Test di Logrank in Python: Kaplan-Meier, survival analysis e confronto delle curve

Quando analizziamo i dati di un trial clinico, il tempo diventa una variabile fondamentale.

Non basta sapere se un paziente è deceduto oppure no.

Dobbiamo sapere quando si è verificato l’evento.

La stessa logica compare in molti altri contesti:

• tempo fino alla recidiva di una malattia;
• tempo fino al guasto di un macchinario;
• tempo fino all’abbandono di un servizio;
• tempo fino al churn di un cliente;
• tempo necessario affinché un utente completi un’azione;
• durata di un trattamento prima della sua interruzione.

Questi problemi appartengono alla survival analysis, o analisi di sopravvivenza.

Una delle difficoltà principali è che non sempre osserviamo l’evento per tutti i soggetti. Alcuni pazienti possono abbandonare lo studio, altri possono essere ancora vivi alla fine del follow-up. Queste osservazioni sono censurate.

Il test di Logrank nasce proprio per confrontare due o più gruppi tenendo conto della dimensione temporale del problema e delle censure.

Ma c’è un punto fondamentale:

Il Logrank non confronta semplicemente quanti eventi si sono verificati nei due gruppi. Confronta come gli eventi si distribuiscono nel tempo, considerando chi era ancora a rischio in ciascun momento.

In questo articolo costruiremo il concetto passo dopo passo, attraverso esempi progressivi, e vedremo anche come passare dal calcolo manuale a Python.

Perché non basta contare gli eventi?

Immaginiamo due trattamenti con 100 pazienti ciascuno.

Nel gruppo A osserviamo 30 decessi.

Nel gruppo B osserviamo 40 decessi.

Una prima analisi potrebbe essere:

“Il trattamento A sembra migliore perché ha meno decessi.”

Ma questa conclusione potrebbe essere completamente sbagliata.

Supponiamo infatti che:

• nel gruppo A i 30 decessi si verifichino nei primi mesi;
• nel gruppo B i 40 decessi si verifichino soprattutto alla fine del follow-up.

Il semplice conteggio finale non racconta la stessa storia che racconterebbe la distribuzione temporale degli eventi.

La survival analysis cerca quindi di rispondere a una domanda più informativa:

Qual è il rischio di osservare l’evento nel tempo e come differisce tra i gruppi?

La censura: quando non osserviamo l’evento

Supponiamo di seguire un paziente per 24 mesi.

Se il paziente muore al mese 15, osserviamo:

• tempo = 15;
• evento = 1.

Ma se al mese 24 il paziente è ancora vivo, non possiamo dire che il paziente “non morirà”.

Sappiamo soltanto che:

il paziente è sopravvissuto almeno 24 mesi.

Avremo quindi:

• tempo = 24;
• evento = 0.

Questa è una censura a destra.

La distinzione è fondamentale.

Evento

Il fenomeno che stiamo studiando si è verificato.

Censura

Non abbiamo osservato l’evento durante il periodo di osservazione.

La censura non significa quindi “nessun evento”.

Significa:

non sappiamo cosa sarebbe successo dopo il momento della censura.

Commento applicativo

Immaginiamo di analizzare il churn di un SaaS.

Un cliente entra a gennaio e rimane attivo fino a dicembre, quando termina il periodo di osservazione.

Non possiamo classificare quel cliente come “non churner”.

Possiamo soltanto affermare:

il cliente non ha effettuato churn durante i 12 mesi osservati.

Trattarlo come un cliente che non farà mai churn introdurrebbe un errore concettuale.

Kaplan-Meier: prima osserviamo le curve

Prima di applicare il Logrank è utile costruire le curve di Kaplan-Meier.

La funzione di sopravvivenza è:

[math]\displaystyle S(t) = P(T > t)[/math]

e rappresenta la probabilità stimata di non aver ancora osservato l’evento entro il tempo [math]t[/math].

La stima di Kaplan-Meier è:

[math]\displaystyle \hat S(t) = \prod_{t_i \le t} \left(1 – \frac{d_i}{n_i}\right)[/math]

dove:

• [math]t_i[/math] è un tempo in cui si verifica almeno un evento;
• [math]d_i[/math] è il numero di eventi a quel tempo;
• [math]n_i[/math] è il numero di soggetti a rischio immediatamente prima di quel tempo.

Le osservazioni censurate non fanno scendere direttamente la curva, ma modificano il numero di soggetti ancora a rischio nei tempi successivi.

Che cos’è il test di Logrank?

Il Logrank è un test non parametrico utilizzato per confrontare le curve di sopravvivenza di due o più gruppi.

L’ipotesi nulla, nel caso di due gruppi, è:

[math]\displaystyle H_0: \text{nessuna differenza sistematica tra le curve di sopravvivenza}[/math]

L’alternativa è:

[math]\displaystyle H_1: \text{le curve differiscono}[/math]

Il principio è semplice.

Ad ogni tempo in cui si verifica un evento chiediamo:

Quanti eventi ci aspetteremmo nel gruppo A se le due popolazioni avessero lo stesso rischio?

Confrontiamo quindi:

[math]\displaystyle O_A[/math]

eventi osservati nel gruppo A con:

[math]\displaystyle E_A[/math]

eventi attesi nel gruppo A.

La differenza viene accumulata lungo tutto il follow-up.

Il concetto fondamentale: il risk set

Supponiamo che al tempo [math]t[/math]:

• [math]n_A[/math] soggetti siano ancora a rischio nel gruppo A;
• [math]n_B[/math] siano ancora a rischio nel gruppo B;
• [math]d[/math] siano gli eventi totali.

Sotto [math]H_0[/math], l’evento dovrebbe essere distribuito proporzionalmente alla numerosità dei gruppi ancora a rischio.

L’evento atteso nel gruppo A è:

[math]\displaystyle E_A = \frac{n_A}{n_A + n_B} d[/math]

Questo passaggio è il cuore del Logrank.

Non utilizziamo quindi la numerosità iniziale.

Utilizziamo:

la numerosità dei soggetti ancora a rischio in quel momento.

Un esempio 

Supponiamo che al mese 10 siano ancora a rischio:

• 80 pazienti nel gruppo A;
• 40 pazienti nel gruppo B.

In quel momento si verifica un evento.

Il totale a rischio è:

[math]\displaystyle 80 + 40 = 120[/math]

La probabilità che, sotto [math]H_0[/math], l’evento appartenga al gruppo A è:

[math]\displaystyle \frac{80}{120} = \frac{2}{3}[/math]

Quindi l’evento atteso per A è:

[math]\displaystyle E_A = \frac{2}{3}[/math]

Se osserviamo invece l’evento nel gruppo B:

[math]\displaystyle O_A = 0[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle O_A – E_A = -\frac{2}{3}[/math]

Ripetiamo il procedimento per tutti i tempi di evento.

È la somma di queste differenze che costituisce l’informazione utilizzata dal test.

La statistica del Logrank

Nel caso di due gruppi, la statistica può essere espressa come:

[math]\displaystyle \chi^2 = \frac{(O_A – E_A)^2}{V_A}[/math]

dove [math]V_A[/math] è la varianza della differenza tra eventi osservati e attesi sotto [math]H_0[/math].

Per un singolo tempo:

[math]\displaystyle V_i = \frac{n_{Ai} n_{Bi} d_i (n_i – d_i)}{n_i^2 (n_i – 1)}[/math]

con:

[math]\displaystyle n_i = n_{Ai} + n_{Bi}[/math]

La varianza complessiva è:

[math]\displaystyle V = \sum_i V_i[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \chi^2 = \frac{(O_A – E_A)^2}{V}[/math]

Per due gruppi, la statistica segue approssimativamente una distribuzione [math]\chi^2[/math] con un grado di libertà.

Esercizio 1 — Perché una tabella 2×2 non è un Logrank

Consideriamo 100 pazienti:

Potremmo costruire una tabella 2×2 e applicare un test [math]\chi^2[/math].

Gli eventi attesi nel gruppo A sarebbero:

[math]\displaystyle E_A = \frac{50 \times 37}{100} = 18.5[/math]

La statistica [math]\chi^2[/math] sarebbe:

[math]\displaystyle \chi^2 = \frac{(15 – 18.5)^2}{18.5} + \frac{(22 – 18.5)^2}{18.5}[/math]

ottenendo:

[math]\displaystyle \chi^2 \approx 1.324[/math]

Il risultato non è significativo a [math]\alpha = 0.05[/math].

Ma attenzione

Questo non è un test di Logrank.

È un test sulle proporzioni finali.

Mancano infatti i tempi degli eventi.

Non sappiamo se i 15 decessi di A siano avvenuti:

• tutti nei primi mesi;
• tutti alla fine;
• oppure distribuiti uniformemente.

Il Logrank avrebbe bisogno proprio di questa informazione.

Commento applicativo

Questa distinzione è fondamentale.

Se abbiamo soltanto:

evento sì/no alla fine dello studio

possiamo utilizzare metodi per dati binari.

Se abbiamo:

tempo + evento/censura

entriamo nel dominio della survival analysis.

Non bisogna trasformare automaticamente un problema di sopravvivenza in una tabella 2×2.

Logrank e assunzione di proportional hazards

A questo punto è importante correggere un equivoco frequente.

Il Logrank non richiede che l’hazard sia costante nel tempo.

L’assunzione di proportional hazards riguarda invece il rapporto tra gli hazard dei gruppi:

[math]\displaystyle HR(t) = \frac{h_A(t)}{h_B(t)}[/math]

Se:

[math]\displaystyle HR(t) = HR[/math]

indipendentemente da [math]t[/math], abbiamo proportional hazards.

Gli hazard possono comunque aumentare o diminuire nel tempo.

Perché è importante?

Il Logrank è particolarmente efficiente quando le differenze tra i gruppi sono coerenti nel tempo.

Se invece:

• le curve si incrociano;
• il beneficio compare molto tardi;
• il trattamento ha effetti iniziali e tardivi molto diversi;

il Logrank standard può perdere potenza o produrre un risultato globale difficile da interpretare.

Come verificare la proportional hazards

Non esiste un singolo controllo sufficiente.

Possiamo utilizzare:

1. Ispezione grafica

Osserviamo le curve di Kaplan-Meier.

Curve che si incrociano possono essere un segnale di non-proporzionalità.

2. Grafici log(-log)

I grafici delle trasformazioni:

[math]\displaystyle \log[-\log S(t)][/math]

possono fornire indicazioni sulla proportional hazards.

3. Residui di Schoenfeld

Nel modello di Cox possiamo utilizzare i residui di Schoenfeld per verificare se l’effetto delle covariate cambia nel tempo.

4. Analisi dell’effetto nel tempo

Possiamo stimare effetti separati in intervalli temporali diversi.

Esercizio 3 — Tre gruppi e stratificazione

Supponiamo di confrontare tre trattamenti:

• Gruppo 1: terapia standard;
• Gruppo 2: terapia + anticorpo monoclonale;
• Gruppo 3: terapia + immunoterapia.

I pazienti sono inoltre classificati per stadio della malattia:

• I-II;
• III-IV.

Il problema è che lo stadio può essere associato sia alla sopravvivenza sia alla scelta o all’effetto del trattamento.

Per evitare che questa variabile distorca il confronto, possiamo utilizzare un Logrank stratificato.

Passo 1 — Costruiamo i risk set all’interno di ciascuno strato

Non confrontiamo semplicemente:

[math]\displaystyle O_1, O_2, O_3[/math]

sull’intero campione.

Costruiamo invece i confronti separatamente per:

• strato I-II;
• strato III-IV.

All’interno di ogni strato calcoliamo:

[math]\displaystyle O_{gj}[/math]

e:

[math]\displaystyle E_{gj}[/math]

per ciascun gruppo [math]g[/math].

Passo 2 — Sommiamo le informazioni degli strati

In forma matriciale, il test stratificato utilizza:

[math]\displaystyle \mathbf{O} – \mathbf{E}[/math]

e la matrice di covarianza:

[math]\displaystyle \mathbf{V}[/math]

La statistica è:

[math]\displaystyle \chi^2 = (\mathbf O – \mathbf E)^T \mathbf V^{-1} (\mathbf O – \mathbf E)[/math]

Nel caso di tre gruppi, i gradi di libertà sono:

[math]\displaystyle 3 – 1 = 2[/math]

Commento applicativo

La stratificazione è utile quando vogliamo controllare una variabile che influenza il rischio di base ma non è necessariamente il nostro oggetto principale di studio.

Un esempio tipico è:

confronto di trattamenti stratificando per centro clinico.

Oppure:

confronto di churn stratificando per segmento di cliente.

Attenzione

Non possiamo calcolare correttamente un vero Logrank stratificato avendo soltanto il numero finale di eventi per strato.

Servono i tempi degli eventi e i risk set.

Questo è un punto metodologico da non sacrificare per ottenere un esercizio numericamente semplice.

Cosa succede se gli eventi vengono ritardati?

Supponiamo ora che gli eventi nel gruppo T si verifichino sistematicamente più tardi.

Il numero totale degli eventi potrebbe rimanere:

[math]\displaystyle 10[/math]

ma il trattamento avrebbe una curva di sopravvivenza migliore per una parte significativa del follow-up.

Il Logrank può quindi rilevare una differenza che una semplice tabella finale non vedrebbe.

Questo è il motivo per cui il tempo è informazione.

Esercizio 5 — Potenza statistica: contano gli eventi

Consideriamo un trial:

• 200 pazienti nel gruppo A;
• 200 nel gruppo B;
• HR atteso = 0.75;
• [math]\alpha = 0.05[/math];
• potenza desiderata = 80%.

Sono stati osservati:

• 85 eventi in A;
• 100 eventi in B.

Totale:

[math]\displaystyle D = 185[/math]

Passo 1 — Perché il numero di eventi è importante?

Nel Logrank l’informazione statistica disponibile dipende fortemente dal numero di eventi osservati.

Avere 400 pazienti non significa necessariamente avere 400 unità di informazione.

Se molti pazienti sono censurati perché:

• lo studio termina troppo presto;
• il follow-up è breve;
• il fenomeno è raro;

il numero effettivo di eventi può essere basso.

Passo 2 — Numero di eventi necessario

Una forma comune dell’approssimazione di Freedman, per allocazione 1:1 e test bilaterale, è:

[math]\displaystyle D \approx \frac{4(z_{\alpha/2} + z_\beta)^2}{[\log(HR)]^2}[/math]

Con:

[math]\displaystyle HR = 0.75[/math]

[math]\displaystyle z_{\alpha/2} = 1.96[/math]

e:

[math]\displaystyle z_\beta \approx 0.842[/math]

otteniamo circa:

[math]\displaystyle D \approx 379[/math]

eventi.

Il nostro studio ne ha soltanto:

[math]\displaystyle 185[/math]

Passo 3 — Stima approssimata della potenza

Con 185 eventi, l’informazione disponibile è circa la metà di quella necessaria.

L’approssimazione porta a una potenza intorno al:

[math]\displaystyle 50\%[/math]

anziché all’80%.

Conclusione

Lo studio è fortemente sotto-dimensionato rispetto all’effetto che si voleva rilevare.

Ma attenzione:

un risultato non significativo in uno studio underpowered non dimostra che il trattamento sia inefficace.

Dimostra che i dati raccolti potrebbero non essere sufficienti per distinguere l’effetto dal rumore statistico.

Commento applicativo

Questo concetto vale anche fuori dalla ricerca clinica.

Immaginiamo di studiare il churn di un SaaS.

Abbiamo 100.000 clienti, ma soltanto 300 churn durante il periodo osservato.

Il numero totale di clienti può sembrare enorme.

Tuttavia, per alcune analisi di survival, l’informazione disponibile è determinata soprattutto dal numero e dalla distribuzione temporale degli eventi.

La domanda corretta non è soltanto:

“Quanti clienti abbiamo?”

ma:

“Quanti eventi abbiamo osservato e con quale distribuzione temporale?”

Esercizio 6 — Quando il Logrank standard non basta

Consideriamo un trial in cui un nuovo trattamento produce un effetto molto particolare.

Durante i primi 12 mesi:

• il beneficio è modesto.

Dopo 12 mesi:

• il beneficio diventa molto più evidente.

Questo può accadere, per esempio, con alcuni trattamenti il cui effetto biologico richiede tempo per manifestarsi.

In una situazione del genere le curve di Kaplan-Meier possono inizialmente essere molto vicine e successivamente separarsi.

Passo 1 — Il problema della non-proportional hazards

Supponiamo che l’effetto relativo sia diverso nei due periodi.

Non possiamo descriverlo bene con un unico:

[math]\displaystyle HR[/math]

costante nel tempo.

Questo è un caso di non-proportional hazards.

Passo 2 — Il Logrank standard

Il Logrank standard continua comunque a produrre una statistica globale.

Ma quella statistica riassume l’intero follow-up.

Se l’effetto:

• è piccolo all’inizio;
• molto grande dopo;

il test globale può non rappresentare adeguatamente la struttura temporale dell’effetto.

Test di Fleming-Harrington

Una possibile alternativa è utilizzare test di Logrank pesati.

La famiglia di Fleming-Harrington utilizza pesi della forma:

[math]\displaystyle w(t) = \hat S(t)^\rho [1 – \hat S(t)]^\gamma[/math]

La scelta di [math]\rho[/math] e [math]\gamma[/math] determina quali parti del follow-up ricevono maggiore peso.

Per esempio:

• alcuni pesi privilegiano gli eventi iniziali;
• altri gli eventi tardivi.

Questo può essere particolarmente utile quando abbiamo un’ipotesi scientifica plausibile su quando dovrebbe manifestarsi l’effetto.

Attenzione

La scelta dei pesi non dovrebbe essere fatta semplicemente dopo aver guardato i dati e scelto quello che produce il p-value migliore.

Quando possibile, la strategia dovrebbe essere:

definita a priori nel protocollo di analisi.

Un’altra alternativa: RMST

Quando le proportional hazards non sono plausibili, una misura molto interessante è la Restricted Mean Survival Time, o RMST.

La RMST fino al tempo [math]\tau[/math] è:

[math]\displaystyle RMST(\tau) = \int_0^\tau S(t) \, dt[/math]

Intuitivamente rappresenta:

il tempo medio di sopravvivenza atteso entro un orizzonte temporale prefissato.

Possiamo quindi confrontare:

[math]\displaystyle RMST_A(\tau) – RMST_B(\tau)[/math]

Questo risultato è spesso più facilmente interpretabile di un unico hazard ratio quando le curve non sono proporzionali.

Esempio

Se:

[math]\displaystyle RMST_A(24) = 18.4[/math]

e:

[math]\displaystyle RMST_B(24) = 15.9[/math]

possiamo dire:

entro i primi 24 mesi, il gruppo A presenta una sopravvivenza media ristretta superiore di 2,5 mesi.

Per un decisore questo può essere molto più intuitivo di:

[math]\displaystyle HR = 0.72[/math]

Python: Kaplan-Meier e Logrank

Il calcolo manuale è importante per capire il metodo.

In un’analisi reale, però, utilizziamo librerie statistiche.

Una soluzione molto utilizzata in Python è lifelines.

import pandas as pd

from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.statistics import logrank_test

Supponiamo di avere:

df = pd.DataFrame({
    "time": [5, 10, 12, 15, 18, 20,
             3, 7, 11, 14, 16, 17],
    "event": [1, 1, 1, 1, 1, 1,
              1, 1, 1, 1, 1, 1],
    "group": ["T"] * 6 + ["C"] * 6
})

Separiamo i due gruppi:

T = df[df["group"] == "T"]
C = df[df["group"] == "C"]

Kaplan-Meier

kmf_T = KaplanMeierFitter()
kmf_C = KaplanMeierFitter()

kmf_T.fit(
    T["time"],
    event_observed=T["event"],
    label="Trattamento"
)

kmf_C.fit(
    C["time"],
    event_observed=C["event"],
    label="Controllo"
)

Possiamo poi visualizzare le curve:

import matplotlib.pyplot as plt

ax = kmf_T.plot()
kmf_C.plot(ax=ax)

plt.xlabel("Tempo")
plt.ylabel("Probabilità di sopravvivenza")
plt.title("Curve di Kaplan-Meier")
plt.show()

Eseguiamo il Logrank

Il confronto può essere effettuato con:

result = logrank_test(
    T["time"],
    C["time"],
    event_observed_A=T["event"],
    event_observed_B=C["event"]
)

print(result.summary)

   test_statistic         p  -log2(p)
0        0.844638  0.358074  1.481671

L’output contiene, tra le altre informazioni:

• statistica del test;
• p-value.

Interpretazione

Se:

[math]\displaystyle p < 0.05[/math]

rifiutiamo [math]H_0[/math] al livello di significatività del 5%.

Se:

[math]\displaystyle p \ge 0.05[/math]

non abbiamo evidenza sufficiente per rifiutare [math]H_0[/math].

Ancora una volta:

non rifiutare [math]H_0[/math] non significa dimostrare che le curve siano identiche.

from lifelines import CoxPHFitter

# CoxPHFitter richiede che tutte le covariate siano numeriche.
# Dobbiamo quindi trasformare la colonna 'group' da stringa a valore numerico.
# Metodo 1: dummy encoding (più generale, utile se hai più gruppi)
df_cox = pd.get_dummies(df, columns=["group"], drop_first=True)

# Metodo 2: mapping diretto (più compatto per due soli gruppi)
# df_cox = df.copy()
# df_cox["group"] = df_cox["group"].map({"T": 1, "C": 0})

cph = CoxPHFitter()

cph.fit(
    df_cox,
    duration_col="time",
    event_col="event"
)

cph.print_summary()

model                          lifelines.CoxPHFitter
duration col                   'time'
event col                      'event'
baseline estimation            breslow
number of observations         12
number of events observed      12

E se la proportional hazards viene violata?

Il modello di Cox standard può diventare problematico se:

[math]\displaystyle HR(t)[/math]

varia significativamente nel tempo.

Possiamo allora valutare:

• covariate tempo-dipendenti;
• modelli piecewise;
• test di Logrank pesati;
• RMST;
• modelli di sopravvivenza alternativi.

La scelta dipende dalla domanda scientifica.

Non esiste un “test migliore” in assoluto.

Logrank: errori da evitare

Errore 1 — Usare una tabella 2×2

Se abbiamo soltanto il numero finale di eventi, non stiamo eseguendo un vero Logrank.

Errore 2 — Ignorare la censura

Un censurato non equivale a un soggetto senza evento.

Errore 3 — Confondere hazard e probabilità

L’hazard è un concetto di rischio istantaneo, non semplicemente la probabilità cumulativa di evento.

Errore 4 — Dire che PH significa hazard costante

Non è così. PH significa che il rapporto tra gli hazard rimane costante nel tempo.

Errore 5 — Interpretare [math]p > 0.05[/math] come “nessun effetto”

Un risultato non significativo può derivare anche da potenza insufficiente.

Errore 6 — Guardare soltanto il numero di pazienti

Nella pianificazione della survival analysis il numero di eventi è fondamentale.

Errore 7 — Usare un unico HR quando le curve non sono proporzionali

Un HR medio può nascondere una dinamica temporale molto importante.

Errore 8 — Scegliere il test pesato dopo aver visto il risultato

La scelta dei pesi dovrebbe, quando possibile, essere definita prima dell’analisi.

Una strategia pratica per analizzare dati di sopravvivenza

Possiamo riassumere il workflow in questo modo:

Definisci evento e orizzonte temporale
              ↓
       Prepara i dati
              ↓
   Identifica le censure
              ↓
     Kaplan-Meier
              ↓
   Esamina le curve
              ↓
       Logrank
              ↓
    ┌─────────┴─────────┐
    ↓                   ↓
PH plausibile       PH dubbia/violata
    ↓                   ↓
Logrank + Cox      Test pesati / RMST /
                   Cox time-varying
              ↓
      Interpreta l'effetto
              ↓
     Valuta potenza e
     numero di eventi

Questo workflow è molto più importante della memorizzazione della formula.

Tabella decisionale

La lezione più importante

Il test di Logrank non è semplicemente una formula.

È un modo diverso di pensare ai dati.

In un problema classico possiamo chiederci:

Quanti clienti hanno fatto churn?

Nella survival analysis la domanda diventa:

Quando hanno fatto churn e quanti clienti erano ancora a rischio in quel momento?

In un trial clinico non chiediamo soltanto:

Quanti pazienti sono deceduti?

Chiediamo:

Quando si sono verificati i decessi e quanti pazienti erano ancora sotto osservazione e a rischio?

Questa differenza trasforma completamente l’analisi.

In sintesi

Il Logrank è uno degli strumenti fondamentali della survival analysis perché permette di confrontare curve di sopravvivenza tenendo conto:

• del tempo;
• degli eventi;
• delle censure;
• dei soggetti ancora a rischio.

Il procedimento può essere sintetizzato in cinque passaggi:

1. Costruire i risk set.
2. Calcolare gli eventi attesi.
3. Confrontarli con gli eventi osservati.
4. Calcolare la varianza e la statistica [math]\chi^2[/math].
5. Interpretare il risultato insieme alle curve di Kaplan-Meier e al contesto applicativo.

Ma il punto più importante arriva dopo il calcolo.

Un buon analista non si limita a chiedere:

“Il p-value è inferiore a 0,05?”

Deve chiedersi anche:

• Le curve sono proporzionali?
• Quanto è grande l’effetto?
• Quando compare l’effetto?
• Quanti eventi abbiamo osservato?
• Il follow-up è sufficiente?
• Le censure possono influenzare l’analisi?
• Il risultato è clinicamente o economicamente rilevante?
• Un unico hazard ratio descrive davvero il fenomeno?

La survival analysis è potente proprio perché obbliga a considerare il tempo come informazione.

E questo è il vero significato del test di Logrank:

non confrontare soltanto quanti eventi si verificano, ma confrontare come il rischio di evento evolve nel tempo.