Immagina di dover descrivere un amico che non hai mai visto a qualcuno. Ti limiti a dire “è alto 175 cm”?

Probabilmente no. È una stima troppo precisa per essere quasi certamente sbagliata.

È molto più utile dire “è alto tra i 170 e i 180 cm”. Dando un intervallo, hai sacrificato un po’ di precisione per guadagnare molta affidabilità.

La statistica inferenziale funziona allo stesso modo. Quando analizziamo un piccolo campione (30 studenti, 100 bulloni), non possiamo illuderci di trovare esattamente il valore medio di tutta la popolazione. La “stima puntuale” (es. “media = 7,2 ore di sonno”) è quasi sicuramente sbagliata.

È qui che entra in gioco la stima intervallare. Invece di un numero solo, definiamo un “recinto” (un intervallo, appunto) e un livello di fiducia (es. 95%) che quel recinto contenga il valore vero. Non è una scommessa, ma una misura onesta della nostra incertezza. In questa guida vediamo come costruire questi intervalli, quando usare la misteriosa ‘t di Student’ e quali errori evitare per non sbagliare all’esame.

Altro esempio:

Immagina di voler misurare qualcosa (es. l’altezza media degli studenti della tua classe), ma non puoi chiedere a tutti. Prendi un campione piccolo (es. 30 persone) e da lì stimi il valore vero per tutta la popolazione.

La stima puntuale dice: “Penso che la media sia 170 cm”. Ma è precisa al 100%? No!

La stima intervallare invece dice:

“Sono abbastanza sicuro (es. al 95%) che la media vera sia tra 168 e 172 cm.”

Questo è l’intervallo di confidenza.

1. Livello di Confidenza (es. 95%)

Significa:

• Se ripeto l’esperimento 100 volte con campioni diversi, in 95 casi su 100 l’intervallo conterrà il valore vero.

❌ Non significa: “C’è il 95% di probabilità che il valore vero sia nell’intervallo” (è un errore comune!).

L’intervallo o contiene il valore vero o non lo contiene. Il 95% è la fiducia nel metodo, non nella singola stima.

2. Intervallo di Confidenza per la Media (σ nota o ignota)

Caso 1: Varianza della popolazione nota (σ) – Usa la Z

Formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC}_{95\%} = \bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{aligned}[/math]

Dove:

• [math]\bar{x}[/math] = media del campione
• [math]\sigma[/math] = deviazione standard della popolazione (nota!)
• [math]n[/math] = dimensione del campione
• [math]1{,}96[/math] viene dalla tabella Z per 95%

Esempio pratico (Bulloni):

Una fabbrica produce bulloni. Sappiamo che la lunghezza ha [math]\sigma = 0{,}5 \text{ cm}[/math] (dalla storia). Prendiamo [math]n = 100[/math] bulloni → media [math]\bar{x} = 10{,}2 \text{ cm}[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC}_{95\%} &= 10{,}2 \pm 1{,}96 \cdot \frac{0{,}5}{\sqrt{100}} \\
&= 10{,}2 \pm 1{,}96 \cdot 0{,}05 = 10{,}2 \pm 0{,}098 \\
&\Rightarrow [10{,}102;\ 10{,}298]\ \text{cm}
\end{aligned}[/math]

Interpretazione: Siamo confidenti al 95% che la lunghezza media vera dei bulloni è tra 10,1 e 10,3 cm.

Caso 2: Varianza ignota → Usa la t di Student

Formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC} = \bar{x} \pm t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
\end{aligned}[/math]

Dove:

• [math]s[/math] = deviazione standard del campione
• [math]t^*[/math] = valore dalla tabella t (dipende da [math]n-1[/math] e livello di confidenza)

Esempio pratico (Sonno):

Vuoi stimare il tempo medio di sonno degli studenti del tuo liceo. Campione: [math]n = 25[/math] studenti → [math]\bar{x} = 7{,}2 \text{ ore}[/math], [math]s = 1{,}1 \text{ ore}[/math].

Per 95% e 24 g.dl. → [math]t^* \approx 2{,}06[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC} &= 7{,}2 \pm 2{,}06 \cdot \frac{1{,}1}{\sqrt{25}} \\
&= 7{,}2 \pm 2{,}06 \cdot 0{,}22 = 7{,}2 \pm 0{,}453 \\
&\Rightarrow [6{,}75;\ 7{,}65]\ \text{ore}
\end{aligned}[/math]

Siamo confidenti al 95% che gli studenti dormono in media tra 6,75 e 7,65 ore.

3. Intervallo di Confidenza per la Varianza (solo per dati normali)

Usiamo il chi-quadrato ([math]\chi^2[/math]).

Formula:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\text{alto}}};\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\text{basso}}} \right)
\end{aligned}[/math]

Dove:

• [math]\chi^2_{\text{alto}}[/math] = valore tabella per [math](1 – \alpha/2)[/math]
• [math]\chi^2_{\text{basso}}[/math] = valore per [math]\alpha/2[/math]
• g.dl. = [math]n-1[/math]

Esempio pratico (Mele):

Misuri la variabilità del peso di mele in un frutteto. [math]n = 16[/math] mele → [math]s^2 = 25 \text{ g}^2[/math] (varianza campionaria). Per 95%, g.dl. = 15:

[math]\chi^2_{0{,}975} \approx 27{,}5[/math], [math]\chi^2_{0{,}025} \approx 6{,}3[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC} &= \left( \frac{15 \cdot 25}{27{,}5};\ \frac{15 \cdot 25}{6{,}3} \right) \\
&= (13{,}6;\ 59{,}5)
\end{aligned}[/math]

La varianza vera del peso è, con 95% di confidenza, tra 13,6 e 59,5 g².

Riassunto Tabella

Consigli per Studenti

• Più grande è [math]n[/math] → intervallo più stretto (più preciso!)
• Livello di confidenza più alto (99% vs 95%) → intervallo più largo
• Non dire mai: “il 95% di probabilità che sia dentro” → è il metodo che è affidabile al 95%

Domanda tipo d’esame:

Da un campione di 36 persone, [math]\bar{x}=82[/math], [math]s=15[/math]. Stima la media populazionale al 95%. ([math]t_{35;0{,}025} \approx 2{,}03[/math])

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{IC} &= 82 \pm 2{,}03 \cdot \frac{15}{\sqrt{36}} \\
&= 82 \pm 2{,}03 \cdot 2{,}5 = 82 \pm 5{,}075 \quad \\
&\Rightarrow [76{,}9; 87{,}1]
\end{aligned}[/math]