, si nasconde in due parole: deviazione standard.

Questo non è solo un incubo da esame di statistica; è lo strumento che usiamo ogni giorno per misurare l’affidabilità, la coerenza e il rischio. È la differenza tra un bullone che entra perfettamente e uno che blocca un’intera linea di produzione.

In questa guida, non ci limiteremo a imparare una formula. Attraverso 6 esercizi progressivi, presi dal mondo reale (controllo qualità, efficienza energetica e persino progettazione), “toccheremo con mano” come questo numero quantifica la variabilità e ci aiuta a prendere decisioni migliori. Partiamo dal semplice per arrivare al complesso, un passo alla volta.

Esercizio 1 (Facile) – Controllo di Qualità: Dimensione dei Bulloni

Testo:

Un’azienda produce bulloni con una lunghezza nominale di 50 mm. Durante un controllo di qualità, vengono misurati 5 bulloni campione, ottenendo le seguenti lunghezze (in mm):
49.8, 50.1, 50.0, 49.9, 50.2.
Calcola la deviazione standard campionaria di questo piccolo set di dati per valutare la variabilità del processo produttivo.

Risoluzione:

Passo 1: Calcolare la Media Aritmetica ([math]\mu[/math]).
La media è il valore centrale del nostro dataset.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mu &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \\
&= \frac{49.8 + 50.1 + 50.0 + 49.9 + 50.2}{5} \\
&= \frac{250}{5} = 50.0 \text{ mm}
\end{aligned}[/math]

Passo 2: Calcolare gli Scarti dalla Media.
Lo scarto di ogni misura indica quanto si discosta dal valore ideale.

• [math]49.8 – 50.0 = -0.2[/math]
• [math]50.1 – 50.0 = +0.1[/math]
• [math]50.0 – 50.0 = 0.0[/math]
• [math]49.9 – 50.0 = -0.1[/math]
• [math]50.2 – 50.0 = +0.2[/math]

Passo 3: Elevare gli Scarti al Quadrato.
Questa operazione elimina i segni negativi e dà più peso agli scarti grandi.

• [math](-0.2)^2 = 0.04[/math]
• [math](+0.1)^2 = 0.01[/math]
• [math](0.0)^2 = 0.00[/math]
• [math](-0.1)^2 = 0.01[/math]
• [math](+0.2)^2 = 0.04[/math]

Passo 4: Calcolare la Varianza Campionaria ([math]s^2[/math]).
Poiché è un campione (e non l’intera popolazione di bulloni), usiamo [math]n-1[/math] al denominatore per una stima corretta (correzione di Bessel).

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2 &= \frac{\sum(x_i – \mu)^2}{n-1} \\
&= \frac{0.04 + 0.01 + 0.00 + 0.01 + 0.04}{5 – 1} \\
&= \frac{0.10}{4} = 0.025 \text{ mm}^2
\end{aligned}[/math]

Passo 5: Calcolare la Deviazione Standard Campionaria ([math]s[/math]).
È la radice quadrata della varianza, che riporta l’unità di misura a quella originale (mm).

[math]s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.025} \approx 0.158 \text{ mm}[/math]

Conclusione: La deviazione standard è di circa [math]0.16 \text{ mm}[/math]. Questo valore, piccolo rispetto alla lunghezza nominale, indica un processo produttivo molto preciso per questo piccolo campione.

Domanda di Riflessione: Perché nel calcolo della varianza campionaria abbiamo diviso per [math]n-1[/math] invece che per [math]n[/math]?

Risposta: Per ottenere una stima non distorta della varianza della popolazione. Usando [math]n[/math] si sottostimerebbe sistematicamente la variabilità reale.

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Esercizio 2 (Facile/Medio) – Tempi di Assemblaggio

Testo:

In una linea di assemblaggio, vengono cronometrati i tempi (in secondi) impiegati da un operatore per completare un task ripetitivo. I dati raccolti in 6 cicli sono: 45, 47, 44, 48, 46, 44.
Calcola la deviazione standard campionaria. Se l’azienda considera accettabile una deviazione standard non superiore a 1.5 secondi, questo operatore rispetta lo standard?

Risoluzione:

Passo 1: Media.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mu &= \frac{45 + 47 + 44 + 48 + 46 + 44}{6} \\
&= \frac{274}{6} \approx 45.67 \text{ s}
\end{aligned}[/math]

Passo 2 e 3: Scarti al Quadrato.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(45 – 45.67)^2 &= (-0.67)^2 \approx 0.45 \\
(47 – 45.67)^2 &= (1.33)^2 \approx 1.78 \\
(44 – 45.67)^2 &= (-1.67)^2 \approx 2.79 \\
(48 – 45.67)^2 &= (2.33)^2 \approx 5.43 \\
(46 – 45.67)^2 &= (0.33)^2 \approx 0.11 \\
(44 – 45.67)^2 &= (-1.67)^2 \approx 2.79
\end{aligned}[/math]

Somma: [math]0.45 + 1.78 + 2.79 + 5.43 + 0.11 + 2.79 \approx 13.35[/math]

Passo 4: Varianza Campionaria.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2 &= \frac{13.35}{6 – 1} = \frac{13.35}{5} \\
&= 2.67 \text{ s}^2
\end{aligned}[/math]

Passo 5: Deviazione Standard Campionaria.

[math]s = \sqrt{2.67} \approx 1.63 \text{ s}[/math]

Conclusione: La deviazione standard è di circa [math]1.63 \text{ s}[/math], leggermente superiore al limite aziendale di [math]1.5 \text{ s}[/math]. Ciò suggerisce che la variabilità delle prestazioni dell’operatore è borderline e potrebbe essere necessario un affiancamento o un ripasso delle procedure.

Domanda di Riflessione: Se avessimo calcolato la deviazione standard POPOLAZIONE (dividendo per [math]N=6[/math]), il risultato sarebbe stato maggiore o minore di quello trovato? Perché?

Risposta: Sarebbe stato minore. Dividendo per [math]N=6[/math] (varianza [math]\approx 2.225[/math]) invece che per [math]N-1=5[/math] ([math]2.67[/math]), il denominatore più grande riduce il valore finale della varianza.

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Esercizio 5 (Difficile) – Varianza di un Processo con Dati Raggruppati

Testo:

In un reparto di confezionamento, il peso delle scatole viene controllato campionando 50 pezzi. I dati, per questioni di spazio, sono stati raggruppati in una tabella di frequenza. Stima la deviazione standard campionaria del peso.

Tabella Dati:

Peso (kg)	Frequenza (f)
1.95 – 1.99	5
2.00 – 2.04	12
2.05 – 2.09	20
2.10 – 2.14	10
2.15 – 2.19	3

Risoluzione:

Teoria: Con i dati raggruppati, non conosciamo i valori esatti, quindi usiamo il valore centrale di ogni classe come rappresentativo ([math]x[/math]).

Passo 1: Costruire la Tabella di Lavoro.

Classe Peso	Valore Centrale (x)	Frequenza (f)	[math]f \cdot x[/math]	[math]f \cdot x^2[/math]
1.95-1.99	1.97	5	9.85	19.4045
2.00-2.04	2.02	12	24.24	48.9648
2.05-2.09	2.07	20	41.40	85.6980
2.10-2.14	2.12	10	21.20	44.9440
2.15-2.19	2.17	3	6.51	14.1267
Totali		[math]n=50[/math]	[math]\Sigma f \cdot x = 103.2[/math]	[math]\Sigma f \cdot x^2 = 213.138[/math]

Passo 2: Calcolare la Media.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mu &= \frac{\sum (f \cdot x)}{n} \\
&= \frac{103.2}{50} = 2.064 \text{ kg}
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Calcolare la Varianza Campionaria.
Usiamo la formula per dati raggruppati: [math]s^2 = \frac{\sum(f \cdot x^2) – n\mu^2}{n-1}[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s^2 &= \frac{213.138 – 50 \cdot (2.064)^2}{50 – 1} \\
&= \frac{213.138 – 50 \cdot 4.260}{49} \\
&= \frac{213.138 – 213.0}{49} \\
&= \frac{0.138}{49} \approx 0.002816
\end{aligned}[/math]

Passo 4: Calcolare la Deviazione Standard.

[math]s = \sqrt{0.002816} \approx 0.0531 \text{ kg}[/math]

Conclusione: La deviazione standard stimata del peso delle scatole è di circa [math]0.053 \text{ kg}[/math] (o 53 grammi).

💡 Osservazione Strategica:
Quando si lavora con dati raggruppati, si introduce una piccola approssimazione perché si assume che tutti i valori di una classe siano concentrati nel suo punto centrale. Tuttavia, per distribuzioni simmetriche e con un numero ragionevole di classi, questa stima è molto affidabile.

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Esercizio 6 (Molto Difficile) – Propagazione dell’Incertezza

Testo:

Un componente elettronico è formato dall’assemblaggio di due resistori, [math]R_1[/math] e [math]R_2[/math], collegati in serie. La resistenza totale è [math]R_T = R_1 + R_2[/math]. I resistori provengono da un processo produttivo i cui lotti hanno le seguenti caratteristiche:

• [math]R_1[/math]: Media = [math]100 \ \Omega[/math], Deviazione Standard = [math]4 \ \Omega[/math].
• [math]R_2[/math]: Media = [math]220 \ \Omega[/math], Deviazione Standard = [math]5 \ \Omega[/math].

Assumendo che le due resistenze siano variabili casuali indipendenti, qual è la deviazione standard attesa per la resistenza totale [math]R_T[/math]?

Risoluzione:

Teoria: La propagazione dell’incertezza (o della varianza) ci dice come combinare le deviazioni standard di variabili indipendenti. Per una somma [math]Z = X + Y[/math], la varianza di Z è la somma delle varianze di X e Y: [math]\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2[/math]. Questa è una proprietà fondamentale della varianza.

Passo 1: Identificare le Varianze.

• Varianza di [math]R_1[/math]: [math]\sigma_{R_1}^2 = (4)^2 = 16 \ \Omega^2[/math]
• Varianza di [math]R_2[/math]: [math]\sigma_{R_2}^2 = (5)^2 = 25 \ \Omega^2[/math]

Passo 2: Applicare la Proprietà di Somma per Varianze Indipendenti.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_{R_T}^2 &= \sigma_{R_1}^2 + \sigma_{R_2}^2 \\
&= 16 + 25 = 41 \ \Omega^2
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Trovare la Deviazione Standard di [math]R_T[/math].

[math]\sigma_{R_T} = \sqrt{\sigma_{R_T}^2} = \sqrt{41} \approx 6.40 \ \Omega[/math]

Conclusione: La deviazione standard attesa per la resistenza totale [math]R_T[/math] è di circa [math]6.40 \ \Omega[/math].

Domanda di Riflessione: Perché in questo caso abbiamo sommato le varianze e non le deviazioni standard?

Risposta: Per una proprietà matematica fondamentale della varianza. La deviazione standard di una somma di variabili indipendenti non è la somma delle deviazioni standard. La varianza, invece, è additiva in questo caso. Quindi, si lavora sempre con le varianze per i calcoli e poi si estrae la radice quadrata solo alla fine per tornare alla deviazione standard. Se provassimo a sommare le deviazioni standard: [math]4 + 5 = 9 \ \Omega[/math], che è un valore sovrastimato e incorretto.