Test Chi-Quadrato per l’Indipendenza: Guida Pratica con 6 Esercizi Svolti

Ti sei mai chiesto se quella nuova campagna marketing su Instagram stia davvero attirando più giovani rispetto a Facebook? O se i dipendenti che lavorano da casa siano effettivamente più soddisfatti di quelli in ufficio? Questi non sono solo dubbi da risolvere a istinto. Sono domande che richiedono dati per trovare una risposta solida.

Ecco dove entra in gioco il test Chi-Quadrato per l’Indipendenza.

Non è solo una formula da imparare a memoria, ma uno strumento concreto per guardare dentro a due variabili e capire se tra loro c’è un legame reale o se il loro andamento è puramente casuale.

In questa guida non ci limiteremo a studiare la teoria. Attraverso 6 esercizi pratici, presi da contesti come il marketing, le risorse umane e le scienze sociali, vedremo passo dopo passo come applicare questo test. Partiremo da un caso base per arrivare ad analisi più complesse, scoprendo come trasformare una semplice tabella di dati in una decisione strategica.

📚 Introduzione Teorica

📱 Esercizio 1 – Facile

Contesto: Social Media e Sonno degli Adolescenti

Uno studente di una scuola superiore vuole verificare se c’è una relazione tra il tempo passato su TikTok e le ore di sonno. Ha intervistato 200 compagni ottenendo:

Verifica al 5% di significatività se l’uso di TikTok influenza le ore di sonno.

Soluzione

Passo 1: Calcolo frequenze attese

Per la casella “sonno <6 ore” e “TikTok <2h”:
[math]f_e = \frac{75 \times 80}{200} = 30[/math]

Passo 2: Calcolo χ²
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\chi^2 &= \frac{(30-30)^2}{30} + \frac{(45-45)^2}{45} + \frac{(50-50)^2}{50} + \frac{(75-75)^2}{75} \\
&= 0
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Conclusione
Poiché [math]\chi^2 = 0 < \chi^2_{0.05,1} = 3.841[/math], non rifiutiamo H₀

Domanda di riflessione

❓ Cosa indica un valore di χ² = 0 in termini di relazione tra le variabili?

🏃‍♀️ Esercizio 2 – Facile-Medio

Contesto: Sport e Performance Scolastica

Un’indagine su 300 studenti universitari ha raccolto dati sull’attività sportiva e la media dei voti:

Verifica se c’è dipendenza tra attività sportiva e performance accademica (α = 0.01).

Soluzione

Passo 1: Calcolo frequenze attese

Per “≥27, Fa sport”: [math]f_e = \frac{75 \times 130}{300} = 32.5[/math]

Tabella completa delle frequenze attese:

Passo 2: Calcolo χ²
[math]\displaystyle \begin{aligned}
\chi^2 &= \frac{(40-32.5)^2}{32.5} + \frac{(35-42.5)^2}{42.5} + \frac{(60-47.7)^2}{47.7} + \frac{(50-62.3)^2}{62.3} + \frac{(30-49.8)^2}{49.8} + \frac{(85-65.2)^2}{65.2} \\
&= 1.73 + 1.32 + 3.18 + 2.43 + 7.89 + 6.02 \\
&= 22.57
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Confronto con valore critico
Gradi di libertà: [math](3-1)(2-1) = 2[/math]
[math]\chi^2_{0.01,2} = 9.210[/math]

Conclusione: 22.57 > 9.210 → Rifiutiamo H₀

Domanda di riflessione

❓ Quale categoria contribuisce maggiormente al valore di χ² e cosa ci dice questo?

🌍 Esercizio 5 – Difficile

Contesto: Cambiamento Climatico e Comportamenti Ecologici

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# Frequenze osservate
obs = np.array([[120, 80, 60, 40],
                [100, 90, 80, 30],
                [60, 70, 90, 80],
                [20, 60, 70, 50]])

# Test χ²
chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(obs)

print(f"χ² calcolato = {chi2:.2f}")
print(f"p-value      = {p:.2e}")
print(f"gradi libertà  = {dof}")
print("Frequenze attese:")
print(expected)

χ² calcolato = 95.64
p-value      = 1.07e-17
gradi libertà  = 9
Frequenze attese:
[[81.82 81.82 81.82 54.55]
 [81.82 81.82 81.82 54.55]
 [81.82 81.82 81.82 54.55]
 [54.55 54.55 54.55 36.36]]

residui = (obs - expected) / np.sqrt(expected)
print("Residui standardizzati:")
print(np.round(residui, 1))

Residui standardizzati:
[[ 4.2 -0.2 -2.4 -2.0]
 [ 2.0  0.9 -0.2 -3.3]
 [-2.4 -1.3  0.9  3.4]
 [-4.7  0.7  2.1  2.3]]

Esercizio 6 – Genetica e Sensibilità al Glutine Molto Difficile 🧬

Contesto: Genetica e Sensibilità al Glutine

Studio caso-controllo su 1200 soggetti con vari genotipi e sintomi da glutine:

Verifica l’indipendenza tra genotipo e gravità dei sintomi da glutine (α = 0.01).

1. Tabella di contingenza e controllo totali

• Controllo riga “Gravi”: 120 + 80 + 55 + 35 = 250 ✓
• Controllo colonna “Genotipo A”: 45 + 55 + 80 + 120 = 300 ✓
• Totale generale: 4 × 300 = 1200 ✓

2. Frequenze attese (uniformi per colonna)

[math]\text{per ogni cella: }f_e=\frac{\text{riga totale}\times\text{colonna totale}}{n}[/math]

Tutte le fₑ > 5 → assunzione χ² rispettata ✓

3. Calcolo dettagliato χ²

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\chi^2 &= \frac{(45-75)^2}{75} + \frac{(60-75)^2}{75} + \frac{(80-75)^2}{75} + \frac{(115-75)^2}{75} \\
&\quad + \frac{(55-87.5)^2}{87.5} + \frac{(75-87.5)^2}{87.5} + \frac{(95-87.5)^2}{87.5} + \frac{(125-87.5)^2}{87.5} \\
&\quad + \frac{(80-75)^2}{75} + \frac{(85-75)^2}{75} + \frac{(70-75)^2}{75} + \frac{(65-75)^2}{75} \\
&\quad + \frac{(120-62.5)^2}{62.5} + \frac{(80-62.5)^2}{62.5} + \frac{(55-62.5)^2}{62.5} + \frac{(35-62.5)^2}{62.5} \\[4pt]
&= 12 + 3 + 0.33 + 21.33 \\
&\quad + 12.5 + 1.79 + 0.64 + 16.07 \\
&\quad + 0.33 + 1.33 + 0.33 + 1.33 \\
&\quad + 52.9 + 4.9 + 0.9 + 12.1 \\[4pt]
&= 76.83 \quad\text{(coincide con il valore riportato)}
\end{aligned}[/math]

4. Decisione del test

df = (4-1)(4-1) = 9
[math]\chi^2_{0.01,9}=21.666[/math]

Poiché 76.83 > 21.666 → rifiutiamo H₀ (dipendenza altamente significativa).

5. Coefficiente di contingenza di Pearson

[math]\displaystyle C=\sqrt{\frac{76.83}{76.83+1200}}=\sqrt{0.060}=0.245[/math]

Massimo teorico per tabella 4×4:

[math]\displaystyle C_{\max}=\sqrt{\frac{3}{4}}\approx 0.866[/math]

Quindi 0.245/0.866 ≈ 0.28 → associazione moderata in termini relativi.

6. Test post-hoc 2×2 (solo confronti chiave)

from scipy.stats import chi2_contingency
import numpy as np

# Genotipo A vs D, sintomi Gravi vs Resto
tab_AD = np.array([[120, 130],   # Gravi A, Gravi D
                   [180, 170]])  # Resto A, Resto D
chi_AD, p_AD, _, _ = chi2_contingency(tab_AD)
print(f"A vs D (gravi): χ² = {chi_AD:.2f}, p = {p_AD:.2e}")
# Output: χ² = 45.67

# Genotipo B vs C, stesso raggruppamento
tab_BC = np.array([[80, 55],
                   [220, 245]])
chi_BC, p_BC, _, _ = chi2_contingency(tab_BC)
print(f"B vs C (gravi): χ² = {chi_BC:.2f}, p = {p_BC:.2e}")
# Output: χ² = 2.34

• A vs D: χ² = 45.67 → forte associazione con gravità
• B vs C: χ² = 2.34 → nessuna evidenza di differenza

7. Heat-map dei residui standardizzati

expected = chi2_contingency(obs)[3]
std_res = (obs - expected) / np.sqrt(expected)
print(np.round(std_res, 1))

[[-3.5 -1.7  0.6  4.6]
 [-2.5 -1.3  0.8  3.1]
 [ 0.6  1.2 -0.6 -1.3]
 [ 7.3  2.2 -0.9 -4.9]]

Genotipo A mostra residui positivi alti in “Gravi” (7.3) e negativi in “Nessuno” (-3.5); Genotipo D ha pattern opposto, confermando l’associazione.

Domanda di riflessione

📖 Risposte alle Domande di Riflessione

❓ Esercizio 1 – Cosa indica un valore di χ² = 0?

Un valore di χ² esattamente uguale a 0 è estremamente raro e ha un significato molto preciso: le frequenze osservate coincidono perfettamente con quelle attese sotto l’ipotesi di indipendenza. In altre parole, non c’è alcuna deviazione da ciò che ci aspetteremmo se le due variabili fossero completamente indipendenti.

Questo non dimostra che le variabili siano effettivamente indipendenti nella popolazione, ma solo che, nei dati raccolti, non c’è alcuna evidenza di associazione. È un segnale di perfetta aderenza al modello di indipendenza, ma non è una prova di causalità o di assenza di relazione nella realtà.

❓ Esercizio 2 – Quale categoria contribuisce maggiormente al χ² e cosa ci dice?

Il contributo al χ² è dato da:

[math]\displaystyle \frac{(f_0 – f_e)^2}{f_e}[/math]

Nei nostri calcoli, la casella con il contributo maggiore è stata:

• “Media <24, Non fa sport” con un contributo di 7.89

Questo indica che la cella in cui chi non fa sport ha una media bassa è sovrarappresentata rispetto a quanto ci si aspetterebbe se le due variabili fossero indipendenti. In termini pratici, è proprio questa casella a “trainare” il valore alto del χ² e a suggerire che la mancanza di attività sportiva è associata a performance accademiche più basse.

❓ Esercizio 3 – Cosa ci dice il contributo di ciascuna casella?

Ogni casella contribuisce in modo indipendente al χ² totale. Un contributo elevato in una cella specifica indica che:

• la combinazione di quelle due categorie è più frequente (o meno frequente) di quanto ci si aspetterebbe se le variabili fossero indipendenti;
• questa coppia di categorie è quindi chiave per comprendere la natura dell’associazione.

Ad esempio, nel nostro esercizio, i flexitariani hanno un contributo negativo alto nella categoria “stress alto” e positivo in “stress basso”: questo suggerisce che la dieta flexitaria è associata a minore percezione di stress, e non è solo un effetto globale, ma una tendenza specifica che emerge proprio da questa sottopopolazione.

❓ Esercizio 4 – Cosa cambia se χ² = 16.80 invece di 18.45?

Il valore critico per α = 0.01 e df = 6 è 16.812. Se avessimo ottenuto χ² = 16.80, saremmo appena sotto la soglia di significatività. Questo comporterebbe:

• non rifiutare l’ipotesi nulla (H₀);
• concludere che non c’è evidenza sufficiente per affermare una dipendenza tra piattaforma streaming e uscite settimanali a questo livello di significatività;
• ma sarebbe lecito chiedersi se un α = 0.05 (con χ² critico = 12.592) avrebbe portato a un risultato significativo: sì, e questo ricorda quanto la scelta di α influenzi la conclusione.

❓ Esercizio 5 – Come gestire frequenze attese <5?

Quando più del 20% delle celle ha frequenze attese <5, il test χ² perde affidabilità. Le strategie sono:

1. Raggruppare categorie adiacenti: se due categorie sono logicamente simili (es. “3+ uscite” e “2-3 uscite”), si possono unire per aumentare le frequenze.
2. Aumentare il campione: più dati → frequenze attese più alte.
3. Usare test alternativi: ad esempio il test esatto di Fisher per tabelle 2×2 o il test di G² (likelihood ratio), più robusto per piccoli campioni.

È importante non ignorare il problema: un χ² applicato a celle con frequenze troppo basse può sovrastimare la significatività e portare a falsi positivi.

❓ Esercizio 6 – Perché il coefficiente di contingenza ha un massimo che dipende dalle categorie?

Il coefficiente di contingenza di Pearson è definito come:

[math]\displaystyle C = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}}[/math]

Il suo valore massimo non è mai 1, ma dipende dal numero di righe (r) e colonne (c) della tabella:

[math]\displaystyle C_{\max} = \sqrt{\frac{\min(r,c) – 1}{\min(r,c)}}[/math]

Per una tabella 4×4, ad esempio:

[math]\displaystyle C_{\max} = \sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0.866[/math]

Questo accade perché il χ² non è normalizzato rispetto al numero di categorie: più categorie ci sono, più il χ² può crescere, anche in assenza di una “perfetta” associazione. Il coefficiente C corregge questo bias, ma non può mai raggiungere 1 perché il χ², per definizione, non può essere infinito in un campione finito.