Quando il Boss Non Droppa Quello che Ti Serve (E Non è Sfiga): Statistica Hero per Game Designer e Giocatori Ostinati

Sei incavolato perchè il boss finale continua a droppare tutto, tranne l’unico pezzo che ti serve per completare il set?

Non è solo sfiga; è pura statistica travestita da pixel.

Ti sei mai chiesto perché quel drop al 2% sembra non uscire mai, mentre i frammenti comuni ti invadono l’inventario?

Oggi passiamo al livello “Hero” della statistica. Abbiamo analizzato una spedizione leggendaria usando la Distribuzione Multinomiale per rispondere alla domanda che ogni giocatore si pone: quanto tempo ci vorrà davvero per finire questa missione?

Spoiler: L’intuizione spesso sbaglia. Scopri perché, per completare la tua collezione, a volte conviene potenziare l’oggetto più “comune” invece di quello raro.

Se ami il game design o se vuoi semplicemente capire come gli sviluppatori manipolano le tue speranze (matematicamente), questo articolo è per te. 👇

Esercizio Hero: La spedizione leggendaria

(Distribuzione Multivariata e Composizione di Modelli)

Livello: Difficile (Hero)

Testo

In un gioco di ruolo online, un giocatore sta cercando di completare una missione epica che richiede di ottenere tre tipi di risorse rare, droppate da un boss settimanale:

• Frammento dell’Alba: Probabilità del 10% (successo di tipo A)
• Sigillo del Crepuscolo: Probabilità del 5% (successo di tipo B)
• Essenza dell’Eterno: Probabilità del 2% (successo di tipo C)

Le ricompense del boss sono indipendenti tra loro, ma in ogni uccisione del boss il giocatore può ottenere al massimo una risorsa (quando non ottiene nulla, la probabilità è l’83% complementare). Il giocatore ha già ottenuto 2 Frammenti dell’Alba, 1 Sigillo del Crepuscolo e 0 Essenze dell’Eterno. Deve ottenere almeno 5 Frammenti, 3 Sigilli e 2 Essenze per completare la missione. Il boss può essere ucciso una volta alla settimana.

Domande:

1. Modellizzazione iniziale: Definisci le variabili casuali appropriate per descrivere il numero di risorse di ogni tipo ottenute in un numero fisso di uccisioni. Che distribuzione congiunta seguono?
2. Pianificazione a lungo termine: Quante settimane deve aspettarsi di impiegare, in media, per completare la missione?
3. Sfida imminente: Il giocatore ha un permesso speciale per uccidere il boss 10 volte di seguito in un giorno. Qual è la probabilità che in queste 10 uccisioni ottenga esattamente le risorse che gli mancano (cioè 3 Frammenti, 2 Sigilli e 2 Essenze) e completi la missione?
4. Percorso alternativo: Esiste un oggetto magico che raddoppia la probabilità di ottenere una singola risorsa specifica (a scelta del giocatore) per una sola uccisione, ma se usato, quella uccisione non può droppare altre risorse. Se il giocatore potesse usare questo oggetto su una delle prossime 10 uccisioni, su quale risorsa dovrebbe usarlo per massimizzare la probabilità di completare la missione esattamente alla decima uccisione? (Considera che le risorse mancanti sono 3A, 2B, 2C e che l’oggetto forza il drop del tipo scelto con probabilità [math]2p[/math], dove [math]p[/math] è la probabilità originale, e azzera le altre probabilità).

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Risoluzione

Punto 1: Modellizzazione iniziale

💡 Richiamo teorico:

Quando abbiamo più tipi di successo mutuamente esclusivi in ogni prova, il numero di successi di ogni tipo in [math]n[/math] prove segue una distribuzione Multinomiale. È la generalizzazione della Binomiale.

Sia [math]n[/math] il numero di uccisioni del boss. Definiamo le variabili:

• [math]X_A[/math] = numero di Frammenti dell’Alba (tipo A)
• [math]X_B[/math] = numero di Sigilli del Crepuscolo (tipo B)
• [math]X_C[/math] = numero di Essenze dell’Eterno (tipo C)
• [math]X_0[/math] = numero di uccisioni senza drop (insuccesso)

Le probabilità associate a ogni risultato in una singola prova sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_A &= 0,10 \\
p_B &= 0,05 \\
p_C &= 0,02 \\
p_0 &= 1 – (0,10 + 0,05 + 0,02) = 0,83
\end{aligned}[/math]

Allora il vettore [math](X_A, X_B, X_C, X_0)[/math] segue una distribuzione Multinomiale con parametri [math]n[/math] e [math]p_A, p_B, p_C, p_0[/math]. La funzione di probabilità congiunta è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P(X_A=a, X_B=b, X_C=c, X_0=n-a-b-c) &= \\
&{} \quad \frac{n!}{a! \, b! \, c! \, (n-a-b-c)!} \\
&{} \quad \cdot p_A^a \, p_B^b \, p_C^c \, p_0^{n-a-b-c}
\end{aligned}[/math]

Punto 2: Pianificazione a lungo termine (Numero medio di settimane)

Il giocatore ha già 2A, 1B, 0C. Gli mancano:

• [math]r_A = 5 – 2 = 3[/math] Frammenti
• [math]r_B = 3 – 1 = 2[/math] Sigilli
• [math]r_C = 2 – 0 = 2[/math] Essenze

Dobbiamo trovare il numero medio di prove (settimane) necessario per ottenere almeno [math]r_A, r_B, r_C[/math] successi di ogni tipo. Questo non è banale perché le risorse competono tra loro.

💡 Strategia risolutiva: Non esiste una formula chiusa semplice per il tempo medio di attesa per successi multipli di tipi diversi. Possiamo però usare un approccio basato sulla legge del valore atteso per variabili dipendenti oppure simulare. In questo caso, ragioniamo sul “collo di bottiglia”.

Un metodo euristico efficace è calcolare il numero medio di prove necessario per ottenere la risorsa più critica. Ragioniamo per risorsa limitante:

• Per A ([math]p=0.10[/math]): per ottenere 3 successi, il tempo medio è
  [math]\displaystyle \begin{aligned} E[T_A] &= \frac{r_A}{p_A} = \frac{3}{0.10} \\ &{} \quad = 30 \text{ settimane} \end{aligned}[/math]
• Per B ([math]p=0.05[/math]):
  [math]\displaystyle \begin{aligned} E[T_B] &= \frac{2}{0.05} \\ &{} \quad = 40 \text{ settimane} \end{aligned}[/math]
• Per C ([math]p=0.02[/math]):
  [math]\displaystyle \begin{aligned} E[T_C] &= \frac{2}{0.02} \\ &{} \quad = 100 \text{ settimane} \end{aligned}[/math]

La risorsa C è quella con il tempo atteso più lungo (100 settimane). In 100 settimane, quante risorse A e B ci aspettiamo di ottenere?

• A attesi: [math]100 \cdot 0.10 = 10[/math] (ne servono 3, quindi siamo ampiamente sopra)
• B attesi: [math]100 \cdot 0.05 = 5[/math] (ne servono 2, siamo sopra)

💡 Osservazione: Il tempo medio per completare la missione è determinato dalla risorsa più rara. Una stima ragionevole è che il tempo medio sia circa 100 settimane, dominato dalla coda lunga della distribuzione di C.

Risposta: Ci si aspetta in media circa 100 settimane.

Verifichiamo l’intuizione con una simulazione

La stima di circa 100 settimane deriva da un ragionamento sul “collo di bottiglia”: la risorsa più rara domina il tempo di completamento.

Tuttavia questo è solo un valore medio teorico.
Nei sistemi probabilistici reali la variabilità può essere enorme.

Per capire meglio cosa succede possiamo usare una tecnica molto comune nella scienza dei dati: la simulazione Monte Carlo.

L’idea è semplice: simuliamo migliaia di uccisioni del boss e osserviamo quanti drop otteniamo in media.

import numpy as np

# Probabilità dei drop
p = [0.10, 0.05, 0.02, 0.83]

def simulate_runs(n_sim=100000):
    essences = []
    
    for _ in range(n_sim):
        # simuliamo 100 uccisioni del boss
        drops = np.random.choice(4, 100, p=p)
        
        # contiamo quante Essenze (tipo C) sono uscite
        essences.append(np.sum(drops == 2))
    
    return np.mean(essences)

print(simulate_runs())

Simulare quanto tempo serve per completare la missione.

import numpy as np

p = [0.10, 0.05, 0.02, 0.83]

def run_mission():
    
    A = 2
    B = 1
    C = 0
    weeks = 0
    
    while A < 5 or B < 3 or C < 2:
        
        drop = np.random.choice(4, p=p)
        
        if drop == 0:
            A += 1
        elif drop == 1:
            B += 1
        elif drop == 2:
            C += 1
        
        weeks += 1
        
    return weeks


results = [run_mission() for _ in range(10000)]

print("Tempo medio:", np.mean(results))

Tempo medio: 107.2965

Quando eseguiamo la simulazione migliaia di volte, il tempo medio per completare la missione converge verso circa 100 settimane.

Ma la cosa più interessante non è la media: è la variabilità.

Alcuni giocatori finiranno la missione in 40–50 settimane.
Altri potrebbero impiegare più di 200 settimane.

Il risultato è illuminante: La distribuzione non è simmetrica: ha una coda lunga verso destra.

Questo significa che mentre alcuni giocatori completano la missione relativamente in fretta, altri possono restare bloccati per centinaia di settimane.

È questa coda lunga della distribuzione che genera la sensazione familiare ai giocatori:

“Questo boss non droppa mai quello che mi serve.”

 

Punto 3: Probabilità di completare la missione in esattamente 10 uccisioni

In 10 uccisioni, vogliamo ottenere esattamente [math]a=3[/math], [math]b=2[/math], [math]c=2[/math]. Il numero di insuccessi sarà [math]n_0 = 10 – (3+2+2) = 3[/math]. Applichiamo la formula multinomiale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P &= \frac{10!}{3! \, 2! \, 2! \, 3!} \\
&{} \quad \cdot (0,10)^3 \cdot (0,05)^2 \cdot (0,02)^2 \cdot (0,83)^3
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo passo passo. Coefficiente multinomiale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{10!}{3! \, 2! \, 2! \, 3!} &= \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6} \\
&= \frac{3628800}{144} = 25200
\end{aligned}[/math]

Prodotti delle probabilità:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(0,10)^3 &= 0,001 \\
(0,05)^2 &= 0,0025 \\
(0,02)^2 &= 0,0004 \\
(0,83)^3 &\approx 0,571787
\end{aligned}[/math]

Probabilità totale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P &\approx 25200 \cdot (1,0 \times 10^{-9}) \cdot 0,571787 \\
&\approx 25200 \cdot 5,71787 \times 10^{-10} \\
&\approx 1,4409 \times 10^{-5}
\end{aligned}[/math]

La probabilità è circa 0,00144%, cioè una su 69.444. È estremamente bassa, come ci si aspetta.

Punto 4: Uso strategico dell’oggetto magico

Vogliamo massimizzare la probabilità di completare la missione esattamente alla decima uccisione. Dopo 9 uccisioni il conteggio deve essere:

• Se alla decima esce A: dopo 9 uccisioni devono esserci 2A, 2B, 2C.
• Se alla decima esce B: dopo 9 uccisioni devono esserci 3A, 1B, 2C.
• Se alla decima esce C: dopo 9 uccisioni devono esserci 3A, 2B, 1C.

💡 Strategia: Conviene usare l’oggetto alla fine.

La probabilità totale sarà:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_{\text{finire con } R} &= P(\text{stato corretto dopo 9}) \\
&{} \quad \times (2p_R)
\end{aligned}[/math]

Caso A (oggetto su A alla decima):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_{\text{stato A}} &= \frac{9!}{2! \, 2! \, 2! \, 3!} \\
&{} \quad \cdot (0.10)^2 (0.05)^2 (0.02)^2 (0.83)^3 \\
&\approx 7560 \cdot 1.0 \times 10^{-8} \cdot 0.571787 \\
&\approx 4.323 \times 10^{-5}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_A &= 4.323 \times 10^{-5} \cdot 0.20 \\
&= 8.646 \times 10^{-6}
\end{aligned}[/math]

Caso B (oggetto su B alla decima):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_{\text{stato B}} &= \frac{9!}{3! \, 1! \, 2! \, 3!} \\
&{} \quad \cdot (0.10)^3 (0.05)^1 (0.02)^2 (0.83)^3 \\
&\approx 5040 \cdot 2.0 \times 10^{-8} \cdot 0.571787 \\
&\approx 5.764 \times 10^{-5}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_B &= 5.764 \times 10^{-5} \cdot 0.10 \\
&= 5.764 \times 10^{-6}
\end{aligned}[/math]

Caso C (oggetto su C alla decima):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_{\text{stato C}} &= \frac{9!}{3! \, 2! \, 1! \, 3!} \\
&{} \quad \cdot (0.10)^3 (0.05)^2 (0.02)^1 (0.83)^3 \\
&\approx 5040 \cdot 5.0 \times 10^{-8} \cdot 0.571787 \\
&\approx 1.440 \times 10^{-4}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
P_C &= 1.440 \times 10^{-4} \cdot 0.04 \\
&= 5.76 \times 10^{-6}
\end{aligned}[/math]

Confrontiamo:

• [math]P_A \approx 8.65 \times 10^{-6}[/math]
• [math]P_B \approx 5.76 \times 10^{-6}[/math]
• [math]P_C \approx 5.76 \times 10^{-6}[/math]

Risultato: La probabilità massima si ottiene usando l’oggetto su A (Frammento dell’Alba) alla decima uccisione.

💡 Osservazione strategica: A volte conviene puntare sulla risorsa con probabilità base maggiore per l’ultimo colpo, anche se lo stato intermedio è meno probabile, perché il guadagno in probabilità nell’ultimo colpo ([math]2p_A[/math]) compensa ampiamente.