Chiunque tenga traccia delle proprie spese lo sa bene: ci sono mesi in cui tutto fila liscio e mesi in cui l’auto decide di rompersi, portandosi via una fetta enorme del bilancio.
Quando guardiamo i nostri dati a fine anno, queste spese improvvise rischiano di distorcere la percezione di quanto spendiamo “normalmente”.
In statistica, queste anomalie si chiamano outlier. Saperli gestire non è solo un esercizio accademico, ma una competenza utile per leggere la realtà che ci circonda, dai nostri conti correnti alle disuguaglianze economiche del nostro Paese.
In questo articolo affronteremo due scenari molto concreti e useremo la statistica descrittiva per fare chiarezza su soldi e bilanci.
Esercizio 1 – Molto difficile (sfida)
Budget familiare con outlier: effetto sui quartili
Una famiglia registra le spese mensili per trasporti (€) in un anno:
Gen: 85, Feb: 90, Mar: 88, Apr: 120 (cambio gomme), Mag: 92, Giu: 87, Lug: 185 (riparazione auto), Ago: 89, Set: 91, Ott: 86, Nov: 275 (guasto grave), Dic: 95.
- a) Calcola [math]Q_1, Q_2, Q_3[/math] e IQR per l’intero dataset.
- b) Identifica gli outlier usando la regola dell’IQR.
- c) Ricalcola i quartili e l’IQR eliminando gli outlier.
Confronta i risultati e commenta l’effetto sul budgeting.
Soluzione
1. Ordinamento dei dati
85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 95, 120, 185, 275
[math]n = 12[/math]
2. Quartili (con outlier)
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Mediana } Q_2: \text{tra 6°(90) e 7°(91)} \to 90,5 \\
&Q_1: \text{primi 6 valori: 85, 86, 87, 88, 89, 90} \\
& \quad \to \text{mediana} = (87+88)/2 = 87,5 \\
&Q_3: \text{ultimi 6 valori: 91, 92, 95, 120, 185, 275} \\
& \quad \to \text{mediana} = (95+120)/2 = 107,5 \\
&\text{IQR} = 107,5 – 87,5 = 20
\end{aligned}[/math]
Regola outlier:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Limite inferiore} = 87,5 – 1,5 \cdot 20 = 57,5 \\
&{} \quad \to \text{nessun dato inferiore.} \\
&\text{Limite superiore} = 107,5 + 1,5 \cdot 20 = 137,5 \\
&{} \quad \to \text{valori } > 137,5: 185 \text{ e } 275 \to \text{outlier.}
\end{aligned}[/math]
3. Dati senza outlier
Rimuoviamo 185 e 275 → nuovo dataset: 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 95, 120
[math]n = 10[/math]
4. Quartili senza outlier
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Mediana } Q_2: \text{media tra 5°(89) e 6°(90)} \to 89,5 \\
&Q_1: \text{primi 5 valori (85, 86, 87, 88, 89)} \to \text{mediana} = 87 \\
&Q_3: \text{ultimi 5 valori (90, 91, 92, 95, 120)} \to \text{mediana} = 92 \\
&\text{IQR} = 92 – 87 = 5
\end{aligned}[/math]
5. Confronto
| Parametro | Con outlier | Senza outlier |
|---|---|---|
| [math]Q_1[/math] | [math]87,5[/math] | [math]87[/math] |
| [math]Q_2[/math] | [math]90,5[/math] | [math]89,5[/math] |
| [math]Q_3[/math] | [math]107,5[/math] | [math]92[/math] |
| IQR | 20 | 5 |
L’effetto è drammatico: i due outlier (riparazioni straordinarie) hanno alzato [math]Q_3[/math] di oltre 15 € e gonfiato l’IQR di 4 volte.
Per il budgeting mensile, usare i quartili senza outlier fornisce una visione della spesa “normale” (tipicamente tra 87 e 92 € nei mesi senza imprevisti). Gli outlier vanno pianificati separatamente come spese straordinarie, ad esempio accantonando un fondo imprevisti.
💡 Osservazione
La regola dell’IQR è un metodo robusto per individuare outlier, ma non deve essere applicata meccanicamente: un’analisi di contesto (es. una riparazione auto è davvero un evento estraneo al normale andamento?) decide se eliminarli o meno.
❓ Domanda di riflessione
Perché la mediana ([math]Q_2[/math]) cambia poco (90,5 → 89,5) mentre [math]Q_3[/math] cambia molto? Quale proprietà dei quartili spiega questa resistenza?
Risposta
La mediana è un quantile resistente (robusto) perché dipende solo dalla posizione centrale. Gli outlier estremi influenzano poco la posizione del valore centrale (a patto che non spostino l’ordine dei dati centrali).
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{In questo caso, gli outlier sono in coda, quindi la} \\
&\text{mediana resta quasi uguale. } Q_3 \text{ invece, essendo più} \\
&\text{vicino alla coda, viene trascinato verso l’alto.}
\end{aligned}[/math]
Questa proprietà è fondamentale nel budgeting: la mediana è un indicatore migliore della “spesa tipica” rispetto alla media, e l’IQR depurato dagli outlier descrive la variabilità delle spese ordinarie.
Esercizio 2 – Difficile
Reddito e posizione percentile in una città
In una città, la distribuzione dei redditi familiari mensili netti (in €) è descritta dai seguenti decili (ricavati da un’indagine):
| Decile | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Reddito | 1200 | 1500 | 1700 | 1900 | 2100 | 2400 | 2800 | 3300 | 4000 |
(Si suppone che i valori siano i limiti superiori di ogni decile, cioè il 10% delle famiglie ha reddito [math]\le 1200[/math], il 20% [math]\le 1500[/math], …, il 90% [math]\le 4000[/math].)
Un nucleo familiare ha un reddito di 3100 €.
- a) A quale percentile corrisponde approssimativamente?
- b) Quale reddito bisogna avere per rientrare nel 5% più ricco della città?
- c) Il sindaco vuole tassare con un’aliquota straordinaria il 2% dei redditi più alti. Quale soglia deve impostare?
Usa interpolazione lineare tra i decili noti.
Soluzione
Richiami
I decili dividono in 10 parti. Il [math]d_j[/math] (j-esimo decile) è il reddito che lascia sotto il [math]j \cdot 10\%[/math] delle osservazioni. Qui i redditi indicati sono i valori dei decili [math]D_1, D_2, \dots, D_9[/math].
a) Percentile per reddito 3100 €
Osserviamo la tabella:
- [math]D_7 = 2800 \to 70\%[/math] delle famiglie ha reddito [math]\le 2800[/math]
- [math]D_8 = 3300 \to 80\% \le 3300[/math]
3100 è tra 2800 e 3300. Interpoliamo la posizione percentile [math]p[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
p &= 70 + \frac{3100 – 2800}{3300 – 2800} \cdot 10 \\
&= 70 + \frac{300}{500} \cdot 10 = 70 + 6 = 76
\end{aligned}[/math]
Quindi 3100 € corrisponde circa al 76° percentile. (Il 76% delle famiglie ha reddito [math]\le 3100[/math] €.)
b) Reddito per essere nel 5% più ricco
Essere nel 5% più ricco significa essere sopra il 95° percentile [math]P_{95}[/math]. [math]P_{95}[/math] si trova tra [math]D_9[/math] (90%, 4000 €) e il massimo (100%, sconosciuto).
Per stimare, usiamo l’intervallo tra [math]D_8[/math] (3300) e [math]D_9[/math] (4000) per estrapolare la pendenza:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Differenza di percentile tra } D_8 \text{ e } D_9: 10 \text{ punti} \\
&\text{Differenza di reddito: } 4000 – 3300 = 700 \text{ €} \\
&\text{Pendenza: } 70 \text{ € per punto percentuale.} \\
&\text{Dal 90° al 95° } \to +5 \text{ punti} \to +5 \cdot 70 = 350 \text{ €.} \\
&P_{95} \approx 4000 + 350 = 4350 \text{ €.}
\end{aligned}[/math]
c) Soglia per il 2% più ricco
2% più ricco = 98° percentile [math]P_{98}[/math]. Usando la stessa pendenza di 70 € per punto:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Dal 90 al 98 } \to +8 \text{ punti} \to +8 \cdot 70 = 560 \text{ €.} \\
&\text{Soglia} = 4000 + 560 = 4560 \text{ €.}
\end{aligned}[/math]
Quindi saranno tassate le famiglie con reddito > 4560 € (circa).
💡 Osservazione
Questa stima poggia sull’assunzione di linearità tra i decili, spesso non vera nei redditi reali (la coda è spesso più lunga). Per maggiore accuratezza si dovrebbe conoscere la distribuzione completa o usare modelli a coda pesante.
❓ Domanda di riflessione
Se la ricchezza fosse distribuita in modo molto asimmetrico (pochi individui immensamente ricchi), la nostra stima lineare di [math]P_{95}[/math] sarebbe un errore per difetto o per eccesso?
La risposta (e il limite della matematica lineare):
Sarebbe un grosso errore per difetto (una grave sottostima). Se c’è una “coda lunga” verso destra, i redditi tra il 90° e il 100° percentile non salgono come una rampa di scale regolare, ma schizzano verso l’alto in modo esponenziale.
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{L’approccio lineare usato nel nostro calcolo} \\
&\text{restituirebbe valori troppo bassi per i super-ricchi.}
\end{aligned}[/math]
Nell’analisi economica reale, la linearità viene abbandonata a favore di distribuzioni di potenza, come la Legge di Pareto (famosa per il principio 80/20, in cui una piccola percentuale della popolazione detiene la stragrande maggioranza delle risorse).
Approfondimento con i dati reali: La situazione in Italia
Per capire quanto la “coda lunga” di Pareto sia reale e incida sulla nostra economia, basta guardare i dati più recenti sulla distribuzione del reddito e della ricchezza in Italia (fonti World Inequality Database e rielaborazioni Banca d’Italia/Oxfam):
- La concentrazione della ricchezza: In Italia, si stima che il top 5% delle famiglie più ricche non detenga il 5% o il 10% delle risorse, ma concentri nelle proprie mani circa il 50% della ricchezza nazionale netta. La curva in quel segmento finale si impenna in modo così verticale che nessuna stima lineare potrebbe mai catturarla.
- L’anomalia fiscale ai vertici: Studi recenti del WID hanno dimostrato che il nostro sistema fiscale è mediamente progressivo solo fino al 95° percentile di reddito. Sorprendentemente, diventa regressivo proprio per quel “Top 5%”. Significa che, in proporzione alla loro immensa ricchezza reale, i super-ricchi finiscono per pagare un’aliquota effettiva inferiore rispetto alla classe media alta.
Ecco perché per sindaci, economisti e governi sbagliare il modello statistico (usando medie o progressioni lineari invece di analizzare i veri percentili e gli outlier) significa non comprendere affatto dove si trovi il vero bacino economico del Paese.
Note Applicative
Ho selezionato due scenari che non sono pura ginnastica mentale, ma affrontano veri e propri “bias” cognitivi e statistici:
- L’Esercizio 1 (Budget): È interessante perché insegna il concetto di Resilienza Finanziaria. Mostra matematicamente perché farsi prendere dal panico per una spesa improvvisa (guardando la media che si impenna) è sbagliato. La mediana protegge la nostra psicologia, ricordandoci qual è il nostro vero tenore di vita. Insegna inoltre che gli outlier non sono “dati sbagliati da cancellare”, ma eventi di natura diversa (rischio vs routine) che richiedono strumenti di gestione diversi (Fondo Emergenza vs Budget Mensile).
- L’Esercizio 2 (Redditi): È brillante perché contiene una trappola didattica. Fa applicare allo studente l’interpolazione lineare su un tema (il reddito) che in natura è raramente lineare. La domanda finale fa crollare l’assunto di base e introduce lo studente ai limiti dei modelli matematici semplici. Mostra la differenza tra fare i calcoli in modo meccanico e comprendere intimamente il fenomeno che si sta misurando.
📜 Il Manifesto dei Dati Quotidiani
Se c’è una lezione che questi esercizi ci lasciano, è che i numeri non servono solo a fare calcoli, ma a decodificare la realtà senza farsi ingannare dalle apparenze.
Ecco le quattro regole d’oro:
1. La mediana ti dice la verità sul tuo stile di vita
Mentre la media si lascia “corrompere” da un singolo mese folle o da una spesa improvvisa, la mediana rimane lì, ferma al centro. Rappresenta ciò che accade davvero nella maggior parte dei tuoi giorni. Se vuoi sapere quanto spendi abitualmente, guarda il valore centrale, non il totale diviso dodici.
2. Gli outlier non vanno eliminati: vanno gestiti
Identificare un outlier con la regola dell’[math]IQR[/math] non serve a cancellare il problema, ma a dargli un nome. Una riparazione da 300 € non è “spesa ordinaria”, è un rischio. Non puoi prevedere quando accadrà, ma la statistica ti dice che accadrà. La soluzione non è ignorarlo nel calcolo, ma creare un fondo imprevisti separato.
3. Le code lunghe non si stimano a occhio
Quando parliamo di ricchezza o di fenomeni sociali, la coda destra della distribuzione (i “super-ricchi” o gli eventi estremi) è dove la nostra intuizione fallisce. Pensare che tra il 90° e il 99° percentile ci sia lo stesso salto che c’è tra il 10° e il 20° è l’errore più comune dei decisori politici.
4. La linearità è un’illusione comoda ma pericolosa
Amiamo pensare che il mondo proceda per linee rette: “se raddoppio X, otterrò il doppio di Y”. Ma la realtà segue curve di Pareto, crescite esponenziali e crolli improvvisi. Usare un righello per misurare una curva ti farà sempre sottostimare la cima della montagna.
Conclusione: La statistica non è l’arte di contare, ma l’arte di pesare gli eventi per dare ad ognuno il giusto spazio nelle nostre decisioni.
La prossima volta che guardi un grafico o il tuo estratto conto, non limitarti ai totali. Cerca il centro, identifica le anomalie e ricorda che la verità, spesso, si nasconde proprio dove la linea smette di essere dritta.
Statistica & Data Analysis
👉 Percentili e quartili: cosa sono e come si calcolano
👉Statistica per il budgeting: quartili, percentili e IQR (esercizi svolti)
👉Misure di variabilità: esercizi su varianza, scarto e range
👉Interpretare gli indicatori statistici: quiz con soluzioni
