Esercizio 1 (Base) – Calcolo del quantile

Problema:

Trova il valore [math]z[/math] tale che [math]P(Z \le z) = 0.95[/math], dove [math]Z \sim N(0, 1)[/math].

Soluzione

Passo teorico: La funzione inversa della distribuzione normale standard [math]\Phi^{-1}(p)[/math] restituisce il valore [math]z[/math] tale che [math]P(Z \le z) = p[/math].

Ricerca del quantile:

Cerca [math]\Phi^{-1}(0.95)[/math] nelle tabelle della normale standard o usa un calcolatore statistico.

Risultato: [math]z \approx 1.6449[/math].

Commento

Questo valore è utile, ad esempio, per costruire intervalli di confidenza al 90% (con [math]\alpha = 0.10[/math] e coda superiore a [math]1 – \alpha/2 = 0.95[/math]).

👉Cosa sono i percentili ed i quartili e come si calcolano

Esercizio 2 (Intermedio) – Trovare un valore soglia in un test

Problema:

In un test di intelligenza, i punteggi seguono [math]X \sim N(100, 15^2)[/math]. Trova il punteggio minimo per essere nel top 10%.

Soluzione

Standardizzazione:

Trova [math]z[/math] tale che [math]P(Z \le z) = 0.90[/math] (top 10% = 90° percentile).

Dalle tabelle: [math]\Phi^{-1}(0.90) \approx 1.2816[/math].

Trasformazione inversa:

[math]X = \mu + z \cdot \sigma = 100 + 1.2816 \cdot 15 \approx 119.22[/math].

Commento

Applicazione reale: selezioni candidati per un programma avanzato basato sul punteggio minimo.

Esercizio 3 (Intermedio-Avanzato) – Intervallo di confidenza

Problema:

Un’azienda vuole stimare il tempo medio di consegna (supposto normale con [math]\sigma = 2[/math] giorni). Con un campione di 100 ordini, trova il margine di errore per un IC al 95%.

Soluzione

Quantile critico:

[math]\Phi^{-1}(0.975) = 1.96[/math] (coda bilaterale: [math]1 – \alpha/2[/math]).

Margine di errore:

[math]E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{2}{10} = 1.96 \cdot 0.2 = 0.392[/math] giorni.

Commento

L’IC al 95% sarà [math]\bar{X} \pm 0.392[/math]. Più [math]n[/math] aumenta, più [math]E[/math] si riduce.

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Esercizio 4 (Avanzato) – Calcolo della potenza di un test

Problema:

In un test [math]H_0: \mu = 50[/math] vs [math]H_1: \mu > 50[/math] con [math]\sigma = 5[/math], [math]n = 30[/math], e [math]\alpha = 0.05[/math], trova la potenza del test se [math]\mu_1 = 52[/math].

Soluzione

Soglia di rifiuto sotto [math]H_0[/math]:

[math]z_{0.95} = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.645[/math].

Soglia: [math]\bar{X}_{crit} = 50 + 1.645 \cdot \frac{5}{\sqrt{30}} \approx 50 + 1.645 \cdot \frac{5}{5.477} \approx 50 + 1.645 \cdot 0.913 \approx 50 + 1.50 \approx 51.50[/math].

Potenza:

[math]P(\bar{X} > 51.50 \mid \mu = 52)[/math].

Standardizza: [math]z = \frac{51.50 – 52}{5/\sqrt{30}} \approx \frac{-0.5}{0.913} \approx -0.55[/math].

Potenza = [math]1 – \Phi(-0.55) \approx 1 – 0.2912 = 0.7088[/math].