Oltre la Media, il Cuore dell’Incertezza
Immagina di dover scegliere tra due giochi, due investimenti o due strategie.
Entrambe, in media, promettono lo stesso risultato. La prima opzione offre risultati costanti e prevedibili.
La seconda, invece, alterna picchi esaltanti a cadute rovinose.
Quale scegli?
La maggior parte delle persone si concentra sul “guadagno medio” (il valore atteso), ma la vera saggezza sta nel capire la “turbolenza” attorno a quella media. È qui che entra in gioco un concetto fondamentale, spesso sottovalutato: la varianza. La varianza non ci dice cosa aspettarci, ma quanto violente possono essere le sorprese.
Questo articolo non è solo una lista di formule. È un viaggio attraverso 10 esempi pratici che ti insegneranno a “sentire” la varianza, a calcolarla e a capire cosa significa realmente in contesti che vanno dal gioco d’azzardo alle decisioni finanziarie.
🧮 Problema
Testo del problema
Considerate due lotterie. Il risultato di ciascuna è uno tra: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Nella prima lotteria, ogni esito ha la stessa probabilità.
Nella seconda lotteria, la probabilità che esca 3 è 0,40, la probabilità che esca 4 è 0,40 e ciascuno degli altri esiti ha probabilità 0,05.
Quale delle due lotterie ha la varianza più alta?
Soluzione
🎲 Lotteria 1 – Distribuzione uniforme
Esiti: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilità: tutte uguali [math]\displaystyle \to P(x) = \frac{1}{6}[/math]
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= \sum P(x) \cdot (x – \mu)^2 \\
&= \frac{1}{6}[6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25] \\
&= \frac{17.5}{6} \approx 2.9167
\end{aligned}
[/math]
🎯 Lotteria 2 – Distribuzione non uniforme
Probabilità:
- [math]\displaystyle P(3) = 0.40[/math]
- [math]\displaystyle P(4) = 0.40[/math]
- [math]\displaystyle P(1) = P(2) = P(5) = P(6) = 0.05[/math]
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 1(0.05) + 2(0.05) + 3(0.40) + 4(0.40) + 5(0.05) + 6(0.05) = 3.5
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.05(1 – 3.5)^2 + 0.05(2 – 3.5)^2 + 0.40(3 – 3.5)^2 \\
&+ 0.40(4 – 3.5)^2 + 0.05(5 – 3.5)^2 + 0.05(6 – 3.5)^2 \\
&= 0.05(6.25) + 0.05(2.25) + 0.40(0.25) + 0.40(0.25) \\
&+ 0.05(2.25) + 0.05(6.25) \\
&= 0.3125 + 0.1125 + 0.10 + 0.10 + 0.1125 + 0.3125 = 1.05
\end{aligned}
[/math]
Conclusione:
La lotteria 1 ha la varianza più alta ([math]\displaystyle \approx 2.92[/math] contro [math]\displaystyle 1.05[/math]), perché i valori sono più dispersi rispetto alla media.
Questo è l’esempio perfetto per illustrare il concetto di rischio. Entrambe le lotterie hanno un valore atteso di 3.5. Un analista superficiale potrebbe considerarle equivalenti. Tuttavia, la Lotteria 2 è molto più “stabile”: l’80% delle volte il risultato sarà 3 o 4, vicinissimo alla media. La Lotteria 1, invece, ha una probabilità significativa di produrre risultati estremi (1 o 6).
Applicazione: Un investitore conservatore preferirebbe un portafoglio simile alla Lotteria 2 (bassa varianza, rendimenti prevedibili). Un trader speculativo potrebbe essere attratto dalla Lotteria 1 (alta varianza, potenziale per grandi guadagni o perdite).
🎓 Altri Esercizi simili con soluzione
Esercizio 1
Testo del problema
Una variabile casuale assume i valori 2, 4 e 6 con probabilità rispettive 0.2, 0.5 e 0.3.
Calcola media e varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 2(0.2) + 4(0.5) + 6(0.3) = 0.4 + 2 + 1.8 = 4.2
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.2(2 – 4.2)^2 + 0.5(4 – 4.2)^2 + 0.3(6 – 4.2)^2 \\
&= 0.2(4.84) + 0.5(0.04) + 0.3(3.24) \\
&= 0.968 + 0.02 + 0.972 = 1.96
\end{aligned}
[/math]
Esercizio 2
Testo del problema
Una variabile casuale può assumere i valori 1, 2 e 3 con probabilità rispettive 0.3, 0.4 e 0.3.
Calcola media e varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.3) = 0.3 + 0.8 + 0.9 = 2
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.3(1 – 2)^2 + 0.4(2 – 2)^2 + 0.3(3 – 2)^2 \\
&= 0.3(1) + 0 + 0.3(1) = 0.6
\end{aligned}
[/math]
Perché è interessante?
La sua peculiarità è la simmetria perfetta. La distribuzione è centrata attorno al valore 2, e i pesi alle estremità sono identici. Questo fa sì che la media coincida esattamente con il centro di simmetria. È un caso “da manuale” che aiuta a visualizzare come la media rappresenti il baricentro di una distribuzione. Applicazione: Modelli di sondaggi d’opinione dove le posizioni “moderata”, “leggermente a favore” e “leggermente contro” sono distribuite simmetricamente.
Esercizio 3
Testo del problema
Due dadi:
- Dado A: equo (numeri da 1 a 6 con stessa probabilità)
- Dado B: [math]\displaystyle P(1)=0.1[/math], [math]\displaystyle P(6)=0.4[/math], [math]\displaystyle P(2,3,4,5)=0.125[/math]
Quale ha varianza maggiore?
Soluzione
Dado A: media [math]\displaystyle = 3.5[/math], varianza [math]\displaystyle \approx 2.92[/math]
Dado B:
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\mu &= 1(0.1) + 6(0.4) + \sum_{x=2}^{5} x(0.125) \\
&= 0.1 + 2.4 + (2+3+4+5)(0.125) \\
&= 0.1 + 2.4 + 14(0.125) \\
&= 0.1 + 2.4 + 1.75 = 4.25
\end{aligned}
[/math]
La varianza si calcola come somma di [math]\displaystyle (x – \mu)^2 \cdot P(x)[/math] per ogni esito.
Dopo i calcoli [math]\displaystyle \to \text{Var} \approx 3.04[/math]
➡️ Risultato: Dado B ha varianza maggiore
Questo esercizio dimostra che la varianza dipende dalla dispersione, non dal valore della media. Il Dado B ha una media più alta (4.25 vs 3.5), ma ciò non garantisce una varianza minore. Anzi, la sua varianza è maggiore perché assegna un peso enorme (0.4) all’esito estremo 6. È questo “stiramento” verso un estremo che aumenta l’imprevedibilità.
Applicazione: Valutare la performance di due venditori. Il Venditore A vende costantemente un numero medio di prodotti. Il Venditore B ha una media più alta, ma solo grazie a pochi mesi eccezionali, mentre negli altri mesi la sua performance è mediocre. Il Venditore B è più “variabile” e forse meno affidabile.
Esercizio 4
Testo del problema
Una variabile assume solo i valori 0 e 10, con probabilità 0.5 ciascuno.
Calcola media e varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 0(0.5) + 10(0.5) = 5
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.5(0 – 5)^2 + 0.5(10 – 5)^2 \\
&= 0.5(25) + 0.5(25) \\
&= 12.5 + 12.5 = 25
\end{aligned}
[/math]
È l’esempio estremo di una distribuzione bimodale polarizzata. La media è 5, ma la probabilità di ottenere 5 è zero! I risultati sono sempre il più lontano possibile dalla media. Questo genera una varianza enorme (25), la più alta tra tutti gli esercizi.
Applicazione: Scenari “tutto o niente”. L’investimento in una startup che può solo fallire (valore 0) o avere un successo strepitoso (valore 10). Non esiste una via di mezzo. La varianza altissima cattura perfettamente questo rischio binario.
Esercizio 5
Testo del problema
Una variabile può assumere valore 1 con probabilità 0.7 e valore 4 con probabilità 0.3.
Calcola media e varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 1(0.7) + 4(0.3) = 0.7 + 1.2 = 1.9
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.7(1 – 1.9)^2 + 0.3(4 – 1.9)^2 \\
&= 0.7(0.81) + 0.3(4.41) \\
&= 0.567 + 1.323 = 1.89
\end{aligned}
[/math]
—
✏️ Esercizio 6
Testo del problema
Una variabile casuale [math]\displaystyle X[/math] può assumere i valori 1, 3, 5, 7 con probabilità rispettive 0.1, 0.2, 0.4, 0.3.
Calcola la media e la varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 1(0.1) + 3(0.2) + 5(0.4) + 7(0.3) = 0.1 + 0.6 + 2.0 + 2.1 = 4.8
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= \sum P(x)(x – \mu)^2 \\
&= 0.1(1 – 4.8)^2 + 0.2(3 – 4.8)^2 + 0.4(5 – 4.8)^2 + 0.3(7 – 4.8)^2 \\
&= 0.1(14.44) + 0.2(3.24) + 0.4(0.04) + 0.3(4.84) \\
&= 1.444 + 0.648 + 0.016 + 1.452 = 3.56
\end{aligned}
[/math]
—
✏️ Esercizio 7
Testo del problema
Una lotteria assegna i premi 0€, 10€, 50€, 100€, con probabilità rispettive 0.5, 0.3, 0.15, 0.05.
Qual è il premio medio atteso? E la varianza?
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 0(0.5) + 10(0.3) + 50(0.15) + 100(0.05) = 0 + 3 + 7.5 + 5 = 15.5
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.5(0 – 15.5)^2 + 0.3(10 – 15.5)^2 + 0.15(50 – 15.5)^2 + 0.05(100 – 15.5)^2 \\
&= 0.5(240.25) + 0.3(30.25) + 0.15(1190.25) + 0.05(7140.25) \\
&= 120.125 + 9.075 + 178.5375 + 357.0125 = 664.75
\end{aligned}
[/math]
—
✏️ Esercizio 8
Testo del problema
Una variabile casuale [math]\displaystyle X[/math] rappresenta il numero di tentativi fino al primo successo in un gioco e può valere 1, 2, 3 o 4, con probabilità:
- [math]\displaystyle P(1) = 0.4[/math]
- [math]\displaystyle P(2) = 0.3[/math]
- [math]\displaystyle P(3) = 0.2[/math]
- [math]\displaystyle P(4) = 0.1[/math]
Calcola la media e la varianza.
Soluzione
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = 1(0.4) + 2(0.3) + 3(0.2) + 4(0.1) = 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0.4 = 2.0
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\text{Var} &= 0.4(1 – 2)^2 + 0.3(2 – 2)^2 + 0.2(3 – 2)^2 + 0.1(4 – 2)^2 \\
&= 0.4(1) + 0.3(0) + 0.2(1) + 0.1(4) \\
&= 0.4 + 0 + 0.2 + 0.4 = 1.0
\end{aligned}
[/math]
—
🧠 Esercizio 9
Testo del problema
Una variabile casuale [math]\displaystyle X[/math] assume i valori 0, 1, 2, 3, 4. La sua distribuzione di probabilità è data da:
[math]\displaystyle
P(X = x) = \binom{4}{x} \cdot (0.3)^x \cdot (0.7)^{4-x} \quad \text{per } x = 0, 1, 2, 3, 4
[/math]
Questa è una variabile binomiale con [math]\displaystyle n=4[/math] e [math]\displaystyle p=0.3[/math].
Calcola media e varianza.
Soluzione
Essendo una distribuzione binomiale [math]\displaystyle B(n=4, p=0.3)[/math], si usano le formule:
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\mu = n \cdot p = 4 \cdot 0.3 = 1.2
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\text{Var} = n \cdot p \cdot (1 – p) = 4 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.84
[/math]
➡️ Risultato:
- Media = 1.2
- Varianza = 0.84
La sua importanza è metodologica. Invece di calcolare meccanicamente la media e la varianza sommando tutti i termini (un processo lungo e soggetto a errori), riconosciamo una distribuzione nota, la binomiale. Questo ci permette di applicare le formule standard (, ), risparmiando tempo e fatica. Applicazione: Controllo qualità. Se ispeziono 4 prodotti () e ognuno ha una probabilità del 30% () di essere difettoso, posso immediatamente calcolare il numero medio di difetti attesi (1.2) e la sua varianza (0.84) per prevedere la stabilità del processo produttivo.
—
🧠 Esercizio 10
Testo del problema
Una variabile discreta [math]\displaystyle X[/math] assume i valori [math]\displaystyle x=1,2,3,4[/math], con probabilità proporzionali a [math]\displaystyle x^2[/math].
Calcola la media e la varianza.
Soluzione
Calcoliamo le probabilità (sono proporzionali a [math]\displaystyle x^2[/math], quindi prima normalizziamo):
[math]\displaystyle
k = \frac{1}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} = \frac{1}{1 + 4 + 9 + 16} = \frac{1}{30}
[/math]
Quindi le probabilità sono:
- [math]\displaystyle P(1) = \frac{1}{30}[/math]
- [math]\displaystyle P(2) = \frac{4}{30}[/math]
- [math]\displaystyle P(3) = \frac{9}{30}[/math]
- [math]\displaystyle P(4) = \frac{16}{30}[/math]
Media ([math]\displaystyle \mu[/math]):
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\mu &= 1 \cdot \frac{1}{30} + 2 \cdot \frac{4}{30} + 3 \cdot \frac{9}{30} + 4 \cdot \frac{16}{30} \\
&= \frac{1 + 8 + 27 + 64}{30} = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \approx 3.33
\end{aligned}
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\text{Var} = \sum P(x) \cdot (x – \mu)^2
[/math]
Calcoliamo i termini uno per uno:
- [math]\displaystyle P(1)\left(1 – \frac{10}{3}\right)^2 = \frac{1}{30} \cdot \left( \frac{-7}{3} \right)^2 = \frac{1}{30} \cdot \frac{49}{9} = \frac{49}{270}[/math]
- [math]\displaystyle P(2)\left(2 – \frac{10}{3}\right)^2 = \frac{4}{30} \cdot \left( \frac{-4}{3} \right)^2 = \frac{4}{30} \cdot \frac{16}{9} = \frac{64}{270}[/math]
- [math]\displaystyle P(3)\left(3 – \frac{10}{3}\right)^2 = \frac{9}{30} \cdot \left( \frac{-1}{3} \right)^2 = \frac{9}{30} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{30}[/math]
- [math]\displaystyle P(4)\left(4 – \frac{10}{3}\right)^2 = \frac{16}{30} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{16}{30} \cdot \frac{4}{9} = \frac{64}{270}[/math]
Somma totale:
[math]\displaystyle
\text{Var} = \frac{49 + 64 + 9 + 64}{270} = \frac{186}{270} = \frac{31}{45} \approx 0.689
[/math]
➡️ Risultato finale:
- Media: [math]\displaystyle \mu = \frac{10}{3}[/math]
- Varianza: [math]\displaystyle \frac{31}{45}[/math]
Questo esercizio introduce un passaggio intermedio cruciale: la derivazione delle probabilità. Non ci vengono fornite direttamente, ma dobbiamo calcolarle partendo da una regola (proporzionalità a ) e dal principio che la loro somma deve fare 1 (normalizzazione).
Applicazione: Modelli fisici o sociali dove la probabilità di un evento non è uniforme ma segue una legge. Ad esempio, in un sistema sociale, la probabilità di interagire con qualcuno potrebbe essere proporzionale al quadrato della sua “influenza” o “centralità” nella rete.
Conclusione: Vedere Oltre i Numeri
Calcolare la varianza è un’abilità tecnica. Capire cosa rappresenta è una forma di saggezza. Come dimostrano gli esercizi, due scenari con la stessa media possono nascondere storie di rischio e stabilità completamente diverse. La prossima volta che analizzerai dei dati, non fermarti al valore medio. Chiediti sempre: “Quanto sono dispersi i dati attorno a questo centro?”. La risposta a quella domanda, misurata dalla varianza, potrebbe essere l’informazione più preziosa di tutte.
