Immagina di gestire le scorte di una gelateria. Ogni giorno i clienti scelgono tra cioccolato, crema, fragola e pistacchio.
Sapere con quale probabilità venderai una certa combinazione di gusti (es. 6 cioccolato, 5 crema, 7 fragola e 2 pistacchio) non è solo una curiosità matematica: ti aiuta a ottimizzare la produzione e a non rimanere mai senza il gusto preferito.
Questo tipo di problema, dove un “esperimento” (la vendita di un gelato) ha più di due possibili risultati, è il campo di gioco della distribuzione multinomiale.
È l’estensione naturale della più nota distribuzione binomiale (che si ferma a due esiti, come successo/fallimento).
Articoli di approfondimento
In questo articolo vedremo insieme 6 esercizi pratici, partendo da un caso semplice come quello della gelateria fino ad arrivare a scenari più complessi presi dal marketing digitale e dalla genetica, dove questi calcoli fanno davvero la differenza.
Ogni esercizio comprende:
- testo realistico;
- risoluzione guidata con commenti didattici;
- box “💡 Osservazioni”;
- mini-quiz finale.
1. Livello Facile – Il gelato di quartiere
Testo
In una gelateria si vendono 4 gusti: cioccolato, crema, fragola e pistacchio.
Le probabilità di vendita giornaliera sono rispettivamente:
[math]p_{\text{cioc}}=0{,}30,\quad p_{\text{cre}}=0{,}25,\quad p_{\text{fra}}=0{,}35,\quad p_{\text{pis}}=0{,}10[/math].
Si osservano [math]n=20[/math] gelati venduti in un pomeriggio.
Qual è la probabilità che esattamente 6 siano cioccolato, 5 crema, 7 fragola e 2 pistacchio?
Risoluzione guidata
Il fenomeno è multinomiale perché abbiamo 4 categorie (gusti) e un numero fisso [math]n[/math] di prove indipendenti.
La probabilità richiesta è data dalla formula
[math]\displaystyle
P(X_1=6,X_2=5,X_3=7,X_4=2)=\frac{20!}{6!\,5!\,7!\,2!}\;
(0{,}30)^6\,(0{,}25)^5\,(0{,}35)^7\,(0{,}10)^2.
[/math]
Calcolo numerico passo-passo:
from math import factorial, prod
n = 20
k = [6, 5, 7, 2]
p = [0.30, 0.25, 0.35, 0.10]
coeff = factorial(n)
for ki in k:
coeff //= factorial(ki)
prob = coeff * prod(pi**ki for pi, ki in zip(p, k))
print(f"P = {prob:.5f}") # ≈ 0.0364Il coefficiente multinomiale [math]\frac{n!}{k_1!\dots k_r!}[/math] conta tutte le sequenze che realizzano la configurazione desiderata.
Mini-quiz
Quale proprietà hai usato per giustificare l’indipendenza delle prove?
Risposta
L’indipendenza delle singole vendite permette di moltiplicare le probabilità di ogni gusto.
2. Livello Base – Il sondaggio elettorale
Testo
In un collegio si stima che le intenzioni di voto siano: Partito A 42 %, Partito B 33 %, Partito C 15 %, altri 10 %.
Un’exit-poll intervista [math]n=50[/math] elettori a caso.
Qual è la probabilità che il Partito A ottenga esattamente 22 preferenze, il B 14 e il C 8?
Risoluzione
Abbiamo [math]r=4[/math] categorie con probabilità
[math]p_A=0{,}42,\; p_B=0{,}33,\; p_C=0{,}15,\; p_{\text{altri}}=0{,}10[/math].
Il vettore delle frequenze osservate è [math](22,14,8,6)[/math] (poiché [math]22+14+8+6=50[/math]).
[math]\displaystyle
P=\frac{50!}{22!\,14!\,8!\,6!}\,(0{,}42)^{22}(0{,}33)^{14}(0{,}15)^8(0{,}10)^6\approx 0{,}012.
[/math]
Il valore è piccolo perché la specifica configurazione è solo una fra moltissime possibili.
Mini-quiz
Cosa succede alla probabilità se si dimezza [math]n[/math] (da 50 a 25)?
Risposta
Diminuisce drasticamente: il coefficiente multinomiale scala con [math]n![/math] mentre le potenze scalano esponenzialmente.
3. Livello Intermedio – La catena di fast-food
Testo
Un’app di delivery registra 5 opzioni di menù (A–E) con probabilità di scelta
[math]p=(0{,}20,0{,}15,0{,}30,0{,}25,0{,}10)[/math].
In un’ora arrivano [math]n=120[/math] ordini.
Calcola la probabilità che il menù A venga scelto almeno 30 volte.
Risoluzione
Non possiamo più usare la formula esatta perché il calcolo di
[math]\sum_{k_A=30}^{120}P(X_A=k_A)[/math] è computazionalmente pesante.
Applichiamo l’approssimazione normale alla componente [math]X_A[/math].
Per la multinomiale, [math]X_i\sim\text{Bin}(n,p_i)[/math] marginalmente.
Quindi [math]X_A\sim\text{Bin}(120,0{,}20)[/math] con
[math]\mu=np=24,\; \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{120\cdot0{,}20\cdot0{,}80}\approx 4{,}38[/math].
Con la correzione di continuità:
[math]\displaystyle
P(X_A\ge 30)\approx P\!\left(Z\ge \frac{29{,}5-24}{4{,}38}\right)=P(Z\ge 1{,}26)\approx 0{,}104.
[/math]
L’approssimazione è buona perché [math]np>5[/math] e [math]n(1-p)>5[/math].
Mini-quiz
Quale proprietà hai usato per trattare marginalmente [math]X_A[/math] come binomiale?
Risposta
L’aggiustamento delle categorie: “A” contro “non A” riconduce alla binomiale.
4. Livello Intermedio-Superiore – Il laboratorio di genetica
Testo
In un incrocio tra piante di pisello si prevede, secondo Mendel, la seguente proporzione fenotipica nella progenie:
- Fenotipo 1 (dominante-duplice): 9/16
- Fenotipo 2 (dominante-semplice): 3/16
- Fenotipo 3 (recessivo-semplice): 3/16
- Fenotipo 4 (recessivo-duplice): 1/16
Si osservano [math]n = 160[/math] semi germogliati.
Determina la probabilità che il primo fenotipo (dominante-duplice) compaia fra 85 e 95 volte (inclusi).
Risoluzione passo-passo
1. Modello probabilistico
Il fenomeno è descritto da una distribuzione multinomiale con [math]r = 4[/math] categorie e vettore di probabilità
[math]\displaystyle
\mathbf{p} = \left(\frac{9}{16},\frac{3}{16},\frac{3}{16},\frac{1}{16}\right).
[/math]
2. Studio marginale di [math]X_1[/math]
Ci interessa solo la prima componente [math]X_1[/math], che marginalmente segue una distribuzione binomiale:
[math]\displaystyle
X_1 \sim \text{Bin}\!\left(n=160,\; p=\frac{9}{16}\right).
[/math]
3. Media e varianza
Media teorica:
[math]\displaystyle
\mu = n\,p = 160 \cdot \frac{9}{16}=90.
[/math]
Varianza:
[math]\displaystyle
\sigma^{2}=n\,p\,(1-p)=160\cdot\frac{9}{16}\cdot\left(1-\frac{9}{16}\right)=160\cdot\frac{9}{16}\cdot\frac{7}{16}=39{,}375.
[/math]
Deviazione standard:
[math]\displaystyle
\sigma=\sqrt{39{,}375}\approx 6{,}275.
[/math]
4. Approssimazione normale con correzione di continuità
L’intervallo richiesto è [85, 95].
Standardizziamo gli estremi:
[math]\displaystyle
z_{\text{sup}}=\frac{95{,}5-90}{6{,}275}\approx 0{,}88,\qquad
z_{\text{inf}}=\frac{84{,}5-90}{6{,}275}\approx -0{,}88.
[/math]
Pertanto:
[math]\displaystyle
P(85\le X_1\le 95)\approx \Phi(0{,}88)-\Phi(-0{,}88)=2\,\Phi(0{,}88)-1\approx 2\cdot0{,}8106-1\approx \mathbf{0{,}621}.
[/math]
L’approssimazione normale è affidabile perché sia [math]np[/math] che [math]n(1-p)[/math] superano 5.
Inoltre, la proporzione 9:3:3:1 è nota a priori dalla legge di Mendel: è un classico caso di multinomiale con parametri fissi.
Mini-quiz
Cosa cambierebbe se la proporzione 9:3:3:1 fosse solo una stima empirica ottenuta da un campione pilota?
Risposta
Le probabilità [math]p_i[/math] non sarebbero più “vere” ma stimate con errore campionario.
Per valutare la compatibilità dei dati con l’ipotesi 9:3:3:1 si dovrebbe usare il test χ² di adattamento, piuttosto che il calcolo diretto di probabilità.
5. Livello Avanzato – Il motore di ricerca
Testo
Un motore mostra 3 tipi di risultati: organici, ads e snippet.
Le probabilità di click-through sono [math]p_{\text{org}}=0{,}55,\; p_{\text{ads}}=0{,}25,\; p_{\text{sni}}=0{,}20[/math].
In una sessione vengono emessi [math]n=1000[/math] risultati.
Calcola la probabilità che gli organici ricevano almeno 580 click.
Risoluzione
Marginale: [math]X_{\text{org}}\sim\text{Bin}(1000,0{,}55)[/math].
Parametri:
[math]\mu=550,\; \sigma=\sqrt{1000\cdot0{,}55\cdot0{,}45}\approx 15{,}73[/math].
Approssimazione normale con continuità:
[math]\displaystyle
P(X\ge 580)\approx P\!\left(Z\ge \frac{579{,}5-550}{15{,}73}\right)=P(Z\ge 1{,}88)\approx 0{,}030.
[/math]
La coda superiore è piccola: 580 click superano di quasi 2 σ la media.
Mini-quiz
Quale proprietà permette di trascurare le correlazioni fra le tre categorie?
Risposta
La somma delle tre variabili è fissata ([math]n[/math]), ma la marginalità di ogni [math]X_i[/math] è comunque binomiale indipendente dalle altre.
6. Livello Maturità/Universitario – Il file audio compresso
Testo
Un algoritmo di compressione divide il segnale in 4 “tipi di fotogramma” con probabilità
[math]p=(0{,}4,0{,}3,0{,}2,0{,}1)[/math].
In un file di [math]n=10\,000[/math] fotogrammi si vuole valutare la probabilità che il primo tipo compaia fra 3950 e 4050 volte.
Risoluzione
Marginale: [math]X_1\sim\text{Bin}(10\,000,0{,}4)[/math].
[math]\displaystyle
\mu=4000,\quad \sigma=\sqrt{10\,000\cdot0{,}4\cdot0{,}6}= \sqrt{2400}\approx 48{,}99.
[/math]
Standardizzando:
[math]\displaystyle
P(3950\le X_1\le 4050)\approx
\Phi\!\left(\frac{4050{,}5-4000}{48{,}99}\right)
-\Phi\!\left(\frac{3949{,}5-4000}{48{,}99}\right)
\approx \Phi(1{,}03)-\Phi(-1{,}03)\approx 0{,}697.
[/math]
L’ampio campione rende l’approssimazione normale estremamente accurata (errore < 0,001).
Mini-quiz
Cosa succede se la base di probabilità del primo tipo è inferiore a 0,4?
Risposta
La distribuzione di [math]X_1[/math] si sposta a sinistra: la probabilità dell’intervallo [3950,4050] diminuisce drasticamente.
Commento Applicativo agli Esercizi
1. Il Gelato di Quartiere (Livello Facile)
Questo è l’esempio “puro”. Serve a introdurre la formula e il suo significato in uno scenario semplice e intuitivo, dove ogni termine (fattoriali, probabilità, esponenti) ha un ruolo chiaro.
Contesto applicativo: Sebbene semplice, è la base per la gestione delle scorte (inventory management). Un responsabile di produzione potrebbe usare questo calcolo per stimare la probabilità di scenari di vendita specifici e decidere quanto produrre di ogni gusto per minimizzare gli sprechi e massimizzare i profitti.
2. Il Sondaggio Elettorale (Livello Base)
Introduce un campione più grande () e mostra quanto velocemente la probabilità di una singola, esatta configurazione diventi minuscola. È una lezione chiave: in statistica, i risultati esatti sono rari; siamo quasi sempre interessati a un intervallo di risultati.
Contesto applicativo: È il pane quotidiano per analisti politici e istituti di sondaggistica. Il calcolo serve a stabilire la “tipicità” di un risultato. Se un exit poll desse un risultato con probabilità bassissima, potrebbe significare due cose: o è avvenuto un evento statistico raro, oppure il modello di partenza (le stime delle intenzioni di voto) era sbagliato.
3. La Catena di Fast-Food (Livello Intermedio)
Qui avviene il salto concettuale più importante: l’abbandono della formula esatta in favore dell’approssimazione normale. L’esercizio mostra come isolare una singola categoria e trattarla come una variabile binomiale per rispondere a domande del tipo “almeno X volte”.
Contesto applicativo: Un Data Analyst per un’app di delivery userebbe questo approccio per il controllo di qualità e il monitoraggio. Se il menù A viene scelto “almeno 30 volte” con una probabilità molto bassa secondo il modello, ma questo accade spesso nella realtà, potrebbe indicare che una campagna promozionale su quel menù sta funzionando meglio del previsto.
4. Il Laboratorio di Genetica (Livello Intermedio-Superiore)
È un esempio classico in cui le probabilità non sono stimate, ma derivano da una teoria scientifica consolidata (le leggi di Mendel). Il calcolo serve a verificare se i dati sperimentali sono compatibili con la teoria.
Contesto applicativo: Per un genetista o un biologo, questo è un test di ipotesi fondamentale. Se la probabilità calcolata fosse molto bassa, potrebbe mettere in dubbio che l’incrocio segua il modello mendeliano atteso, suggerendo la presenza di altri fattori genetici (es. geni concatenati).
5. Il Motore di Ricerca (Livello Avanzato)
Utilizza un campione molto grande (), rendendo l’approssimazione normale non solo utile, ma necessaria. Mostra come valutare la probabilità di una coda della distribuzione, cioè un evento relativamente “estremo”.
Contesto applicativo: Un Product Manager o un SEO Specialist in un’azienda tecnologica monitora costantemente il Click-Through Rate (CTR). Un calcolo come questo serve per l’A/B testing. Se viene modificato l’algoritmo e il numero di click sui risultati organici sale a 580, sapere che la probabilità di un tale evento era solo del 3% permette di concludere con alta confidenza che la modifica ha avuto un effetto positivo.
6. Il File Audio Compresso (Livello Maturità/Universitario)
È simile al precedente ma con un campione ancora più grande (), dove l’approssimazione normale diventa estremamente precisa. L’intervallo simmetrico attorno alla media [3950, 4050] è una domanda tipica per definire un range di normalità.
Contesto applicativo: Un ingegnere del software che sviluppa algoritmi di compressione (codec audio/video) usa questi modelli per l’analisi delle performance. Se l’algoritmo produce un numero di fotogrammi del “tipo 1” che cade spesso fuori da questo intervallo di alta probabilità, potrebbe significare che l’algoritmo non si sta comportando come previsto su certi tipi di segnali, indicando la necessità di un’ottimizzazione.
