I numeri spaventano spesso, eppure sono l’unico strumento oggettivo che abbiamo per capire dove finiscono i nostri soldi.
Che si tratti di tagliare le spese al supermercato, di non farsi cogliere impreparati dalla bolletta della luce o di capire se un’azienda ha dei costi fuori controllo, la statistica offre risposte estremamente concrete.
In questo articolo faremo lavorare la matematica su problemi di tutti i giorni. Partiremo da un semplice bilancio familiare per arrivare a scelte aziendali complesse, utilizzando quartili, percentili e analisi della variabilità.
Prendi la calcolatrice: cominciamo.
Esercizio 1 – Facile
Budget della spesa settimanale
Marco tiene traccia della spesa settimanale per la spesa alimentare (in euro) negli ultimi 8 mesi:
45, 52, 47, 60, 55, 49, 53, 58
Calcola i tre quartili ([math]Q_1, Q_2, Q_3[/math]) e interpretali in termini di budgeting.
Soluzione
1. Ordinare i dati
45, 47, 49, 52, 53, 55, 58, 60
[math]n=8[/math] (numero pari).
2. Richiami teorici
I quartili dividono i dati ordinati in 4 parti uguali.
[math]Q_2[/math] è la mediana.
Per [math]n[/math] pari, la mediana è la media dei due valori centrali.
[math]Q_1[/math] è la mediana della metà inferiore, [math]Q_3[/math] della metà superiore.
3. Calcolo di [math]Q_2[/math] (mediana)
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Posizioni centrali: } n/2=4 \text{ e } n/2+1=5 \\
&\to \text{valori 52 e 53.} \\
&Q_2 = \frac{52+53}{2} = 52,5 \text{ euro.}
\end{aligned}[/math]
4. Calcolo di [math]Q_1[/math]
Metà inferiore: 45, 47, 49, 52 → mediana di questi 4 valori: posizioni 2 e 3 → 47 e 49.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&Q_1 = \frac{47+49}{2} = 48 \text{ euro.}
\end{aligned}[/math]
5. Calcolo di [math]Q_3[/math]
Metà superiore: 53, 55, 58, 60 → mediana: posizioni 2 e 3 → 55 e 58.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&Q_3 = \frac{55+58}{2} = 56,5 \text{ euro.}
\end{aligned}[/math]
6. Interpretazione
- Il 25% delle settimane Marco spende meno di 48 €.
- Il 50% spende meno di 52,5 € (mediana).
- Il 75% spende meno di 56,5 €.
Utile per fissare un budget settimanale realistico: evitare di superare [math]Q_3[/math] per non sforare.
💡 Osservazione
Con [math]n[/math] pari, la mediana non fa parte dei dati originali (52,5 non è una spesa reale). Nella pratica, per il budgeting si può arrotondare a 53 € per cautela.
❓ Domanda di riflessione
Quale proprietà della definizione di quartile hai usato per calcolare [math]Q_1[/math] e [math]Q_3[/math] dopo aver trovato la mediana?
Esercizio 2 – Medio
Percentili delle bollette elettriche
In un condominio sono state registrate le bollette mensili dell’elettricità (€) per 40 famiglie. Ecco la distribuzione in classi:
| Bolletta (€) | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 |
|---|---|---|---|---|---|
| Numero famiglie | 5 | 9 | 16 | 7 | 3 |
Calcola il 30° e il 70° percentile ([math]P_{30}[/math] e [math]P_{70}[/math]) utilizzando la formula di interpolazione per dati raggruppati. Spiega come potresti usare questi valori per pianificare un fondo energetico.
Soluzione
1. Tabella delle frequenze cumulate
[math]n=40[/math]
| Classe | freq. [math]f[/math] | freq. cum. [math]F[/math] | limite inf. [math]L[/math] | ampiezza [math]h[/math] |
|---|---|---|---|---|
| 20 – 40 | 5 | 5 | 20 | 20 |
| 40 – 60 | 9 | 14 | 40 | 20 |
| 60 – 80 | 16 | 30 | 60 | 20 |
| 80 – 100 | 7 | 37 | 80 | 20 |
| 100 – 120 | 3 | 40 | 100 | 20 |
2. Formula per il [math]k[/math]-esimo percentile (dati raggruppati)
[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_k = L + \frac{\frac{k}{100} \cdot n – F_{prec}}{f} \cdot h
\end{aligned}[/math]
Dove:
- [math]L[/math] = limite inferiore della classe che contiene il percentile
- [math]F_{prec}[/math] = frequenza cumulata prima della classe percentile
- [math]f[/math] = frequenza della classe percentile
- [math]h[/math] = ampiezza della classe
3. Calcolo di [math]P_{30}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Posizione} = \frac{30}{100} \cdot 40 = 12 \to \text{12° dato.} \\
&{} \quad \text{Cumulate: 5 (fino a 40), poi 14 (fino a 60).} \\
&{} \quad \text{La 12° unità cade nella classe 40–60.} \\
&L=40, F_{prec}=5, f=9, h=20 \\
&P_{30} = 40 + \frac{12 – 5}{9} \cdot 20 = 40 + \frac{7}{9} \cdot 20 \\
&P_{30} \approx 40 + 15,56 = 55,56 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
4. Calcolo di [math]P_{70}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Posizione} = \frac{70}{100} \cdot 40 = 28 \to \text{28° dato.} \\
&{} \quad \text{Cumulate: fino a 60 } \to 14, \text{ fino a 80 } \to 30. \\
&{} \quad \text{Il 28° dato cade nella classe 60–80.} \\
&L=60, F_{prec}=14, f=16, h=20 \\
&P_{70} = 60 + \frac{28 – 14}{16} \cdot 20 = 60 + \frac{14}{16} \cdot 20 \\
&P_{70} = 60 + 17,5 = 77,5 \text{ €}
\end{aligned}[/math]
5. Interpretazione per il budgeting
- Il 30% delle famiglie spende meno di 55,56 € al mese (spesa bassa).
- Il 70% spende meno di 77,5 €.
Per pianificare un fondo energetico, si può fissare una soglia di allerta a [math]P_{70}[/math]: se la bolletta supera 77,5 €, la famiglia rientra nel 30% di quelle con consumi più alti. Il gestore del condominio potrebbe suggerire interventi di efficienza per le famiglie oltre [math]P_{70}[/math].
💡 Osservazione
Nei dati raggruppati si assume uniformità all’interno della classe, quindi il percentile è una stima. Per budgeting precisi, usare i dati originali se disponibili.
❓ Domanda di riflessione
Perché nella formula si usa [math]\frac{k}{100} \cdot n[/math] e non [math]\frac{k}{100} \cdot (n+1)[/math] come in alcune definizioni per dati grezzi?
Esercizio 3 – Medio/Difficile
Confronto tra due strategie di budget
Un piccolo imprenditore ha testato due strategie di riduzione dei costi variabili (in €/giorno) per 12 giorni ciascuna:
Strategia A: 120, 115, 118, 122, 125, 119, 117, 121, 124, 118, 123, 116
Strategia B: 130, 105, 128, 110, 132, 108, 125, 112, 129, 107, 131, 109
Calcola per entrambe:
- Quartili e IQR (range interquartile)
- Eventuali outlier (usando la regola [math]Q_1 – 1,5 \cdot IQR[/math] e [math]Q_3 + 1,5 \cdot IQR[/math])
- Quale strategia è più stabile (minore variabilità) e perché?
Soluzione
L’IQR (Interquartile Range) è un indicatore di dispersione che misura l’estensione del “cuore” dei tuoi dati.
Rappresenta la differenza tra il terzo quartile ([math]Q_3[/math]) e il primo quartile ([math]Q_1[/math]).
La formula
[math]IQR = Q_3 – Q_1[/math]
Perché è fondamentale?
- Rappresenta il 50% centrale: Indica dove si concentra la metà centrale delle osservazioni, eliminando l’influenza del 25% dei valori più bassi e del 25% dei più alti.
- È robusto: A differenza del range (Differenza tra Massimo e Minimo), l’IQR non si lascia ingannare dai valori anomali (outlier). Se hai un dato estremo e isolato, l’IQR non cambia drasticamente.
- Identifica gli Outlier: In statistica, un dato viene spesso considerato “anomalo” se si trova a una distanza superiore a [math]1,5 \cdot IQR[/math] al di fuori dei quartili.
In sintesi: Se l’IQR è piccolo, i dati sono molto simili e vicini tra loro (alta stabilità); se l’IQR è grande, i dati sono molto vari e dispersi (alta variabilità).
1. Ordinare i dati
Strategia A: 115, 116, 117, 118, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125
Strategia B: 105, 107, 108, 109, 110, 112, 125, 128, 129, 130, 131, 132
2. Calcolo quartili per A ([math]n=12[/math], pari)
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Mediana } Q_2 = \text{media tra 6° e 7° dato:} \\
&6°=119, 7°=120 \to Q_2=119,5 \\
&\text{Metà inferiore (primi 6): 115,116,117,118,118,119} \\
&\text{mediana = media tra 3° e 4°} \\
&= (117+118)/2 = 117,5 \to Q_1=117,5 \\
&\text{Metà superiore (ultimi 6): 120,121,122,123,124,125} \\
&\text{mediana = (122+123)/2 = 122,5} \to Q_3=122,5 \\
&IQR = Q_3 – Q_1 = 122,5 – 117,5 = 5
\end{aligned}[/math]
Verifica outlier:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Limite inferiore} = 117,5 – 1,5 \cdot 5 \\
&= 117,5 – 7,5 = 110 \\
&\text{Limite superiore} = 122,5 + 7,5 = 130
\end{aligned}[/math]
Tutti i valori A sono tra 115 e 125 → nessun outlier.
3. Calcolo quartili per B
Dati ordinati: 105, 107, 108, 109, 110, 112, 125, 128, 129, 130, 131, 132
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Mediana: 6°=112, 7°=125} \to Q_2=118,5 \\
&\text{Metà inferiore: 105,107,108,109,110,112} \\
&\text{mediana = (108+109)/2 = 108,5} \to Q_1=108,5 \\
&\text{Metà superiore: 125,128,129,130,131,132} \\
&\text{mediana = (129+130)/2 = 129,5} \to Q_3=129,5 \\
&IQR = 129,5 – 108,5 = 21
\end{aligned}[/math]
Verifica outlier:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Limite inferiore} = 108,5 – 1,5 \cdot 21 \\
&= 108,5 – 31,5 = 77 \\
&{} \quad \text{(nessun dato sotto)} \\
&\text{Limite superiore} = 129,5 + 31,5 = 161 \\
&{} \quad \text{(nessun dato sopra)}
\end{aligned}[/math]
Tutti i valori B sono tra 105 e 132 → nessun outlier.
4. Confronto stabilità
IQR di A (5) è molto più piccolo di IQR di B (21). La strategia A ha costi più concentrati attorno alla mediana, quindi è più stabile e prevedibile. B presenta maggiore dispersione: alcuni giorni molto bassi (105-110) alternati a giorni molto alti (125-132), meno adatta per un budget costante.
💡 Osservazione
L’IQR resiste agli outlier, ma qui non ce ne sono. Per avere un’idea della variabilità globale si potrebbe usare anche lo scarto interdecile ([math]P_{90} – P_{10}[/math]), ma l’IQR è sufficiente.
❓ Domanda di riflessione
Se nella strategia B aggiungessimo un valore anomalo di 200 €, come cambierebbero [math]Q_1[/math] e [math]Q_3[/math]? E l’IQR?
Esercizio 4 – Difficile
Stima dei percentili dal poligono delle frequenze cumulate
Il grafico sotto rappresenta le frequenze cumulate relative dei risparmi mensili (in €) di 200 giovani lavoratori.
| Risparmio (€) | 0-50 | 50-100 | 100-150 | 150-200 | 200-250 |
|---|---|---|---|---|---|
| Frequenza cum. rel. | 0,10 | 0,35 | 0,65 | 0,85 | 1,00 |
Determina graficamente e poi calcola con esattezza i percentili [math]P_{20}[/math], [math]P_{60}[/math] e [math]P_{90}[/math]. Spiega come il responsabile delle risorse umane potrebbe usare questi valori per progettare un piano di incentivazione al risparmio.
Soluzione
1. Dati e interpretazione
Le frequenze cumulate relative indicano la proporzione di individui che risparmiano al massimo un certo importo.
[math]n=200[/math].
Per calcolare un percentile [math]P_k[/math]: trovare il valore [math]x[/math] tale che la proporzione di dati [math]\le x[/math] sia [math]k/100[/math].
2. Calcolo di [math]P_{20}[/math]
[math]k=20[/math] → proporzione 0,20.
Dalla tabella:
- a 50 € → cumulata 0,10
- a 100 € → cumulata 0,35
La cumulata 0,20 si trova nella classe 50-100.
Interpolazione lineare:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Tra (50; 0,10) e (100; 0,35) la proporzione varia} \\
&{} \quad \text{di 0,25 su un intervallo di 50 €.} \\
&\text{Per passare da 0,10 a 0,20 serve un incremento} \\
&{} \quad \text{di 0,10 in proporzione.} \\
&\text{Incremento in €} : \frac{0,10}{0,25} \cdot 50 = 20 \text{ €.} \\
&P_{20} = 50 + 20 = 70 \text{ €.}
\end{aligned}[/math]
3. Calcolo di [math]P_{60}[/math]
Proporzione 0,60. Classe 100-150 (cumulata 0,35 → 0,65).
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Punto base (100;0,35), obiettivo 0,60} \\
&\to \text{differenza di proporzione} = 0,25. \\
&\text{L’intervallo 100-150 ha ampiezza 50 € e} \\
&{} \quad \text{differenza di cumulata 0,30 (da 0,35 a 0,65).} \\
&\text{Incremento} = \frac{0,25}{0,30} \cdot 50 = \frac{5}{6} \cdot 50 \approx 41,67 \text{ €.} \\
&P_{60} = 100 + 41,67 = 141,67 \text{ €.}
\end{aligned}[/math]
4. Calcolo di [math]P_{90}[/math]
Proporzione 0,90. Classe 200-250 (cumulata 0,85 → 1,00).
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Base (200;0,85), differenza proporzione} = 0,05. \\
&\text{Ampiezza classe 50 €, differenza cumulata 0,15.} \\
&\text{Incremento} = \frac{0,05}{0,15} \cdot 50 = \frac{1}{3} \cdot 50 \approx 16,67 \text{ €.} \\
&P_{90} = 200 + 16,67 = 216,67 \text{ €.}
\end{aligned}[/math]
Come si legge
Ogni punto della spezzata blu indica, per un dato limite di classe (0, 50, 100, …), la frequenza relativa cumulata.
Esempio: il punto (100; 0,35) significa che il 35% dei giovani risparmia al massimo 100 €.
La curva è non decrescente e va da (0,0) a (250,1).
Interpolazione lineare per i percentili
Per trovare, ad esempio, [math]P_{20}[/math] (il valore sotto il quale cade il 20% dei dati):
- Si individua sull’asse [math]y[/math] il valore 0,20.
- Si traccia una linea orizzontale (rossa tratteggiata) fino a incontrare la spezzata.
- L’intersezione cade tra i punti (50; 0,10) e (100; 0,35).
- Da lì si scende verticalmente all’asse [math]x[/math]: si ottiene circa 70 €.
Lo stesso procedimento vale per [math]P_{60}[/math] (0,60) e [math]P_{90}[/math] (0,90).
Limite importante
L’interpolazione lineare assume che, all’interno di ogni classe, i dati siano distribuiti uniformemente.
-
Se i dati reali non lo sono (ad esempio, molti valori vicini all’estremo inferiore della classe), la stima del percentile può essere leggermente distorta.
-
Per dati raggruppati è comunque la miglior approssimazione possibile senza conoscere la distribuzione esatta.
5. Interpretazione per budgeting aziendale
- Il 20% risparmia [math]\le 70[/math] €: potrebbero avere difficoltà a risparmiare.
- Il 60% risparmia [math]\le 141,67[/math] €: la maggioranza risparmia meno di 150 €.
- Il 90% risparmia [math]\le 216,67[/math] €: solo il 10% supera questa soglia.
Queste informazioni suggeriscono di fissare obiettivi di risparmio differenziati:
- Soglia minima per bonus: poco sopra [math]P_{60}[/math] (es. 150 €).
- Soglia per super-bonus: sopra [math]P_{90}[/math] (es. 220 €).
- Programmi di educazione finanziaria per chi è sotto [math]P_{20}[/math].
Per incentivare il risparmio, si potrebbero, inoltre, offrire bonus a chi supera [math]P_{60}[/math] (ottiene un piccolo premio) e un premio maggiore a chi supera [math]P_{90}[/math] (top risparmiatori).
❓ Domanda di riflessione
Perché [math]P_{50}[/math] (mediana) calcolato con questo metodo darebbe un valore diverso rispetto alla mediana calcolata sui dati grezzi, se i dati non fossero uniformemente distribuiti nelle classi?
Risposte alle domande di riflessione
Esercizio 1
Proprietà usata: Dopo aver trovato la mediana, si esclude la mediana stessa (nei dati con [math]n[/math] pari, la mediana è la media di due valori, quindi di fatto nessun valore viene escluso; si prendono le due metà separate). Per [math]n[/math] pari si prendono i due sottoinsiemi di uguale numerosità e si calcola la mediana di ciascuno.
Esercizio 2
Perché si usa [math]\frac{k}{100} \cdot n[/math] e non [math]\frac{k}{100} \cdot (n+1)[/math]?
Nei dati raggruppati si usa la posizione assoluta [math]\frac{k}{100} \cdot n[/math] perché lavoriamo con classi e frequenze, e l’obiettivo è trovare il valore che lascia sotto una proporzione [math]k/100[/math] delle osservazioni. La formula [math](n+1)[/math] è usata in alcune definizioni di percentile per dati grezzi al fine di garantire simmetria e valori sempre compresi tra minimo e massimo. Nei raggruppati la distinzione è irrilevante perché il calcolo è un’interpolazione.
Esercizio 3
Se si aggiunge valore 200 a B: [math]Q_1[/math] resterebbe invariato (108,5) perché il nuovo valore, essendo grande, non influisce sulla metà inferiore. [math]Q_3[/math] aumenterebbe perché la metà superiore ora conterrebbe 7 valori (125, 128, 129, 130, 131, 132, 200) e la mediana di questi 7 sarebbe 130. Quindi [math]Q_3[/math] passerebbe da 129,5 a 130.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{L’IQR diventerebbe } 130 – 108,5 = 21,5 \\
&{} \quad \text{(leggermente più grande), ma non aumenterebbe} \\
&{} \quad \text{in modo sproporzionato grazie alla robustezza} \\
&{} \quad \text{dell’IQR rispetto agli outlier.}
\end{aligned}[/math]
Esercizio 4
Perché [math]P_{50}[/math] differisce?
La mediana calcolata dal poligono assume uniformità dentro la classe. Se i dati non sono uniformi, la vera mediana dei dati grezzi potrebbe cadere in un punto diverso all’interno della classe. Il metodo grafico dà una stima lineare che può essere imprecisa se la densità non è costante.
Commento Applicativo
Esercizio 1 (Il limite psicologico):
Mostra una differenza cruciale tra matematica ed economia domestica. La matematica ci dà 52,5 €, ma il cervello umano gestisce meglio i numeri interi. L’arrotondamento per eccesso a 53 € è l’applicazione pratica del principio di prudenza finanziaria.
Esercizio 2 (La perdita di dettaglio):
Evidenzia il compromesso delle grandi organizzazioni (come un condominio). L’amministratore non analizza ogni singola bolletta, ma raggruppa i dati. Usare [math]P_{70}[/math] non serve per giudicare, ma per creare “sistemi di allarme” automatici.
Esercizio 3 (L’inganno della media):
È forse l’esercizio più potente. Dimostra che due strategie aziendali apparentemente simili (stessi costi mediani) possono avere impatti devastanti sulla cassa. Se un’azienda ha liquidità stretta, la Strategia B è letale a causa dei suoi sbalzi, un dettaglio che l’IQR svela immediatamente.
Esercizio 4 (Gamification e HR):
La statistica qui diventa uno strumento psicologico. Usare i percentili permette all’azienda di non fissare target di premio irraggiungibili, modellando le soglie di welfare basandosi sul comportamento reale dei propri dipendenti e non su stime astratte.
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