Regressione Quadratica: Perché la Tua Crescita Non è Mai una Linea Retta

Soluzione

Passo 1: Comprensione del problema e impostazione del modello

Siamo in presenza di un problema di regressione quadratica: vogliamo trovare la parabola che meglio si adatta ai dati osservati, secondo il criterio dei minimi quadrati.

Il modello quadratico generale è:

[math]y = ax^2 + bx + c[/math]

dove:

• [math]x[/math] = variabile indipendente (numero del mese: 1, 2, 3, 4, 5, 6)
• [math]y[/math] = variabile dipendente (vendite in migliaia di euro)
• [math]a, b, c[/math] = coefficienti da determinare

Obiettivo: Minimizzare la somma dei quadrati dei residui:

[math]\min_{a,b,c} \sum_{i=1}^{6} (y_i – (ax_i^2 + bx_i + c))^2[/math]

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Passo 2: Formulazione del sistema delle equazioni normali

Per la regressione quadratica, il sistema delle equazioni normali si ottiene derivando la funzione obiettivo rispetto a ciascun coefficiente:

[math]\displaystyle \begin{cases}
\frac{\partial}{\partial c}: \sum (y_i – (ax_i^2 + bx_i + c)) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial b}: \sum x_i (y_i – (ax_i^2 + bx_i + c)) = 0 \\
\frac{\partial}{\partial a}: \sum x_i^2 (y_i – (ax_i^2 + bx_i + c)) = 0
\end{cases}[/math]

Che si riscrive come:

[math]\displaystyle \begin{cases}
nc + b\sum x_i + a\sum x_i^2 = \sum y_i \\
c\sum x_i + b\sum x_i^2 + a\sum x_i^3 = \sum x_i y_i \\
c\sum x_i^2 + b\sum x_i^3 + a\sum x_i^4 = \sum x_i^2 y_i
\end{cases}[/math]

Dove [math]n=6[/math] (numero di osservazioni).

Perché stiamo facendo questa fatica?

Perché i software ci danno il numero, ma non il ‘perché’. Capire come la macchina minimizza l’errore (i minimi quadrati) è l’unica difesa che hai contro i modelli ‘allucinati’ o sbagliati.

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Passo 3: Calcolo delle somme necessarie

Calcoliamo tutte le somme richieste per i dati:

• [math]x_i[/math]: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• [math]y_i[/math]: 12, 15, 20, 26, 33, 41

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\sum x_i &= 1+2+3+4+5+6 = 21 \\
\sum x_i^2 &= 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 91 \\
\sum x_i^3 &= 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 = 441 \\
\sum x_i^4 &= 1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4 = 2275 \\
\sum y_i &= 12+15+20+26+33+41 = 147 \\
\sum x_i y_i &= 1(12)+2(15)+3(20)+4(26)+5(33)+6(41) = 617 \\
\sum x_i^2 y_i &= 1(12)+4(15)+9(20)+16(26)+25(33)+36(41) = 2969
\end{aligned}[/math]

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Passo 4: Sistema delle equazioni normali

Sostituiamo le somme nel sistema:

[math]\displaystyle \begin{cases}
6c + 21b + 91a = 147 & (1) \\
21c + 91b + 441a = 617 & (2) \\
91c + 441b + 2275a = 2969 & (3)
\end{cases}[/math]

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Passo 5: Risoluzione del sistema (metodo di sostituzione)

Dalla (1):

[math]\displaystyle c = \frac{147 – 21b – 91a}{6} \quad (4)[/math]

Sostituiamo (4) in (2) e moltiplichiamo per 6:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& 21(147 – 21b – 91a) + 546b + 2646a = 3702 \\
& 3087 – 441b – 1911a + 546b + 2646a = 3702 \\
& 105b + 735a = 615 \quad (5)
\end{aligned}[/math]

Sostituiamo (4) in (3) e moltiplichiamo per 6:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& 91(147 – 21b – 91a) + 2646b + 13650a = 17814 \\
& 13377 – 1911b – 8281a + 2646b + 13650a = 17814 \\
& 735b + 5369a = 4437 \quad (6)
\end{aligned}[/math]

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Passo 6: Risoluzione del sistema in a e b

Dalla (5):

[math]\displaystyle b = \frac{615 – 735a}{105} = \frac{41}{7} – 7a \quad (7)[/math]

Sostituiamo (7) in (6):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& 735 \left( \frac{41}{7} – 7a \right) + 5369a = 4437 \\
& 105(41) – 5145a + 5369a = 4437 \\
& 4305 + 224a = 4437 \\
& 224a = 132 \implies a = \frac{33}{56} \approx 0.5892857
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo [math]b[/math] dalla (7):

[math]\displaystyle b = \frac{41}{7} – 7 \left( \frac{33}{56} \right) = \frac{41}{7} – \frac{33}{8} = \frac{328 – 231}{56} = \frac{97}{56} \approx 1.7321429[/math]

Calcoliamo [math]c[/math] dalla (4):

[math]\displaystyle c = \frac{147 – 21(\frac{97}{56}) – 91(\frac{33}{56})}{6} = \frac{147 – 36.375 – 53.625}{6} = 9.5[/math]

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Passo 7: Modello di regressione quadratica

Il modello finale è:

[math]y = \frac{33}{56}x^2 + \frac{97}{56}x + 9.5[/math]

In forma decimale:

[math]y = 0.5893x^2 + 1.7321x + 9.5[/math]

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Passo 8: Interpretazione e Previsione

Previsione per luglio ([math]x=7[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y &= 0.5893(49) + 1.7321(7) + 9.5 \\
y &= 28.8757 + 12.1247 + 9.5 = 50.5004 \text{ mila €}
\end{aligned}[/math]

💡 OSSERVAZIONI IMPORTANTI:

• Coefficiente quadratico positivo: Indica crescita accelerata (effetto stagionale).
• Costante [math]c = 9.5[/math]: Rappresenta le vendite basali teoriche.
• Vantaggi: Rispetto al modello lineare, questo cattura meglio la curvatura dei dati tipica dei mercati stagionali.

L’immagine analizzata conferma la robustezza del modello quadratico [math]y = 0.589x^2 + 1.732x + 9.5[/math] attraverso sei test statistici fondamentali.

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1. Modello vs Dati Osservati

Il primo grafico mostra un’aderenza quasi perfetta tra i dati reali e la curva teorica. I residui puntuali ([math]\epsilon[/math]) sono evidenziati in giallo, con scostamenti minimi (il più alto è [math]-0.32[/math] al mese 2).

2. Test di Omoschedasticità (Residui vs Valori Previsti)

Osservando il terzo grafico in alto a destra, i punti sono distribuiti senza una forma a “imbuto”.

• Significato Business: La variabilità dell’errore non aumenta al crescere delle vendite. Questo garantisce che le previsioni siano affidabili sia per i mesi a bassa vendita che per quelli ad alto volume.

3. Analisi della Normalità (Istogramma e QQ-Plot)

I grafici in basso a sinistra e al centro verificano se gli errori seguono una distribuzione normale.

• Shapiro-Wilk Test: Con un [math]p = 0.3800[/math], il test conferma formalmente che i residui sono NORMALI.
• QQ-Plot: Sebbene ci sia una leggera deviazione dalla linea rossa, la tendenza generale segue la distribuzione teorica.

4. Rilevazione Outlier (Residui Standardizzati)

L’ultimo grafico a destra mostra i residui in termini di deviazioni standard ([math]\sigma[/math]).

• Risultato: Nessun punto supera la soglia critica di [math]\pm 2\sigma[/math] o [math]\pm 3\sigma[/math].
• Insight: Non ci sono anomalie nei dati (es. picchi di vendita imprevisti o errori di registrazione) che stiano distorcendo il calcolo della media.

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Metrica Statistica	Valore Rilevato	Stato Diagnostico
RMSE (Errore Quadratico Medio)	0.1725	✅ Eccellente
MAE (Errore Medio Assoluto)	0.1429	✅ Molto Basso
Outliers (>3σ)	0	✅ Nessun Errore Critico

Verdetto Finale per lo Stakeholder: I dati non mostrano solo una crescita, ma una coerenza statistica totale. Il modello non è influenzato da “rumore” eccessivo ed è pronto per essere utilizzato come base per il piano di approvvigionamento del prossimo trimestre.

Esercizio 2: La Legge dei Rendimenti Decrescenti (Ottimizzazione Budget)

Scenario: Un’agenzia di digital marketing testa l’efficacia di una campagna su un nuovo canale social. L’obiettivo è capire quando la spesa diventa inefficiente a causa della saturazione del pubblico.

I Dati Osservati:

• 100€ ([math]x=1[/math]): 40 lead
• 200€ ([math]x=2[/math]): 70 lead
• 300€ ([math]x=3[/math]): 90 lead
• 400€ ([math]x=4[/math]): 100 lead
• 500€ ([math]x=5[/math]): 100 lead
• 600€ ([math]x=6[/math]): 90 lead

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1. Il Modello di Regressione

Per questi dati, il modello quadratico che minimizza i residui è:

[math]\displaystyle y = -5x^2 + 45x[/math]

(Nota: In questo caso ideale l’intercetta è 0, assumendo che con budget 0 si ottengano 0 lead).

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2. Verifica di Coerenza (Fit del Modello)

Verifichiamo se il modello “legge” bene la realtà nei punti critici:

• Per [math]x=4[/math] (400€): [math]y = -5(16) + 45(4) = -80 + 180 = \mathbf{100}[/math] (Match perfetto)
• Per [math]x=5[/math] (500€): [math]y = -5(25) + 45(5) = -125 + 225 = \mathbf{100}[/math] (Match perfetto)

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3. Individuazione del Budget Ottimale (Vertice)

Il punto di massimo rendimento si trova nel vertice della parabola. Usiamo la formula:

[math]\displaystyle x_{ottimale} = -\frac{b}{2a} = -\frac{45}{2(-5)} = \frac{45}{10} = 4.5[/math]

Interpretazione: Il budget perfetto è 450€.
A questo livello, il modello prevede un picco di:

[math]\displaystyle y = -5(4.5)^2 + 45(4.5) = -101.25 + 202.5 = \mathbf{101.25 \text{ lead}}[/math]

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