Correlazione Non Parametrica: Esercizi Risolti su Spearman, Kendall e Gestione dei Pareggi

I “pareggi” ti mandano in crisi quando calcoli la correlazione? 
Chi lavora con dati reali sa bene che le variabili continue perfette sono un’utopia. Scale Likert, voti scolastici e ranking aziendali generano inevitabilmente decine di valori identici.
In questo nuovo articolo tecnico affrontiamo 3 casi studio avanzati di statistica non parametrica:

✅ Come correggere Spearman in presenza di molti pareggi (senza falsare il risultato).
✅ Come testare la significatività statistica con piccoli campioni.
✅ Quando abbandonare Spearman per passare al Tau di Kendall.

Se studi statistica o fai data analysis, questa guida pratica fa al caso tuo.

Cos’è una Scala Likert

Hai presente quei sondaggi dove, invece di un secco “Sì” o “No”, ti viene chiesto quanto sei d’accordo con una frase, spaziando da “Per nulla” a “Moltissimo”? Ecco, quella è una Scala Likert.

Prende il nome dallo psicologo Rensis Likert, che la ideò negli anni ’30 per misurare gli atteggiamenti e le opinioni in modo più sfumato rispetto alle domande chiuse tradizionali. È lo strumento principe della ricerca sociale, del marketing e della psicologia.

Com’è fatta una scala Likert?

In genere, si presenta come una serie di affermazioni (chiamate item) accostate a una scala di risposta graduata. La struttura più classica è a 5 punti, ma si usano spesso anche scale a 7 o 11 punti.

Esempio tipico:

“Il software è facile da usare.”

1. Completamente in disaccordo

2. In disaccordo

3. Neutrale / Né in accordo né in disaccordo

4. D’accordo

5. Completamente d’accordo

Perché si usa? (La questione dei dati)

Il vero motivo per cui ne abbiamo parlato discutendo di Spearman e Kendall è la natura dei dati che genera. Una scala Likert produce dati ordinali.

• Puoi ordinare le risposte: Sappiamo che “D’accordo” è più di “Neutrale”.

• Non conosci la distanza: Non possiamo dire con certezza matematica che la “distanza psicologica” tra 1 e 2 sia identica a quella tra 4 e 5.

Proprio perché la distanza tra i punti non è quantificabile con un metro oggettivo, i test parametrici (come la t di Student o il coefficiente di Pearson) sono tecnicamente “proibiti”, a meno di non avere campioni enormi che si approssimano alla normale. Ecco perché servono Spearman e Kendall.

Punti di forza e “trappole”

I vantaggi:

• Sfumature: Permette di catturare l’intensità di un sentimento, non solo la sua direzione.

• Semplicità: È intuitiva per chi risponde e veloce da somministrare.

Le insidie (Bias):

• Desiderabilità sociale: Gli utenti tendono a rispondere ciò che pensano sia “giusto” o “educato” (es. dare voti alti a un servizio se l’operatore è gentile, anche se il servizio era lento).

• Acquiescenza: La tendenza a dichiararsi d’accordo con qualsiasi affermazione sia presentata in modo positivo.

• Bias di tendenza centrale: Molte persone evitano gli estremi (1 e 5) rifugiandosi nel “Neutrale” (3) per non prendere posizione.

Consiglio per l’analista: Se noti che troppi utenti scelgono il valore centrale, prova a usare una scala a scelta forzata (ad esempio a 4 o 6 punti), eliminando l’opzione neutrale. Obbligherai l’utente a “schierarsi”, riducendo il rumore statistico.

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Esercizio 1 – Spearman con molti pareggi (medio-difficile)

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Risoluzione

Passo 1 – Trasformazione in ranghi medi

Assegniamo l’ordine: A=1, B=2, C=3, D=4. In caso di voti identici, applichiamo il rango medio.

• Matematica (X): 3A (pos. 1-3), 3B (pos. 4-6), 3C (pos. 7-9), 1D (pos. 10).Ranghi: A=[math]2[/math], B=[math]5[/math], C=[math]8[/math], D=[math]10[/math].
• Storia (Y): 1A (pos. 1), 5B (pos. 2-6), 3C (pos. 7-9), 1D (pos. 10).Ranghi: A=[math]1[/math], B=[math]4[/math], C=[math]8[/math], D=[math]10[/math].

[math]\sum d_i^2 = 24[/math]

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Passo 2 – Correzione per pareggi e calcolo [math]r_s[/math]

Quando i pareggi sono numerosi, la formula semplificata sovrastima il risultato.

Dobbiamo calcolare i fattori di correzione [math]T = \sum(t^3 – t)[/math]:

• Matematica ([math]T_x[/math]): Gruppi da 3, 3, 3, 1.[math]T_x = (27-3) + (27-3) + (27-3) + (0) = 72[/math]
• Storia ([math]T_y[/math]): Gruppi da 1, 5, 3, 1.[math]T_y = 0 + (125-5) + (27-3) + 0 = 144[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s = 1 – \frac{6 \sum d_i^2}{(n^3 – n) – (T_x + T_y)/2}
\end{aligned}[/math]

(Nota: Per precisione estrema si usa la formula della varianza dei ranghi, ma questa approssimazione è lo standard):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s = 1 – \frac{6 \times 24}{990 – (72 + 144)/2} = 1 – \frac{144}{882} \approx 0{,}837
\end{aligned}[/math]

Confronto: Senza correzione il valore sarebbe stato [math]0{,}855[/math]. La correzione abbassa il coefficiente poiché riconosce che i pareggi riducono la precisione dell’ordinamento.

Esercizio 2 – Test di significatività per Spearman (difficile)

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Risoluzione

Passo 1 – Calcolo di [math]r_s[/math] con ranghi medi

La variabile “Somministrazione” (X) ha già ranghi unici 1-12. Per il “Dolore” (Y), assegniamo i ranghi medi ai pareggi:

• Voto 1: pos. 1-2 → Rango 1,5
• Voto 2: pos. 3-4 → Rango 3,5
• Voto 3: pos. 5-7 → Rango 6
• Voto 4: pos. 8-10 → Rango 9
• Voto 5: pos. 11-12 → Rango 11,5

Applicando la formula della correlazione di Pearson sui ranghi (necessaria data la presenza di molti pareggi):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
r_s = \frac{\text{Cov}(R_x, R_y)}{\sigma_{R_x} \sigma_{R_y}} \approx 0{,}253
\end{aligned}[/math]

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Passo 2 – Test di significatività (Approssimazione [math]t[/math])

Per [math]n \geq 10[/math], testiamo l’ipotesi nulla [math]H_0: \rho_s = 0[/math] utilizzando la statistica:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t = r_s \sqrt{\frac{n-2}{1 – r_s^2}}
\end{aligned}[/math]

Sostituendo i valori:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
t = 0{,}253 \times \sqrt{\frac{10}{1 – 0{,}064}} = 0{,}253 \times \sqrt{10{,}68} \approx 0{,}828
\end{aligned}[/math]

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Passo 3 – Verdetto Statistico

• Gradi di libertà (df): [math]12 – 2 = 10[/math]
• Valore critico ([math]\alpha = 0,05[/math], bilaterale): [math]t_{crit} \approx 2{,}228[/math]
• Confronto: Poiché [math]|0{,}828| < 2{,}228[/math], non possiamo rifiutare l’ipotesi nulla.

Interpretazione: Nonostante il coefficiente sia positivo ([math]0,25[/math]), non vi è evidenza statistica sufficiente per affermare che l’ordine di somministrazione influenzi il dolore percepito. Il risultato potrebbe essere dovuto al caso.

Esercizio 3 – Scelta tra Spearman e Kendall in un caso reale (molto difficile)

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Risoluzione

Passo 1 – La scelta metodologica

La richiesta di un’interpretazione basata sulla probabilità di concordanza punta dritto verso il [math]\tau[/math] di Kendall.

La sua definizione logica è infatti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\tau = P(\text{concordanza}) – P(\text{discordanza})
\end{aligned}[/math]

Spearman, pur essendo eccellente per descrivere la forza della relazione monotona, non ha una traduzione probabilistica diretta (essendo una correlazione di Pearson sui ranghi). In presenza di molti pareggi, Kendall [math]\tau_b[/math] è più robusto e offre una visione più prudente.

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Passo 2 – Esempio simulato con pareggi

Creiamo 6 clienti con Prestigio (P) e Fedeltà (F):

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Passo 3 – Analisi dei risultati

• Spearman [math]r_s[/math]: Calcolando i quadrati delle differenze ([math]\sum d^2 = 64{,}5[/math]), otteniamo [math]r_s \approx -0{,}84[/math].
• Kendall [math]\tau[/math]: Analizzando le 15 coppie possibili, notiamo che quasi tutte le coppie valutabili (non pareggiate) sono discordanti (all’aumentare di P, F diminuisce).

Differenza interpretativa:

• Spearman (-0,84): “Esiste una forte associazione negativa tra il prestigio del brand e la fedeltà dei clienti”.
• Kendall (-1,0 se ignoriamo i pareggi): “Preso un cliente a caso, la probabilità che a un aumento di prestigio corrisponda una diminuzione della fedeltà è massima”.

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💡 Osservazione finale

In presenza di molti pareggi, la “monotonia” non può mai essere perfetta (1 o -1) perché i pareggi bloccano l’ordinamento. Kendall [math]\tau_b[/math] gestisce questo limite riducendo il denominatore, offrendo un coefficiente che riflette solo le coppie “decidibili”.

Per consolidare i concetti, chiudiamo con la risposta ai tre “perché” nascosti dietro questi esercizi.

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Commento Applicativo

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