Come funziona la Stima di Massima Verosimiglianza (MLE): Esempi Pratici e Calcoli

Mettere all’angolo la casualità

Quando diciamo che [math]\hat{\theta} = 0.4[/math], stiamo letteralmente mettendo all’angolo la casualità.

In statistica, non cerchiamo la “verità assoluta”, ma cerchiamo di minimizzare il nostro stupore.

Se il dado fosse onesto ([math]\theta \approx 0.167[/math]), la probabilità di vedere 8 successi su 20 lanci sarebbe estremamente bassa. Scegliendo la MLE, noi diciamo:

“Tra tutti i mondi possibili, quello in cui il parametro è 0.4 è quello che spiega meglio la realtà che ho davanti agli occhi.”

Dalla teoria alla pratica

La MLE ci fornisce la “verità più probabile”, quella forza numerica che ci permette di prendere decisioni concrete nel mondo reale:

• Business: Decidere se cambiare un fornitore perché il tasso di difetti osservato è troppo lontano da quello dichiarato.
• Ingegneria: Fermare una linea di produzione se le misurazioni indicano una deriva sistematica rispetto al target.
• Vita quotidiana: Capire quando smettere di giocare perché l’evidenza dei dati suggerisce che il sistema è truccato.

In sintesi, la MLE è la nostra bussola nel rumore dei dati: non elimina l’incertezza, ma ci dice in quale direzione puntare per essere meno “sorpresi” dal futuro.

Scenario 2: misurazioni di una macchina

Una macchina riempie flaconi con un liquido. Sappiamo (per progetto) che la variabilità del processo è costante: [math]\sigma=2[/math] ml (deviazione standard nota).

Non conosciamo però la media reale [math]\mu[/math]: vogliamo stimarla dai dati.

Facciamo 5 misurazioni (in ml):

[math]x_1=98, x_2=100, x_3=101, x_4=99, x_5=102[/math]

Assumiamo:

[math]X_i \sim N(\mu, \sigma^2), \sigma=2, i=1,\dots,5[/math]

1. Scrivere la verosimiglianza

La densità di una normale è:

[math]\displaystyle \begin{aligned} f(x_i|\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(x_i – \mu)^2}{2\sigma^2}\right] \end{aligned}[/math]

La verosimiglianza congiunta (dati indipendenti):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
L(\mu) &= \prod_{i=1}^5 f(x_i|\mu) \\
&= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^5 \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^5 (x_i – \mu)^2\right]
\end{aligned}[/math]

La costante davanti non dipende da [math]\mu[/math], quindi per massimizzare [math]L(\mu)[/math] possiamo concentrarci sull’esponente.

2. Log-verosimiglianza

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\ell(\mu) &= \log L(\mu) \\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^5 (x_i – \mu)^2 + \text{costante}
\end{aligned}[/math]

Massimizzare [math]\ell(\mu)[/math] equivale a minimizzare:

[math]\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i=1}^5 (x_i – \mu)^2 \end{aligned}[/math]

3. Derivare e trovare il massimo

Consideriamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned} S(\mu) = \sum_{i=1}^5 (x_i – \mu)^2 \end{aligned}[/math]

Deriviamo rispetto a [math]\mu[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{dS}{d\mu} &= \sum_{i=1}^5 2(\mu – x_i) \\
&= 2\left(5\mu – \sum_{i=1}^5 x_i\right)
\end{aligned}[/math]

Poniamo uguale a zero:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
5\mu – \sum x_i &= 0 \\
\Rightarrow \mu &= \frac{1}{5}\sum_{i=1}^5 x_i
\end{aligned}[/math]

Cioè:

[math]\hat{\mu} = \bar{x}[/math]

4. Calcolo numerico

[math]\sum x_i = 98+100+101+99+102=500[/math]

[math]\bar{x} = \frac{500}{5} = 100[/math]

👉 Lo stimatore di massima verosimiglianza della media è [math]\hat{\mu}=100[/math] ml.

5. Interpretazione

Non stai “indovinando” la media.

Stai scegliendo il valore di [math]\mu[/math] che minimizza la somma degli scarti quadratici rispetto ai dati osservati.

È il valore che rende più plausibile aver osservato proprio quelle 5 misurazioni, dato il modello normale con [math]\sigma=2[/math].

In altre parole:

Se la macchina avesse davvero media 100 ml, le misurazioni che hai visto sono tra le più “coerenti” possibili con il modello.