Come calcolare la correlazione non parametrica: guida pratica a Spearman e Kendall

Spesso ci troviamo ad analizzare dati che non seguono le regole classiche della matematica.

Non tutto può essere misurato al millimetro: a volte abbiamo a che fare con classifiche, preferenze musicali o giudizi molto soggettivi.

Se chiedi a un gruppo di persone quanto amano una canzone da 1 a 5, la “distanza” tra un voto di 3 e un 4 non è uguale per tutti.

In questi casi, gli strumenti statistici tradizionali, come l’indice di Pearson, rischiano di portarci completamente fuori strada.

È qui che entrano in gioco la correlazione di Spearman e il Tau di Kendall. Questi indici non misurano quantità esatte, ma si concentrano sulle gerarchie: ci dicono se due fenomeni si muovono nella stessa direzione quando li mettiamo in ordine. In questo affronteremo tre casi pratici, calcolando gli indici passo dopo passo, per capire non solo come si usano, ma soprattutto quale scegliere quando i tuoi dati non sono perfetti.

Esercizio 1 – Spearman: le preferenze musicali (facile)

Risoluzione

Richiamo teorico:

Il coefficiente di Spearman [math]r_s[/math] misura la correlazione monotona tra due variabili ordinali (o continue trasformate in ranghi). Formula per dati senza pareggi (ties):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 – 1)}
\end{aligned}[/math]

dove [math]d_i[/math] = differenza tra i ranghi delle due variabili per ogni soggetto.

Passo 1 – Assegnazione dei ranghi

Per Spearman dobbiamo convertire i voti in ranghi separatamente per ciascuna variabile. In caso di pareggi si assegna il rango medio.

• Voti di A: 1, 2, 3, 4, 5 → ranghi 1, 2, 3, 4, 5 (nessun pareggio).
• Voti di B: 2, 3, 3, 4, 5 → ordinati: 2 (rango 1), 3 (due valori 3 occupano posizioni 2 e 3 → rango medio [math](2+3)/2 = 2{,}5[/math]), 4 (rango 4), 5 (rango 5).

Passo 2 – Calcolo differenze e quadrati

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum d_i^2 = 0{,}25 + 1 + 0 + 1 + 0{,}25 = 2{,}5
\end{aligned}[/math]

Passo 3 – Applicazione formula

Con [math]n = 5[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s &= 1 – \frac{6 \times 2{,}5}{5 \times (25 – 1)} \\
&= 1 – \frac{15}{5 \times 24} \\
&= 1 – \frac{15}{120} \\
&= 1 – 0{,}125 = 0{,}875
\end{aligned}[/math]

Interpretazione:
[math]r_s = 0{,}875[/math] indica una forte correlazione positiva tra i giudizi dei due album. Chi apprezza molto l’album A tende ad apprezzare molto anche l’album B, e viceversa.

💡 Osservazione: Anche in presenza di pareggi (B aveva due voti 3), la formula standard funziona se usiamo i ranghi medi. Per molti pareggi si usa una versione corretta, ma qui l’effetto è trascurabile.

Esercizio 2 – Kendall [math]\tau[/math]: classifica di due giudici (medio-facile)

Risoluzione

Richiamo teorico:

Il [math]\tau[/math] di Kendall misura l’associazione basandosi sul numero di coppie concordanti e discordanti. Formula per ranghi senza pareggi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\tau = \frac{C – D}{n(n – 1) / 2}
\end{aligned}[/math]

dove [math]C[/math] = coppie concordanti, [math]D[/math] = coppie discordanti, [math]n[/math] = numero di elementi.

Passo 1 – Elenco delle coppie

Consideriamo tutte le possibili coppie di concorrenti. Controlliamo se l’ordine dei ranghi tra i due giudici è concorde (stessa direzione) o discorde (direzione opposta).

Conteggio finale: [math]C = 4[/math] e [math]D = 2[/math].

Passo 2 – Calcolo [math]\tau[/math]

Numero totale di coppie: [math]\frac{4 \times 3}{2} = 6[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\tau = \frac{4 – 2}{6} = \frac{2}{6} \approx 0{,}333
\end{aligned}[/math]

Interpretazione:
[math]\tau \approx 0{,}333[/math] indica una debole correlazione positiva. I due giudici sono solo leggermente concordi; ad esempio, la coppia (Alice, Bruno) è stata giudicata in modo opposto.

💡 Osservazione: A differenza di Spearman, Kendall si interpreta come differenza tra probabilità di accordo e disaccordo. Un valore [math]0{,}33[/math] significa che c’è il 33% di “eccesso” di coppie concordanti su quelle discordanti.

Esercizio 3 – Confronto tra Spearman e Kendall (medio)

Risoluzione

Passo 1 – Calcolo Spearman ([math]r_s[/math])

Calcoliamo le differenze [math]d_i = R_{1i} – R_{2i}[/math] e i loro quadrati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum d^2 = 1+1+1+1+4+0+4+0 = 12
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s = 1 – \frac{6 \times 12}{8 \times (64 – 1)} = 1 – \frac{72}{504} \approx 0{,}857
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Calcolo [math]\tau[/math] di Kendall

Numero totale di coppie: [math]\binom{8}{2} = 28[/math].

Ordiniamo i soggetti per il primo stimolo (1..8) e analizziamo la sequenza del secondo stimolo: (2, 1, 4, 3, 7, 6, 5, 8).

Contiamo le coppie concordanti ([math]C[/math]) e discordanti ([math]D[/math]) per ogni elemento:

• Valore 2: 1 è minore (1D), gli altri 6 sono maggiori (6C).
• Valore 1: Tutti i successivi 6 sono maggiori (6C).
• Valore 4: 3 è minore (1D), gli altri 4 sono maggiori (4C).
• Valore 3: Tutti i successivi 4 sono maggiori (4C).
• Valore 7: 6 e 5 sono minori (2D), l’8 è maggiore (1C).
• Valore 6: 5 è minore (1D), l’8 è maggiore (1C).
• Valore 5: L’8 è maggiore (1C).

Totali: [math]C = 6+6+4+4+1+1+1 = 23[/math]; [math]D = 1+0+1+0+2+1+0 = 5[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\tau = \frac{23 – 5}{28} = \frac{18}{28} \approx 0{,}643
\end{aligned}[/math]

Passo 3 – Confronto e commento

Risultati: [math]r_s \approx 0{,}857[/math] vs [math]\tau \approx 0{,}643[/math].

Perché differiscono così tanto? Spearman è la correlazione lineare applicata ai ranghi; tende a restituire valori numericamente più alti e simili al coefficiente di Pearson. Kendall [math]\tau[/math] è una misura basata sulla probabilità. In letteratura, è noto che i valori di [math]\tau[/math] sono solitamente inferiori a quelli di Spearman di circa il 30-40%.

💡 Osservazione: Spearman è più sensibile alla magnitudo degli spostamenti di rango (grazie ai quadrati), mentre Kendall è più robusto e fornisce stime meno influenzate da piccole variazioni nel campione.

Soluzioni alle domande di riflessione

Hai completato il modulo sulla correlazione non parametrica. Sei pronto per applicare questi indici ai tuoi dataset reali!