Test Chi-Quadrato: Guida Pratica con Esercizi Svolti, Correzione di Yates e Test di Fisher

Avere dei dati tra le mani è un po’ come ascoltare un brusio in una stanza affollata: c’è molto rumore, ma non è detto che ci sia un messaggio.

Se 65 studenti su 150 preferiscono l’Arabica, è un segnale reale o è solo il caso che sta giocando con i numeri?

Il Test Chi-Quadrato serve esattamente a questo: è il nostro ‘filtro per il rumore’.

Abbiamo preparato una guida pratica con esercizi svolti passo-passo: dalle basi fino al Test di Fisher per i campioni più piccoli.

Esercizio 1: La Preferenza per il Caffè (Test di Adattamento – Uniformità)

Testo dell’esercizio:

Il gestore di un bar universitario vuole rinnovare la sua macchina da caffè e deve scegliere tra tre miscele: Arabica, Robusta e Blend. Prima di prendere una decisione, vuole verificare se esiste una preferenza chiara tra gli studenti. Osserva le ordinazioni durante una mattinata e rileva le seguenti preferenze su un campione di 150 studenti:

• Arabica: 65
• Robusta: 50
• Blend: 35

Verifica, con un livello di significatività del 5% ([math]\alpha = 0.05[/math]), se le preferenze sono equamente distribuite o se esiste una miscela significativamente più o meno apprezzata.

Soluzione

1. Formulazione delle Ipotesi

H₀ (Ipotesi Nulla): Le preferenze per le tre miscele sono equamente distribuite. Non c’è una miscela preferita. In termini probabilistici: [math]P(\text{Arabica}) = P(\text{Robusta}) = P(\text{Blend}) = 1/3[/math].

H₁ (Ipotesi Alternativa): Le preferenze non sono equamente distribuite. Almeno una miscela è preferita (o non preferita) in modo significativamente diverso dalle altre.

2. Calcolo delle Frequenze Attese ([math]E_i[/math])

Sotto l’ipotesi nulla di uniformità, ci aspettiamo che le 150 osservazioni si distribuiscano equamente tra le 3 categorie.

[math]E = \frac{\text{Totale osservazioni}}{\text{n. categorie}} = \frac{150}{3} = 50[/math]

3. Calcolo della Statistica Test Chi-Quadrato ([math]\chi^2[/math])

La formula è:

[math]\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i – E_i)^2}{E_i}[/math]

4. Determinazione dei Gradi di Libertà (df) e del Valore Critico

• Gradi di Libertà: [math]df = (\text{numero di categorie} – 1) = 3 – 1 = 2[/math]
• Valore Critico: Cerchiamo sulla tavola della distribuzione Chi-Quadrato il valore corrispondente a [math]df = 2[/math] e [math]\alpha = 0.05[/math]. Questo valore è 5.991.

La regola di decisione è: Rifiuto H₀ se il mio [math]\chi^2[/math] calcolato è maggiore del valore critico.

5. Decisione e Interpretazione

Confronto: Il nostro [math]\chi^2[/math] calcolato (9.0) è maggiore del valore critico (5.991). Cade quindi nella “regione di rifiuto”.

Conclusione: Rifiutiamo l’ipotesi nulla. I dati forniscono sufficiente evidenza statistica per concludere che le preferenze non sono equamente distribuite.

Tabella dei Valori Critici per la Distribuzione [math]\chi^2[/math]

Esercizio 2: Genere e Preferenza Musicale (Test di Indipendenza)

Calcolo delle Frequenze Attese (Eᵢⱼ):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
E_{11} \text{ (M-Rock)} &= \frac{100 \cdot 80}{200} = 40 \\
E_{12} \text{ (M-Pop)} &= \frac{100 \cdot 70}{200} = 35 \\
E_{13} \text{ (M-Classica)} &= \frac{100 \cdot 50}{200} = 25 \\
E_{21} \text{ (F-Rock)} &= \frac{100 \cdot 80}{200} = 40 \\
E_{22} \text{ (F-Pop)} &= \frac{100 \cdot 70}{200} = 35 \\
E_{23} \text{ (F-Classica)} &= \frac{100 \cdot 50}{200} = 25
\end{aligned}[/math]

3. Calcolo della Statistica Test Chi-Quadrato ([math]\chi^2[/math])

4. Gradi di Libertà e Valore Critico

Gradi di Libertà: In una tabella di contingenza,

[math]df = (r – 1) \cdot (c – 1) = (2 – 1) \cdot (3 – 1) = 2[/math]

Valore Critico: Per [math]\alpha = 0.01[/math] e [math]df=2[/math], il valore critico è 9.210.

5. Decisione e Interpretazione

Confronto: Il [math]\chi^2[/math] calcolato (8.428) è minore del valore critico (9.210).

Conclusione: Non rifiutiamo l’ipotesi nulla. I dati non forniscono sufficiente evidenza statistica per concludere che esista un’associazione tra genere e preferenza musicale.

Domanda di Riflessione: Qual è la differenza sostanziale tra l’ipotesi nulla di questo esercizio (indipendenza) e quella dell’esercizio precedente (uguaglianza delle proporzioni)?

Risposta

La differenza tra il Test di Indipendenza e il Test di Omogeneità è sottile poiché entrambi utilizzano la stessa statistica test [math]\chi^2[/math] e la stessa procedura di calcolo. La distinzione risiede esclusivamente nel modo in cui i dati vengono campionati e nell’ipotesi nulla che si intende verificare.

Il Test Esatto di Fisher: Procedura e Calcolo

Il test di Fisher si basa sulla distribuzione ipergeometrica. Data una tabella [math]2 \times 2[/math] con i valori:

La probabilità [math]p[/math] di ottenere esattamente quella tabella, mantenendo fissi i totali marginali, è data dalla formula:

[math]p = \frac{(a+b)! (c+d)! (a+c)! (b+d)!}{a! b! c! d! n!}[/math]

Applicazione ai nostri dati (N=20)

Riprendiamo i dati dello studio precedente:

• [math]a = 8[/math] (Trattamento-Successo), [math]b = 2[/math] (Trattamento-Insuccesso)
• [math]c = 4[/math] (Controllo-Successo), [math]d = 6[/math] (Controllo-Insuccesso)
• Totali marginali: 10, 10, 12, 8. Totale generale [math]n = 20[/math].

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p &= \frac{10! \cdot 10! \cdot 12! \cdot 8!}{8! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 6! \cdot 20!} \\
&{} \quad \text{Semplificando i fattoriali:} \\
p &\approx 0.075
\end{aligned}[/math]

In un test a due code (per vedere se c’è una differenza in qualunque direzione), dobbiamo sommare la probabilità di questa tabella a quella di tabelle ancora più estreme. Il risultato finale (p-value) ci dirà se la differenza è significativa.

Confronto dei Risultati: Chi-quadrato vs Fisher

Perché differiscono così tanto?

Il Chi-quadrato standard “bara” un po’ quando i numeri sono piccoli, facendoti credere che i risultati siano più vicini alla significatività di quanto non siano in realtà. La Correzione di Yates tenta di rimediare, ma a volte esagera nel senso opposto. Il Test di Fisher, invece, non fa congetture: ti dà la probabilità matematica esatta.

1. La soglia della verità (Il paradosso del caffè)

L’esercizio 1 dimostra che la statistica ha un “udito” molto più fine del nostro occhio. Davanti a numeri come 65, 50 e 35, la nostra mente tende a pensare: “Vabbè, oscillazioni normali”. Il Test di Adattamento stabilisce invece un confine oggettivo.

• Valore pratico: È l’esercizio perfetto per chi gestisce un business. Ti dice quando smettere di comprare la miscela meno richiesta (Blend) non per “sensazione”, ma perché i numeri confermano che stai sprecando spazio in magazzino.

2. L’inganno del genere (Musica e Pregiudizi)

L’esercizio 2 è una lezione di umiltà scientifica. Spesso vediamo differenze (gli uomini sembrano preferire il Rock più delle donne) e siamo tentati di trarre conclusioni affrettate. La statistica qui funge da avvocato del diavolo.

• La severità di [math]\alpha[/math]: Usando un livello di significatività dell’1% ([math]\alpha=0.01[/math]), il test ci dice: “Fermo, con questo campione non puoi giurarci”. È l’antidoto ideale ai pregiudizi basati su osservazioni superficiali: ci insegna che una differenza visibile non è sempre una differenza reale.

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