Statistica inferenziale: 10 quesiti per capire campioni, intervalli, p-value e regressione

Spesso la statistica inferenziale viene studiata come un insieme di formule da ricordare prima di un esame. Il problema emerge quando bisogna usare quelle formule davanti a un caso concreto:

che cosa rappresenta davvero un p-value?

Perché un intervallo di confidenza non è semplicemente un intervallo nel quale cade il 95% dei dati?

E soprattutto, come si passa da un risultato statisticamente significativo a una conclusione che abbia un significato reale?

L’inferenza statistica serve proprio a gestire questo passaggio. Partiamo da un campione, osserviamo una quantità che varia da un campione all’altro e utilizziamo queste informazioni per formulare conclusioni sulla popolazione. Ogni conclusione, però, porta con sé una certa incertezza, che deve essere esplicitata e interpretata.

Questo test di autovalutazione propone 10 quesiti a difficoltà progressiva, dalla distinzione tra popolazione e campione fino ai test sulle differenze tra due medie e alla regressione lineare.

L’obiettivo non è soltanto arrivare alla risposta corretta, ma capire perché quella risposta è corretta e soprattutto quali errori di interpretazione bisogna evitare quando si lavora con dati reali.

Prima di iniziare: una precisazione su z e t

Negli esercizi viene indicato esplicitamente quando si utilizza l’approssimazione normale.

Quando la deviazione standard della popolazione [math]\sigma[/math] è nota, il test o l’intervallo per la media possono essere costruiti utilizzando la distribuzione normale standard.

Quando invece [math]\sigma[/math] è ignota e viene stimata attraverso la deviazione standard campionaria [math]s[/math], il riferimento teorico è la distribuzione [math]t[/math] di Student. All’aumentare della numerosità campionaria, la distribuzione [math]t[/math] diventa sempre più simile alla normale standard, ma non esiste una soglia universale oltre la quale la [math]t[/math] debba essere automaticamente sostituita con [math]z[/math].

Negli esercizi in cui si utilizza un’approssimazione normale, questa scelta viene quindi dichiarata esplicitamente.

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Il test

Per ogni quesito scegli una sola risposta. Cerca di risolvere gli esercizi prima di leggere la sezione delle soluzioni.

Q1 — Popolazione, campione, parametro e statistica

Una catena di farmacie vuole conoscere il tempo medio di attesa al telefono. Un analista registra i tempi di 150 chiamate scelte casualmente durante una settimana.

Quale delle seguenti grandezze è un parametro della popolazione?

• A) La media dei tempi delle 150 chiamate registrate.
• B) La deviazione standard dei tempi delle 150 chiamate.
• C) La media dei tempi di tutte le chiamate possibili dei clienti della catena.
• D) La percentuale di chiamate oltre 3 minuti osservata nel campione.

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Q2 — Errore standard della media

Un servizio di consegna sa che il tempo di consegna ha deviazione standard di popolazione

[math]\displaystyle \sigma=15[/math]

minuti.

Viene estratto un campione casuale di

[math]\displaystyle n=100[/math]

ordini.

Qual è l’errore standard della media campionaria?

• A) [math]1{,}5[/math]
• B) [math]0{,}15[/math]
• C) [math]15[/math]
• D) [math]150[/math]

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Q3 — Teorema Centrale del Limite

Una variabile [math]X[/math] ha una distribuzione molto asimmetrica, con media

[math]\displaystyle \mu=80[/math]

e deviazione standard

[math]\displaystyle \sigma=20.[/math]

Si estrae un campione casuale di

[math]\displaystyle n=64[/math]

osservazioni.

Quale affermazione sulla distribuzione della media campionaria [math]\bar{x}[/math] è corretta?

• A) È necessariamente asimmetrica come la popolazione [math]X[/math].
• B) Ha deviazione standard pari a 20, perché la variabilità della popolazione non cambia.
• C) Non si può dire nulla sulla distribuzione della media senza assumere che [math]X[/math] sia normale.
• D) Per una numerosità di questo ordine, è ragionevole utilizzare un’approssimazione normale, con media 80 ed errore standard 2,5.

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Q4 — Intervallo di confidenza per la media con [math]\sigma[/math] nota

Un gestore telefonico vuole stimare il consumo medio mensile di dati mobili.

Da un campione casuale di

[math]\displaystyle n=36[/math]

utenti risulta una media

[math]\displaystyle \bar{x}=72[/math]

GB.

Si assume che la deviazione standard della popolazione sia nota e pari a

[math]\displaystyle \sigma=12[/math]

GB.

Costruisci l’intervallo di confidenza al 95%, utilizzando

[math]\displaystyle z_{0,975}=1,96.[/math]

• A) [math](70,04;\ 73,96)[/math]
• B) [math](68,08;\ 75,92)[/math]
• C) [math](69,00;\ 75,00)[/math]
• D) [math](60,00;\ 84,00)[/math]

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Q5 — Interpretazione dell’intervallo di confidenza

Un ricercatore calcola un intervallo di confidenza al 95% per il reddito medio mensile di una città:

[math]\displaystyle (1450;\ 1620)\ \text{euro}.[/math]

Quale interpretazione è corretta?

• A) Il 95% dei redditi individuali è compreso tra 1450 e 1620 euro.
• B) C’è una probabilità del 95% che il vero reddito medio sia compreso tra 1450 e 1620 euro.
• C) Se ripetessimo molti campionamenti e costruissimo ogni volta l’intervallo con lo stesso metodo, circa il 95% degli intervalli conterrebbe il vero reddito medio della popolazione.
• D) Il vero reddito medio è sicuramente compreso tra 1450 e 1620 euro.

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Q6 — Test di ipotesi unilaterale per una media

Un’azienda afferma che il tempo medio di gestione di una pratica è 50 minuti.

Un consulente sospetta che il tempo medio sia maggiore.

Le ipotesi sono:

[math]\displaystyle H_0:\mu=50[/math]

[math]\displaystyle H_1:\mu>50.[/math]

Un campione casuale contiene

[math]\displaystyle n=64[/math]

osservazioni. La deviazione standard della popolazione è nota e vale

[math]\displaystyle \sigma=8.[/math]

La media osservata è

[math]\displaystyle \bar{x}=52.[/math]

Qual è la statistica test [math]z[/math] e qual è il p-value unilaterale?

Usa

[math]\displaystyle \alpha=0,05.[/math]

• A) [math]z=1,96[/math], [math]p=0,05[/math], non rifiuto [math]H_0[/math].
• B) [math]z=0,25[/math], [math]p=0,40[/math], non rifiuto [math]H_0[/math].
• C) [math]z=2[/math], [math]p=0,0228[/math], rifiuto [math]H_0[/math].
• D) [math]z=2[/math], [math]p=0,0456[/math], rifiuto [math]H_0[/math].

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Q7 — Che cosa significa davvero un p-value?

Quale delle seguenti definizioni descrive correttamente il p-value?

• A) La probabilità che [math]H_0[/math] sia vera.
• B) La probabilità di rifiutare [math]H_0[/math].
• C) La probabilità che [math]H_1[/math] sia vera.
• D) La probabilità di osservare, assumendo vera [math]H_0[/math], un valore della statistica test almeno altrettanto estremo di quello osservato.

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Q8 — Errori di I e II tipo e potenza

Un test di ipotesi viene condotto con

[math]\displaystyle \alpha=0,05.[/math]

Il test non rifiuta [math]H_0[/math]. In realtà, però, l’effetto studiato esiste davvero.

Che tipo di errore è stato commesso e come si chiama [math]1-\beta[/math]?

• A) Errore di I tipo; livello di significatività.
• B) Errore di II tipo; potenza.
• C) Errore di I tipo; potenza.
• D) Errore di II tipo; p-value.

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Q9 — Differenza tra due medie

Un’azienda confronta due gruppi indipendenti di clienti.

Nuovi clienti

[math]\displaystyle n_1=50,\qquad \bar{x}_1=68,\qquad s_1=10[/math]

Clienti fedeli

[math]\displaystyle n_2=60,\qquad \bar{x}_2=64,\qquad s_2=12.[/math]

Si vuole verificare:

[math]\displaystyle H_0:\mu_1=\mu_2[/math]

contro

[math]\displaystyle H_1:\mu_1>\mu_2.[/math]

Per questo esercizio utilizziamo esplicitamente l’approssimazione normale per campioni sufficientemente grandi.

Calcola la statistica [math]z[/math] e il p-value unilaterale. Usa

[math]\displaystyle \alpha=0,05.[/math]

• A) [math]z=1,91[/math], [math]p\approx0,028[/math], rifiuto [math]H_0[/math].
• B) [math]z=0,40[/math], [math]p\approx0,34[/math], non rifiuto [math]H_0[/math].
• C) [math]z=1,91[/math], [math]p\approx0,056[/math], non rifiuto [math]H_0[/math].
• D) [math]z=2,50[/math], [math]p\approx0,006[/math], rifiuto [math]H_0[/math].

Nota metodologica:

nella pratica, quando le deviazioni standard della popolazione non sono note e vengono stimate dal campione, il confronto tra due medie viene normalmente impostato attraverso un test [math]t[/math], spesso nella versione di Welch. Qui l’approssimazione normale è utilizzata per concentrare l’esercizio sul calcolo dell’errore standard della differenza tra medie.

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Q10 — Test sul coefficiente di regressione lineare

Uno studio analizza la relazione tra spesa pubblicitaria [math]X[/math] e vendite [math]Y[/math].

Da una regressione lineare semplice con

[math]\displaystyle n=32[/math]

osservazioni si ottiene:

[math]\displaystyle \hat{\beta}_1=0,85[/math]

e

[math]\displaystyle SE(\hat{\beta}_1)=0,30.[/math]

I gradi di libertà sono:

[math]\displaystyle df=n-2=30.[/math]

Si vuole testare:

[math]\displaystyle H_0:\beta_1=0[/math]

contro

[math]\displaystyle H_1:\beta_1\neq0.[/math]

Usa

[math]\displaystyle \alpha=0,05.[/math]

Quale conclusione è corretta?

• A) [math]t=2,83[/math], [math]p\approx0,008[/math]; si rifiuta [math]H_0[/math] e c’è evidenza di un’associazione lineare nel modello.
• B) [math]t=0,35[/math], [math]p=0,73[/math]; non si rifiuta [math]H_0[/math].
• C) [math]t=2,83[/math], [math]p\approx0,004[/math]; si rifiuta [math]H_0[/math] nel test bilaterale.
• D) [math]t=0,30[/math], [math]p=0,77[/math]; non si rifiuta [math]H_0[/math].

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Soluzioni commentate

Q1 — Popolazione, campione, parametro e statistica

Risposta corretta: C

La popolazione è l’insieme delle unità sulle quali vogliamo trarre una conclusione. In questo caso possiamo pensare a tutte le chiamate possibili dei clienti della catena nel periodo di interesse.

Il campione è invece costituito dalle 150 chiamate effettivamente osservate.

Un parametro è una quantità che descrive la popolazione, come la media [math]\mu[/math], la varianza [math]\sigma^2[/math] o una proporzione [math]p[/math]. Una statistica è invece una quantità calcolata sui dati campionari, come la media [math]\bar{x}[/math], la deviazione standard [math]s[/math] o la proporzione campionaria [math]\hat{p}[/math].

Quindi:

• la media delle 150 chiamate è una statistica;
• la deviazione standard delle 150 chiamate è una statistica;
• la percentuale di chiamate oltre 3 minuti osservata nel campione è una statistica;
• la media di tutte le chiamate della popolazione è un parametro.

Una regola utile

Quando il testo parla di tutti i clienti, tutte le chiamate, tutta la produzione o l’intera popolazione, siamo nel territorio dei parametri.

Quando invece parla di 150 clienti, 36 osservazioni, un campione casuale o i dati raccolti, stiamo lavorando con statistiche campionarie.

Domanda di riflessione

Perché la media campionaria è una statistica e non un parametro?

Perché viene calcolata sui dati del campione e quindi può cambiare se estraiamo un altro campione dalla stessa popolazione.

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Q2 — Errore standard della media

Risposta corretta: A

L’errore standard della media è:

[math]\displaystyle SE(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.[/math]

Sostituendo i valori:

[math]\displaystyle SE=\frac{15}{\sqrt{100}}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle SE=\frac{15}{10}=1,5.[/math]

La risposta corretta è quindi:

[math]\displaystyle \boxed{SE=1,5}[/math]

L’errore standard misura la variabilità tipica della media campionaria da un campione all’altro. Non rappresenta la dispersione delle singole osservazioni.

Questo punto è importante perché spesso si confondono la deviazione standard e l’errore standard. La deviazione standard descrive la variabilità dei dati individuali, mentre l’errore standard descrive la variabilità della stima ottenuta attraverso la media campionaria.

Grafico

n        SE = 15/√n
25       15/5 = 3
100      15/10 = 1,5
400      15/20 = 0,75

Osservazione

L’errore standard diminuisce all’aumentare della numerosità campionaria, ma non diminuisce in modo lineare.

Se la numerosità quadruplica:

[math]\displaystyle n\rightarrow4n[/math]

allora:

[math]\displaystyle SE_{\text{nuovo}}=\frac{\sigma}{\sqrt{4n}}=\frac{1}{2}\frac{\sigma}{\sqrt n}.[/math]

Quindi l’errore standard si dimezza.

In generale, per ridurre l’errore standard di un fattore [math]k[/math], bisogna aumentare la numerosità campionaria di un fattore [math]k^2[/math].

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Q3 — Teorema Centrale del Limite

Risposta corretta: D

La popolazione di partenza è molto asimmetrica, ma questo non impedisce alla media campionaria di avere, per una numerosità sufficientemente elevata e sotto condizioni appropriate, una distribuzione approssimativamente normale.

L’errore standard è:

[math]\displaystyle SE=\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{20}{\sqrt{64}}=\frac{20}{8}=2,5.[/math]

La media della distribuzione campionaria della media è:

[math]\displaystyle E(\bar{x})=\mu=80.[/math]

Quindi, in questo contesto:

[math]\displaystyle \bar{x}\approx N(80,2,5)[/math]

dove 2,5 rappresenta l’errore standard, non la deviazione standard della popolazione.

Grafico

Attenzione alla regola del “30”

Non esiste una soglia universale per la quale il Teorema Centrale del Limite diventa improvvisamente valido.

La qualità dell’approssimazione dipende anche dalla forma della distribuzione originaria. Una popolazione moderatamente asimmetrica può richiedere una numerosità diversa rispetto a una distribuzione con code molto pesanti o con valori estremi.

Per questo la regola [math]n\ge30[/math] può essere utilizzata soltanto come riferimento didattico molto generale, non come criterio automatico.

Se il campione è piccolo

Quando [math]n[/math] è piccolo e la popolazione è fortemente non normale, l’approssimazione normale può essere poco accurata. In funzione del problema si possono valutare metodi diversi, come trasformazioni, bootstrap o procedure non parametriche.

Se si vuole utilizzare un test o un intervallo basato sulla [math]t[/math] di Student, bisogna inoltre verificare che le condizioni richieste dal modello siano ragionevoli.

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Q4 — Intervallo di confidenza per la media

Risposta corretta: B

Poiché la deviazione standard della popolazione è nota, utilizziamo:

[math]\displaystyle \bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}.[/math]

L’errore standard è:

[math]\displaystyle SE=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2.[/math]

Il margine di errore è:

[math]\displaystyle ME=1,96\cdot2=3,92.[/math]

L’intervallo diventa:

[math]\displaystyle 72\pm3,92.[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \boxed{(68,08;\ 75,92)}[/math]

La risposta corretta è B.

Grafico

Che cosa determina l’ampiezza dell’intervallo?

L’ampiezza dipende principalmente da tre elementi:

• la variabilità della popolazione;
• la numerosità campionaria;
• il livello di confidenza scelto.

A parità di tutto il resto, aumentando [math]n[/math] diminuisce l’errore standard.

Aumentando invece il livello di confidenza, per esempio passando dal 95% al 99%, aumenta il valore critico e quindi l’intervallo diventa più largo.

Questo è un compromesso importante: maggiore copertura comporta un intervallo più ampio.

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Q5 — Come interpretare un intervallo di confidenza

Risposta corretta: C

Supponiamo di ottenere:

[math]\displaystyle (1450;\ 1620)[/math]

come intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione.

L’interpretazione frequentista corretta riguarda il procedimento di costruzione degli intervalli.

Se ripetessimo molte volte il campionamento e ogni volta costruissimo l’intervallo utilizzando lo stesso metodo, circa il 95% degli intervalli così ottenuti conterrebbe il vero parametro [math]\mu[/math].

Una volta osservati i dati e costruito uno specifico intervallo, il parametro [math]\mu[/math] è considerato un valore fisso ma ignoto. Non gli assegniamo, nell’impostazione frequentista, una probabilità del 95% di trovarsi dentro quell’intervallo.

Tre interpretazioni da evitare

Non significa che:

• il 95% dei singoli redditi sia compreso nell’intervallo;
• la media abbia una probabilità del 95% di essere dentro l’intervallo, nel senso frequentista;
• il parametro sia sicuramente dentro l’intervallo.

L’intervallo di confidenza riguarda l’incertezza associata al metodo di stima, non la distribuzione dei singoli dati.

Intervallo di confidenza e intervallo di previsione

La differenza diventa ancora più evidente quando confrontiamo:

intervallo di confidenza: serve a stimare un parametro, per esempio la media della popolazione;

intervallo di previsione: serve a prevedere una nuova osservazione individuale.

L’intervallo di previsione deve tenere conto sia dell’incertezza nella stima della media sia della variabilità naturale delle singole osservazioni, quindi tende a essere più ampio.

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Q6 — Test unilaterale per una media

Risposta corretta: C

Le ipotesi sono:

[math]\displaystyle H_0:\mu=50[/math]

e

[math]\displaystyle H_1:\mu>50.[/math]

L’errore standard è:

[math]\displaystyle SE=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1.[/math]

La statistica test è:

[math]\displaystyle z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE}=\frac{52-50}{1}=2.[/math]

Poiché l’ipotesi alternativa è:

[math]\displaystyle H_1:\mu>50,[/math]

dobbiamo considerare la coda destra della distribuzione normale standard.

Quindi:

[math]\displaystyle p=P(Z>2)\approx0,0228.[/math]

Dato che:

[math]\displaystyle 0,0228<0,05,[/math]

rifiutiamo [math]H_0[/math].

C’è quindi evidenza statistica, al livello di significatività del 5%, a favore dell’ipotesi che il tempo medio sia superiore a 50 minuti.

Ma attenzione al significato pratico

Il risultato ci dice che i dati sono poco compatibili con [math]H_0[/math], assumendo vere le condizioni del test. Non ci dice automaticamente che l’aumento sia importante dal punto di vista operativo.

Una differenza statisticamente significativa può essere molto piccola dal punto di vista pratico, soprattutto quando la numerosità campionaria è elevata.

Per questo, nell’analisi reale, il p-value dovrebbe essere accompagnato dalla stima dell’effetto e dal relativo intervallo di confidenza.

Grafico

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Q7 — Il significato del p-value

Risposta corretta: D

Il p-value è definito come la probabilità di osservare, supponendo vera l’ipotesi nulla, un risultato almeno altrettanto estremo rispetto a quello osservato.

In forma schematica:

[math]\displaystyle p=P(\text{dati almeno così estremi}\mid H_0\text{ vera}).[/math]

Il punto fondamentale è la direzione della probabilità.

Il p-value non è:

[math]\displaystyle P(H_0\text{ vera}\mid\text{dati}).[/math]

Queste due probabilità non sono la stessa cosa.

Dire:

“p = 0,03, quindi c’è una probabilità del 3% che [math]H_0[/math] sia vera”

è quindi un’interpretazione errata.

Un p-value di 0,03 significa invece che, se [math]H_0[/math] fosse vera e il modello statistico fosse appropriato, un risultato almeno altrettanto estremo avrebbe probabilità pari a circa il 3%.

Grafico

Un p-value piccolo non misura la grandezza dell’effetto

Questa è una distinzione essenziale.

Un p-value piccolo fornisce evidenza contro [math]H_0[/math] nel contesto del test, ma non dice quanto sia grande l’effetto.

Per capire la dimensione dell’effetto bisogna guardare alla stima dell’effetto, alla sua scala e, quando possibile, al relativo intervallo di confidenza.

Un risultato con [math]p=0,001[/math] non è necessariamente più importante dal punto di vista pratico di un risultato con [math]p=0,04[/math].

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Q8 — Errori di I e II tipo e potenza

Risposta corretta: B

Si verifica un errore di II tipo quando:

• [math]H_0[/math] è falsa;
• il test non rifiuta [math]H_0[/math].

La probabilità di questo errore viene indicata con:

[math]\displaystyle \beta.[/math]

La potenza del test è:

[math]\displaystyle \text{Potenza}=1-\beta.[/math]

La potenza rappresenta la probabilità di rifiutare [math]H_0[/math] quando l’alternativa è effettivamente vera, secondo il modello e per uno specifico valore dell’effetto.

Lo schema fondamentale è:

Realtà	Rifiuto [math]H_0[/math]	Non rifiuto [math]H_0[/math]
[math]H_0[/math] vera	Errore di I tipo [math]\alpha[/math]	Decisione coerente con [math]H_0[/math]
[math]H_0[/math] falsa	Rilevazione dell’effetto	Errore di II tipo [math]\beta[/math]

Da cosa dipende la potenza?

La potenza tende ad aumentare quando:

• aumenta la numerosità campionaria;
• aumenta la dimensione dell’effetto;
• diminuisce la variabilità dei dati;
• aumenta il livello [math]\alpha[/math];
• la misurazione diventa più precisa;
• viene utilizzato un test appropriato ed efficiente.

Aumentare [math]\alpha[/math], però, ha un costo: aumenta anche il rischio di errore di I tipo.

Per questo la potenza non dovrebbe essere letta come un numero isolato, ma come parte del progetto complessivo dello studio.

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Q9 — Differenza tra due medie

Risposta corretta: A

Per l’esercizio utilizziamo l’approssimazione normale indicata nel testo.

L’errore standard della differenza tra due medie indipendenti è:

[math]\displaystyle SE=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.[/math]

Sostituendo i valori:

[math]\displaystyle SE=\sqrt{\frac{10^2}{50}+\frac{12^2}{60}}.[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle SE=\sqrt{\frac{100}{50}+\frac{144}{60}}[/math]

[math]\displaystyle SE=\sqrt{2+2,4}=\sqrt{4,4}\approx2,098.[/math]

La differenza tra le medie è:

[math]\displaystyle \bar{x}_1-\bar{x}_2=68-64=4.[/math]

La statistica test è quindi:

[math]\displaystyle z=\frac{4}{2,098}\approx1,91.[/math]

Poiché l’alternativa è unilaterale:

[math]\displaystyle H_1:\mu_1>\mu_2,[/math]

il p-value è:

[math]\displaystyle p=P(Z>1,91)\approx0,028.[/math]

Dato che:

[math]\displaystyle 0,028<0,05,[/math]

rifiutiamo [math]H_0[/math].

Nel contesto dell’esercizio c’è quindi evidenza statistica a favore dell’ipotesi che la media del primo gruppo sia maggiore.

Grafico

Perché dividiamo per le numerosità?

Non stiamo confrontando direttamente due singole osservazioni. Stiamo confrontando due medie campionarie.

La varianza della media campionaria è:

[math]\displaystyle Var(\bar{x})=\frac{\sigma^2}{n}.[/math]

Per due campioni indipendenti:

[math]\displaystyle Var(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}.[/math]

Per questo le numerosità compaiono al denominatore.

Campioni più grandi producono, a parità di variabilità, medie più precise.

Nella pratica

Quando [math]\sigma_1[/math] e [math]\sigma_2[/math] sono ignote e vengono stimate attraverso [math]s_1[/math] e [math]s_2[/math], è normalmente più appropriato utilizzare un test [math]t[/math]. La versione di Welch è particolarmente utile perché non richiede di assumere che le due popolazioni abbiano la stessa varianza.

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Q10 — Test sul coefficiente di regressione

Risposta corretta: A

La statistica test per verificare:

[math]\displaystyle H_0:\beta_1=0[/math]

è:

[math]\displaystyle t=\frac{\hat{\beta}_1-0}{SE(\hat{\beta}_1)}.[/math]

Nel nostro caso:

[math]\displaystyle t=\frac{0,85}{0,30}\approx2,83.[/math]

Abbiamo:

[math]\displaystyle df=30.[/math]

Per un test bilaterale con [math]\alpha=0,05[/math], il valore critico è circa:

[math]\displaystyle t_{crit}\approx2,042.[/math]

Poiché:

[math]\displaystyle |2,83|>2,042,[/math]

rifiutiamo [math]H_0[/math].

Il p-value bilaterale è circa:

[math]\displaystyle p\approx0,008.[/math]

La conclusione corretta è quindi che, nel modello considerato, c’è evidenza statistica di un’associazione lineare tra spesa pubblicitaria e vendite.

Grafico

Ma associazione non significa causalità

Questo è un punto che diventa fondamentale quando passiamo dall’esercizio statistico all’analisi dei dati reali.

Il test sul coefficiente [math]\beta_1[/math] ci dice se esiste evidenza di una relazione lineare nel modello, ma non dimostra che l’aumento della spesa pubblicitaria causi l’aumento delle vendite.

Potrebbero esistere altre variabili che influenzano entrambe le grandezze, oppure il modello potrebbe non rappresentare adeguatamente il processo generatore dei dati.

Per parlare di causalità servono un disegno di studio e ipotesi molto più forti rispetto alla semplice significatività di un coefficiente.

Significatività statistica e rilevanza pratica

Anche qui vale la distinzione già incontrata nei quesiti precedenti.

Un coefficiente statisticamente diverso da zero non è automaticamente un coefficiente economicamente importante.

Bisogna chiedersi:

• quanto è grande l’effetto?
• in quale unità di misura è espresso?
• qual è l’intervallo di confidenza?
• l’effetto è abbastanza grande da modificare una decisione?
• il modello è plausibile?
• ci sono variabili confondenti?
• le assunzioni della regressione sono ragionevoli?

Il p-value è quindi soltanto una parte dell’analisi.

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Le domande di riflessione

Perché la media campionaria è una statistica e non un parametro?

La media campionaria

[math]\displaystyle \bar{x}[/math]

viene calcolata sulle osservazioni del campione.

Poiché il campione può cambiare, anche [math]\bar{x}[/math] può cambiare da un campione all’altro.

La media della popolazione:

[math]\displaystyle \mu[/math]

è invece un parametro della popolazione. Nel modello frequentista viene considerata un valore fisso, anche se non lo conosciamo.

Per questo:

[math]\displaystyle \bar{x}\rightarrow\text{statistica}[/math]

mentre:

[math]\displaystyle \mu\rightarrow\text{parametro}.[/math]

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Se [math]n[/math] quadruplica, come cambia l’errore standard?

Partiamo da:

[math]\displaystyle SE=\frac{\sigma}{\sqrt n}.[/math]

Se la numerosità diventa [math]4n[/math]:

[math]\displaystyle SE_{\text{nuovo}}=\frac{\sigma}{\sqrt{4n}}=\frac{\sigma}{2\sqrt n}.[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle SE_{\text{nuovo}}=\frac12SE_{\text{vecchio}}.[/math]

L’errore standard si dimezza.

Questo mostra perché aumentare la numerosità campionaria migliora la precisione, ma anche perché ottenere miglioramenti sempre più grandi richiede campioni molto più numerosi.

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Cosa succede se [math]n[/math] è piccolo e [math]X[/math] non è normale?

In questo caso non possiamo dare per scontata una buona approssimazione normale della media.

Bisogna considerare la forma della distribuzione, la presenza di valori estremi, la dimensione del campione e il metodo inferenziale utilizzato.

A seconda del problema possono essere valutati:

• bootstrap;
• metodi non parametrici;
• trasformazioni;
• modelli più adatti alla distribuzione dei dati;
• un campione più numeroso.

La scelta non dovrebbe dipendere da una soglia numerica applicata automaticamente, ma dalle caratteristiche del problema.

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Perché l’intervallo di confidenza al 95% non significa che [math]\mu[/math] ha probabilità 95% di cadere nell’intervallo?

Nell’interpretazione frequentista, [math]\mu[/math] è un valore fisso ma sconosciuto.

L’intervallo invece dipende dal campione e quindi è una quantità casuale prima di osservare i dati.

Il 95% riguarda quindi il comportamento della procedura nel lungo periodo: se ripetessimo molte volte il campionamento e costruissimo ogni volta un intervallo con lo stesso metodo, circa il 95% degli intervalli conterrebbe il vero parametro.

Questo non equivale ad assegnare a [math]\mu[/math] una probabilità del 95% dopo che l’intervallo è stato calcolato.

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Qual è la differenza tra intervallo di confidenza e intervallo di previsione?

Un intervallo di confidenza descrive l’incertezza associata alla stima di un parametro, per esempio la media della popolazione.

Un intervallo di previsione riguarda invece una nuova osservazione individuale.

Nel secondo caso bisogna tenere conto non soltanto dell’incertezza sulla media, ma anche della variabilità individuale.

Per questo un intervallo di previsione è generalmente più ampio.

Se stimiamo il consumo medio di dati degli utenti, l’intervallo di confidenza riguarda la media della popolazione; se vogliamo prevedere il consumo del prossimo singolo utente, abbiamo invece bisogno di un intervallo di previsione.

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Perché nel Q6 il p-value è unilaterale?

L’ipotesi alternativa è:

[math]\displaystyle H_1:\mu>50.[/math]

La domanda statistica è quindi direzionale: vogliamo verificare se la media è maggiore di 50.

L’area rilevante si trova nella coda destra della distribuzione:

[math]\displaystyle p=P(Z>2)=0,0228.[/math]

Se avessimo invece utilizzato:

[math]\displaystyle H_1:\mu\neq50,[/math]

il test sarebbe stato bilaterale e avremmo dovuto considerare entrambe le code.

La scelta tra test unilaterale e bilaterale dovrebbe essere stabilita in base alla domanda di ricerca e prima di osservare il risultato, non scelta dopo aver visto da quale parte si trova la statistica test.

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Se [math]p=0,03[/math], possiamo dire che [math]H_0[/math] ha probabilità 3% di essere vera?

No.

Il p-value è:

[math]\displaystyle P(\text{dati almeno così estremi}\mid H_0\text{ vera}).[/math]

Non è:

[math]\displaystyle P(H_0\text{ vera}\mid\text{dati}).[/math]

Questa differenza è una delle distinzioni fondamentali dell’inferenza frequentista.

Per ottenere una probabilità del secondo tipo occorre impostare un modello probabilistico diverso, come un’analisi bayesiana, nella quale le ipotesi ricevono probabilità a priori e vengono aggiornate alla luce dei dati.

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Come si può aumentare la potenza di un test?

La potenza è:

[math]\displaystyle 1-\beta.[/math]

Tende ad aumentare quando:

• aumenta [math]n[/math];
• aumenta l’effetto reale;
• diminuisce la variabilità;
• migliorano precisione e qualità della misurazione;
• viene scelto un test appropriato;
• aumenta [math]\alpha[/math], accettando però un maggiore rischio di errore di I tipo.

In termini intuitivi, per individuare un effetto reale servono dati sufficientemente informativi rispetto al rumore presente nel processo.

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Perché non utilizziamo semplicemente [math]s_1^2+s_2^2[/math] nel confronto tra due medie?

Perché stiamo studiando la differenza tra due medie campionarie, non la differenza tra due singole osservazioni.

Per una media campionaria:

[math]\displaystyle Var(\bar{x})=\frac{\sigma^2}{n}.[/math]

Per due campioni indipendenti:

[math]\displaystyle Var(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}.[/math]

Da qui deriva:

[math]\displaystyle SE=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.[/math]

Le numerosità campionarie sono quindi essenziali perché determinano quanto è precisa ciascuna delle due medie.

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Cosa cambierebbe nel Q10 se l’ipotesi alternativa fosse [math]\beta_1>0[/math]?

Nel Q10 abbiamo ottenuto:

[math]\displaystyle t=2,83.[/math]

Il test originale è bilaterale:

[math]\displaystyle H_1:\beta_1\neq0.[/math]

Il p-value è circa:

[math]\displaystyle p\approx0,008.[/math]

Se invece l’ipotesi alternativa fosse stata:

[math]\displaystyle H_1:\beta_1>0,[/math]

la statistica osservata si troverebbe nella direzione prevista dall’alternativa e il p-value unilaterale sarebbe circa:

[math]\displaystyle p\approx0,004.[/math]

La conclusione sul test resterebbe la stessa.

Se invece l’alternativa fosse:

[math]\displaystyle H_1:\beta_1<0,[/math]

la statistica osservata sarebbe nella direzione opposta a quella prevista e il p-value sarebbe molto elevato.

Questo esempio mostra perché la direzione dell’ipotesi alternativa deve essere stabilita sulla base della domanda di ricerca e non modificata dopo aver osservato i dati.

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Dalla statistica alla data science

A questo punto possiamo mettere insieme i concetti affrontati nei dieci quesiti.

Concetto	Domanda da porsi quando lavoro con i dati
Popolazione	A chi o a che cosa voglio estendere la conclusione?
Campione	Come sono stati raccolti i dati e quanto sono rappresentativi?
Errore standard	Quanto può variare la mia stima da un campione all’altro?
Intervallo di confidenza	Quanto è incerta la stima del parametro?
p-value	Quanto sono compatibili i dati con l’ipotesi nulla?
Effect size	Quanto è grande l’effetto osservato?
Potenza	Avevo abbastanza informazione per rilevare l’effetto che mi interessava?
Regressione	Qual è la relazione stimata tra le variabili?
Assunzioni	Il modello utilizzato è plausibile per questi dati?
Causalità	Sto osservando un’associazione oppure ho elementi per sostenere un effetto causale?

Questa è probabilmente la distinzione più importante tra il semplice esercizio d’esame e l’uso della statistica nella data science.

Un software può calcolare automaticamente un p-value, un intervallo di confidenza o un coefficiente di regressione. Il problema interessante comincia dopo il calcolo, quando bisogna capire che cosa rappresenta quel numero, quali assunzioni lo sostengono e quale decisione può essere ragionevolmente presa sulla base del risultato.

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Significatività statistica e rilevanza pratica

Un risultato può essere statisticamente significativo senza essere particolarmente importante dal punto di vista operativo.

Immaginiamo di avere un campione molto grande e di osservare una differenza media piccolissima. Grazie alla grande quantità di dati, il test potrebbe produrre un p-value molto basso.

Questo non significa automaticamente che la differenza sia abbastanza grande da giustificare una modifica di processo, un investimento o una decisione manageriale.

Per questo, quando si analizza un risultato inferenziale, conviene guardare almeno a:

[math]\displaystyle \boxed{\text{stima dell’effetto}}[/math]

[math]\displaystyle \boxed{\text{intervallo di confidenza}}[/math]

[math]\displaystyle \boxed{\text{p-value}}[/math]

e, quando appropriato,

[math]\displaystyle \boxed{\text{potenza e rilevanza pratica}}.[/math]

Il p-value risponde a una domanda specifica sul rapporto tra dati e ipotesi nulla; non sostituisce l’analisi della dimensione dell’effetto.

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Associazione non significa causalità

La regressione lineare rende evidente un altro passaggio importante.

Se troviamo un coefficiente significativo tra investimento pubblicitario e vendite, possiamo avere evidenza di una relazione lineare tra le due variabili nel modello.

Non possiamo però concludere automaticamente che:

aumentare la spesa pubblicitaria causa l’aumento delle vendite.

Potrebbero esserci variabili non osservate, effetti stagionali, cambiamenti nel mercato, differenze tra clienti o altri fattori che influenzano contemporaneamente investimento e vendite.

La regressione è quindi uno strumento molto potente per descrivere e quantificare associazioni, ma la causalità richiede condizioni e disegni di studio specifici.

Per chi lavora con i dati questa distinzione è fondamentale, perché molte decisioni sbagliate nascono non da un calcolo matematico errato, ma da una conclusione troppo forte rispetto alle informazioni disponibili.

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Mini-scheda finale di autovalutazione

Una possibile interpretazione orientativa del risultato è:

Risposte corrette	Lettura del risultato
0–3	È utile riprendere i concetti fondamentali di campionamento e inferenza
4–6	Le basi sono presenti, ma alcuni passaggi richiedono un ripasso
7–8	Buona preparazione sui principali strumenti inferenziali
9–10	I concetti fondamentali sono ben consolidati

Il punteggio non misura da solo la competenza statistica. Un test di dieci domande non può sostituire la capacità di analizzare dati reali, verificare le assunzioni di un modello e interpretare un risultato nel suo contesto.

Può però essere un buon punto di partenza per capire che cosa ripassare prima di affrontare un’analisi più complessa.

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Risposte rapide

Quesito	Tema	Difficoltà	Risposta
Q1	Popolazione e parametro	Facile	C
Q2	Errore standard	Facile	A
Q3	Teorema Centrale del Limite	Medio	D
Q4	Intervallo di confidenza	Medio	B
Q5	Interpretazione dell’IC	Medio	C
Q6	Test unilaterale	Medio	C
Q7	p-value	Medio-alto	D
Q8	Errori e potenza	Alto	B
Q9	Differenza tra due medie	Alto	A
Q10	Regressione lineare	Alto	A

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