Coefficiente di Pearson in Finanza: 6 Esercizi Risolti e Commentati

I numeri mentono, se non sai come interrogarli. Soprattutto sui mercati finanziari, dove un coefficiente di correlazione interpretato male può spingere a costruire un portafoglio completamente esposto al rischio. Oggi basta un clic su un foglio di calcolo per estrarre il coefficiente di Pearson tra due titoli, ma la vera differenza tra un dilettante e un analista sta nel capire cosa succede dietro quel numero.

Le serie storiche sono inquinate da trend temporali?

C’è un singolo giorno anomalo che sta distorcendo l’intera analisi?

La relazione è davvero lineare?

In questo articolo non troverai solo la teoria. Abbiamo costruito 6 scenari di calcolo progressivi basati su situazioni reali: dalla semplice meccanica matematica alle trappole più subdole dell’analisi quantitativa.

Esercizio 1 – Calcolo base del coefficiente di correlazione

Testo

Un analista finanziario ha rilevato i rendimenti percentuali giornalieri di due titoli, Alpha e Beta, negli ultimi 5 giorni di borsa:

Calcola il coefficiente di correlazione lineare di Pearson tra i rendimenti di Alpha e Beta e interpreta il risultato.

Risoluzione

Il coefficiente di correlazione di Pearson [math]r[/math] è dato da:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i – \bar{y})^2}}
\end{aligned}[/math]

dove [math]x_i[/math] e [math]y_i[/math] sono i valori delle due variabili, [math]\bar{x}[/math] e [math]\bar{y}[/math] le rispettive medie.

Passo 1 – Calcolo delle medie

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{x} &= \frac{0,5 + 1,0 – 0,2 + 0,8 – 0,5}{5} \\
&{} \quad = \frac{1,6}{5} = 0,32 \\
\bar{y} &= \frac{1,2 + 0,8 + 0,1 + 1,5 – 0,3}{5} \\
&{} \quad = \frac{3,3}{5} = 0,66
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Calcolo degli scarti e prodotti

Costruiamo una tabella:

Passo 3 – Applicazione della formula

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r &= \frac{1,6740}{\sqrt{1,6680 \times 2,2520}} \\
&{} \quad = \frac{1,6740}{\sqrt{3,756}} \approx \frac{1,6740}{1,938} \approx 0,864
\end{aligned}[/math]

Interpretazione

[math]r \approx 0,86[/math] indica una forte correlazione lineare positiva: all’aumentare del rendimento di Alpha, tende ad aumentare anche quello di Beta.

💡 Osservazione: Il coefficiente di Pearson è adimensionale e varia tra -1 e +1. Valori prossimi a +1 indicano una relazione lineare crescente, vicino a -1 una relazione decrescente, mentre zero indica assenza di relazione lineare.

Domanda di riflessione

Quale proprietà del coefficiente di Pearson hai utilizzato per interpretare il segno e l’intensità?

Esercizio 2 – Correlazione e diversificazione di portafoglio

Testo

Un investitore vuole costruire un portafoglio composto da due titoli, A e B, con pesi uguali (50% ciascuno). Ha a disposizione i rendimenti mensili degli ultimi 6 mesi:

Calcola il coefficiente di correlazione tra A e B. Determina poi la varianza (rischio) del portafoglio, sapendo che le varianze campionarie di A e B sono rispettivamente [math]\sigma_A^2 = 3,2[/math] e [math]\sigma_B^2 = 3,5[/math] (approssimate). Spiega come la correlazione influisce sul rischio complessivo.

Risoluzione

Passo 1 – Calcolo del coefficiente di correlazione

Medie:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{A} &= \frac{2 + 3 – 1 + 4 + 0 + 1}{6} = \frac{9}{6} = 1,5 \\
\bar{B} &= \frac{-1 + 2 + 0 + 3 + 1 – 2}{6} = \frac{3}{6} = 0,5
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo scarti, prodotti e somme (omettiamo i dettagli per brevità, ma il procedimento è analogo all’esercizio 1). Si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum(A_i – \bar{A})^2 = 14,5 \quad & \sum(B_i – \bar{B})^2 = 14,5 \\
\sum(A_i – \bar{A})&(B_i – \bar{B}) = -4,5
\end{aligned}[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r = \frac{-4,5}{\sqrt{14,5 \times 14,5}} = \frac{-4,5}{14,5} \approx -0,31
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Varianza del portafoglio

La varianza di un portafoglio con due titoli e pesi [math]w_A = w_B = 0,5[/math] è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_P^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \sigma_A \sigma_B r
\end{aligned}[/math]

Sostituiamo i valori:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_P^2 &= (0,5)^2 \times 3,2 + (0,5)^2 \times 3,5 \\
&{} \quad + 2 \times 0,5 \times 0,5 \times \sqrt{3,2} \times \sqrt{3,5} \times (-0,31)
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo i singoli termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0,25 \times 3,2 &= 0,8 \\
0,25 \times 3,5 &= 0,875 \\
\sqrt{3,2} \approx 1,7889 \quad & \sqrt{3,5} \approx 1,8708 \\
\sigma_A \sigma_B &\approx 3,345 \\
2 \times 0,5 \times 0,5 &= 0,5
\end{aligned}[/math]

Quindi il termine di interazione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
0,5 \times 3,345 \times (-0,31) \approx -0,518
\end{aligned}[/math]

La varianza totale risulta:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sigma_P^2 \approx 0,8 + 0,875 – 0,518 = 1,157
\end{aligned}[/math]

Interpretazione

La correlazione negativa riduce il rischio di portafoglio rispetto alla semplice media ponderata delle varianze (che sarebbe [math]0,8 + 0,875 = 1,675[/math]). Grazie alla correlazione negativa, i movimenti opposti dei due titoli si compensano parzialmente.

💡 Osservazione: In finanza, la correlazione è cruciale per la diversificazione. Più bassa è la correlazione (anche negativa), maggiore è il beneficio in termini di riduzione del rischio.

Testo

Un trader sta analizzando la relazione tra i rendimenti di due asset. I dati per 10 giorni sono riportati di seguito (rendimenti percentuali):

Calcola il coefficiente di correlazione con e senza l’outlier (giorno 10). Commenta la differenza e la sensibilità del coefficiente di Pearson ai valori anomali.

Risoluzione

Passo 1 – Con outlier (tutti i dati)

Calcoliamo medie e scarti. Per velocità, usiamo una calcolatrice o foglio elettronico. I risultati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\text{Media X} &: \bar{x} \approx 0,8 \\
\text{Media Y} &: \bar{y} \approx 1,01 \\
\text{Devianza X} &: \sum(x – \bar{x})^2 \approx 19,76 \\
\text{Devianza Y} &: \sum(y – \bar{y})^2 \approx 20,89 \\
\text{Codevianza} &: \sum(x – \bar{x})(y – \bar{y}) \approx 20,12
\end{aligned}[/math]

Applichiamo la formula di Pearson:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r &\approx \frac{20,12}{\sqrt{19,76 \times 20,89}} \\
&{} \quad \approx \frac{20,12}{\sqrt{412,8}} \approx \frac{20,12}{20,32} \approx 0,99
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Senza outlier (primi 9 giorni)

Ricalcoliamo i parametri escludendo il decimo giorno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{x} \approx 0,33 \quad & \bar{y} \approx 0,51 \\
\sum(x – \bar{x})^2 \approx 0,21 \quad & \sum(y – \bar{y})^2 \approx 0,30 \\
\text{Codevianza} &\approx 0,22
\end{aligned}[/math]

Ricalcoliamo il coefficiente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r &\approx \frac{0,22}{\sqrt{0,21 \times 0,30}} \\
&{} \quad \approx \frac{0,22}{\sqrt{0,063}} \approx \frac{0,22}{0,251} \approx 0,88
\end{aligned}[/math]

Confronto

Con l’outlier [math]r \approx 0,99[/math], senza [math]r \approx 0,88[/math]. L’outlier, essendo molto distante dalla nuvola di punti, ha distorto il coefficiente verso l’alto (aumentandolo). In generale, un singolo valore anomalo può alterare sensibilmente il coefficiente di Pearson, soprattutto se il campione è piccolo.

💡 Osservazione: Il coefficiente di Pearson è sensibile agli outlier perché si basa su medie e scarti quadratici. Per attenuare questo problema, si possono usare misure robuste come la correlazione per ranghi di Spearman.

Domanda di riflessione

Perché il coefficiente di Pearson è sensibile agli outlier? Quale misura di correlazione potrebbe essere più robusta?

Esercizio 4 – Test di significatività del coefficiente di correlazione

Testo

Un analista quantitativo vuole verificare se esiste una correlazione significativa tra i rendimenti giornalieri di un titolo tecnologico e l’indice NASDAQ. Ha raccolto 20 osservazioni e calcolato un coefficiente di correlazione [math]r = 0,45[/math]. Verifica se questa correlazione è significativamente diversa da zero al livello di significatività del 5%. Utilizza il test t di Student con [math]n – 2[/math] gradi di libertà. Formula le ipotesi, calcola la statistica test e confronta con il valore critico.

Risoluzione

Passo 1 – Impostazione delle ipotesi

• [math]H_0: \rho = 0[/math] (non c’è correlazione lineare nella popolazione)
• [math]H_1: \rho \neq 0[/math] (c’è correlazione)

Passo 2 – Calcolo della statistica test

La statistica test è definita come:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}
\end{aligned}[/math]

Con [math]n = 20[/math] e [math]r = 0,45[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t &= 0,45 \times \sqrt{\frac{18}{1 – 0,2025}} \\
&{} \quad = \frac{0,45 \times 4,2426}{\sqrt{0,7975}} \\
&{} \quad \approx \frac{1,909}{0,893} \approx 2,14
\end{aligned}[/math]

Passo 3 – Confronto con il valore critico

I gradi di libertà sono [math]n – 2 = 18[/math]. Per un test bilaterale con [math]\alpha = 0,05[/math], il valore critico della t di Student è [math]t_{0,025; 18} \approx 2,101[/math] (estratto dalle tavole statistiche).

Poiché [math]t = 2,14 > 2,101[/math], rifiutiamo l’ipotesi nulla.

Conclusione

Al livello del 5%, la correlazione è statisticamente significativa. C’è evidenza che nella popolazione esista una relazione lineare tra i rendimenti del titolo e quelli del NASDAQ.

💡 Osservazione: Il test t presuppone che le due variabili siano congiuntamente normali (o almeno che il campione sia abbastanza grande). In pratica, per [math]n[/math] piccolo, è bene verificare la normalità dei dati.

Domanda di riflessione

Cosa significa rifiutare l’ipotesi nulla in termini pratici? Qual è l’interpretazione del p-value?

Superato il test di significatività potresti sentirti al sicuro. Eppure, c’è un errore subdolo che miete vittime persino tra gli analisti junior: l’illusione ottica del trend. Vediamo perché confondere i prezzi storici con i rendimenti effettivi può portarti a vedere legami che, in realtà, non esistono affatto.

Esercizio 5 – Correlazione spuria tra prezzi e rendimenti

Testo

Un investitore osserva i prezzi di chiusura settimanali di due azioni, A e B, per 10 settimane:

Calcola il coefficiente di correlazione tra i prezzi di A e B. Successivamente calcola i rendimenti settimanali (variazione percentuale) e il coefficiente di correlazione tra i rendimenti. Commenta i risultati e spiega perché è importante analizzare i rendimenti piuttosto che i prezzi per valutare la correlazione tra titoli.

Risoluzione

Passo 1 – Correlazione sui prezzi

Calcoliamo medie e scarti. Dato che entrambe le serie presentano un netto trend crescente, ci aspettiamo una correlazione molto alta. Eseguendo i calcoli statistici sui 10 punti dati si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_{\text{prezzi}} \approx 0,998
\end{aligned}[/math]

Passo 2 – Calcolo dei rendimenti percentuali

Il rendimento alla settimana [math]t[/math] è calcolato come:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
R_t = \frac{P_t – P_{t-1}}{P_{t-1}} \times 100
\end{aligned}[/math]

Calcolo per l’azione A:

• Sett 2: [math](10,5-10)/10 = 5\%[/math]
• Sett 3: [math](10,2-10,5)/10,5 \approx -2,86\%[/math]
• Sett 4: [math](10,8-10,2)/10,2 \approx 5,88\%[/math]
• Sett 5: [math](11,0-10,8)/10,8 \approx 1,85\%[/math]
• Sett 6: [math](11,3-11,0)/11,0 \approx 2,73\%[/math]
• Sett 7: [math](11,1-11,3)/11,3 \approx -1,77\%[/math]
• Sett 8: [math](11,6-11,1)/11,1 \approx 4,50\%[/math]
• Sett 9: [math](11,8-11,6)/11,6 \approx 1,72\%[/math]
• Sett 10: [math](12,0-11,8)/11,8 \approx 1,69\%[/math]

Calcolo analogo per l’azione B:

• Sett 2: [math](20,3-20)/20 = 1,5\%[/math]
• Sett 3: [math](20,1-20,3)/20,3 \approx -0,99\%[/math]
• Sett 4: [math](20,7-20,1)/20,1 \approx 2,99\%[/math]
• Sett 5: [math](21,0-20,7)/20,7 \approx 1,45\%[/math]
• Sett 6: [math](21,2-21,0)/21,0 \approx 0,95\%[/math]
• Sett 7: [math](21,0-21,2)/21,2 \approx -0,94\%[/math]
• Sett 8: [math](21,5-21,0)/21,0 \approx 2,38\%[/math]
• Sett 9: [math](21,7-21,5)/21,5 \approx 0,93\%[/math]
• Sett 10: [math](22,0-21,7)/21,7 \approx 1,38\%[/math]

Passo 3 – Correlazione sui rendimenti

Calcoliamo ora la correlazione tra le due serie di rendimenti (composte da 9 coppie di dati). Utilizzando i valori sopra riportati, otteniamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_{\text{rendimenti}} \approx 0,62
\end{aligned}[/math]

Interpretazione

La correlazione sui prezzi è quasi perfetta (0,998) perché entrambe le serie sono cresciute nel tempo, ma questo non indica necessariamente una relazione genuina tra i movimenti specifici dei titoli. Infatti, i rendimenti mostrano una correlazione solo moderata (0,62). In finanza, l’analisi si concentra sui rendimenti perché sono stazionari e riflettono le variazioni effettive, eliminando l’illusione ottica del trend comune.

💡 Osservazione: Questo fenomeno è noto come correlazione spuria: due variabili influenzate da trend temporali simili possono mostrare un’alta correlazione anche se sono intrinsecamente indipendenti. Per evitare questo errore, in econometria si lavora sempre sulle differenze prime o sui rendimenti.

Domanda di riflessione

Perché in finanza si preferisce studiare la correlazione sui rendimenti piuttosto che sui prezzi?

Abbiamo depurato i dati dai trend e isolato i rendimenti, sventando la minaccia della correlazione spuria.

Tutto perfetto, giusto?

Non del tutto. Il coefficiente di Pearson ha un limite strutturale enorme, un vero e proprio ‘punto cieco’: riesce a vedere solo in linea retta. Scopriamo cosa succede quando il mercato decide di muoversi seguendo traiettorie curve.

Esercizio 6 – Relazione non lineare e trasformazione delle variabili

Testo

Si considerino i seguenti dati relativi a 7 giorni: rendimento giornaliero di un titolo (in %) e la corrispondente volatilità implicita (in %):

Calcola il coefficiente di correlazione di Pearson tra rendimento e volatilità. Che valore ottieni? Cosa indica? Prova a trasformare il rendimento in valore assoluto e ricalcola la correlazione. Commenta il risultato.

Risoluzione

Passo 1 – Correlazione tra rendimento e volatilità

Calcoliamo le medie:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{R} &= \frac{-3-2-1+0+1+2+3}{7} = 0 \\
\bar{V} &= \frac{30+25+20+15+20+25+30}{7} = \frac{165}{7} \approx 23,571
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo la sommatoria dei prodotti degli scarti (codevianza). Poiché [math]\bar{R} = 0[/math], gli scarti di [math]R[/math] corrispondono ai valori stessi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum(R_i – \bar{R})(V_i – \bar{V}) &= (-3)(6,429) + (-2)(1,429) \\
&{} \quad + (-1)(-3,571) + 0 + (1)(-3,571) \\
&{} \quad + (2)(1,429) + (3)(6,429) \\
&= -19,287 – 2,858 + 3,571 \\
&{} \quad + 0 – 3,571 + 2,858 + 19,287 = 0
\end{aligned}[/math]

Poiché la codevianza è nulla, il coefficiente di correlazione è [math]r = 0[/math].

Passo 2 – Trasformazione con valore assoluto

Definiamo la nuova variabile [math]|R|[/math]: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. Calcoliamo la correlazione tra [math]|R|[/math] e [math]V[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{|R|} &= \frac{3+2+1+0+1+2+3}{7} = \frac{12}{7} \approx 1,714
\end{aligned}[/math]

Tabella degli scarti e prodotti per la nuova variabile:

Calcolo delle devianze:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum(|R|_i – \bar{|R|})^2 &\approx 7,43 \\
\sum(V_i – \bar{V})^2 &\approx 185,73
\end{aligned}[/math]

Calcolo finale del coefficiente [math]r[/math] trasformato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_{|R|,V} = \frac{37,148}{\sqrt{7,43 \times 185,73}} \approx \frac{37,148}{37,15} \approx 1,00
\end{aligned}[/math]

Interpretazione

La correlazione originale è zero perché la relazione è a forma di U (la volatilità è alta per rendimenti estremi, sia positivi che negativi, e bassa per rendimenti vicini allo zero). Il coefficiente di Pearson, essendo una misura di dipendenza strettamente lineare, non rileva questa associazione. Trasformando il rendimento in valore assoluto, la relazione diventa lineare e la correlazione risulta perfetta.

💡 Osservazione: Il coefficiente di Pearson coglie solo relazioni lineari. Quando i dati presentano una dipendenza non lineare, può essere nullo anche in presenza di una forte associazione funzionale. In tali casi, trasformazioni delle variabili possono rivelare la struttura sottostante.

Domanda di riflessione

Quale proprietà del coefficiente di Pearson emerge da questo esercizio? Perché non rileva la dipendenza non lineare?

• Es 1: È stata utilizzata la proprietà di normalizzazione (valori tra -1 e +1) e il segno della codevianza per determinare la direzione del trend.
• Es 2: Se [math]r = +1[/math], non c’è diversificazione (rischio massimo). Se [math]r = -1[/math], è possibile annullare il rischio (hedging perfetto).
• Es 3: È sensibile perché utilizza la media e gli scarti al quadrato, che enfatizzano i valori estremi. La correlazione di Spearman (basata sui ranghi) è più robusta.
• Es 4: Rifiutare [math]H_0[/math] significa che la correlazione osservata è troppo alta per essere attribuita al puro caso. Il p-value indica la probabilità di ottenere quel risultato se la vera correlazione fosse zero.
• Es 5: Si usano i rendimenti perché i prezzi sono spesso influenzati da trend temporali (inflazione, crescita economica) che creano correlazioni illusorie (spurie).
• Es 6: Emerge che [math]r[/math] misura solo la linearità. Non rileva la dipendenza perché scarti positivi e negativi di uguale entità si annullano nel calcolo della codevianza se distribuiti simmetricamente rispetto alla media.

Commento Applicativo: Analisi degli Esercizi

Esercizio 1: L’anatomia del movimento

Mette a nudo il motore del coefficiente di Pearson. Mostra fisicamente come gli scarti congiunti positivi o negativi si moltiplichino per creare la codevianza. Dal punto di vista applicativo, è la base assoluta del pair trading: cercare due azioni che si muovono in forte sintonia.

Esercizio 2: Il Santo Graal della Finanza (Markowitz)

È la dimostrazione matematica del perché esiste la diversificazione. Molti credono che per abbassare il rischio basti comprare titoli meno rischiosi. Questo esercizio dimostra il contrario: puoi avere due titoli rischiosi, ma se sono correlati negativamente, il rischio complessivo collassa. È l’essenza dell’hedging (copertura).

Esercizio 3: La fragilità di fronte ai Cigni Neri

Nei mercati reali le distribuzioni non sono normali; hanno “code grasse” (eventi estremi frequenti). Un solo giorno di panico o di euforia (es. uno short squeeze) in un campione piccolo trasforma un portafoglio decorrelato in uno altamente correlato. Insegna all’analista a non fidarsi ciecamente dell’output del software senza prima guardare un grafico a dispersione.

Esercizio 4: L’illusione dei piccoli campioni

Un coefficiente di [math]0,45[/math] sembra sufficientemente alto per giustificare una strategia di trading. Tuttavia, questo esercizio porta l’utente nel mondo del rigore accademico: senza significatività statistica, quel [math]0,45[/math] potrebbe essere puro rumore casuale. Distingue la coincidenza temporanea da una vera relazione strutturale.

Esercizio 5: Il tranello della Non-Stazionarietà (Correlazione Spuria)

È forse l’errore più comune commesso dai neofiti. I prezzi tendono a salire nel lungo periodo a causa dell’inflazione e della crescita economica. Regredire due serie di prezzi porta sempre a correlazioni altissime (spesso vicine a 1). Analizzare i rendimenti, invece, “pulisce” il dato dal trend, mostrando se i titoli rispondono davvero agli stessi shock giornalieri in modo simile.

👻Episodio 2 – Correlazione tossica: quando i dati si tengono per mano ma non si amano

Esercizio 6: L’invisibilità del rischio non lineare

Pearson è un test rigorosamente lineare. In finanza, molte relazioni sono asimmetriche o quadratiche, come il rapporto tra i rendimenti di un indice e l’aumento della volatilità (il cosiddetto volatility smile o smirk). L’esercizio dimostra che un coefficiente [math]r = 0[/math] non significa “nessuna relazione”, ma solo “nessuna relazione lineare”. Trasformare i dati (es. usare i valori assoluti) rivela pattern che un semplice algoritmo lineare ignorerebbe completamente.