Regressione Quadratica: Oltre la Linea Retta
Non tutto nel mondo segue una linea retta. Se provi a disegnare una retta attraverso i dati del lancio di un sasso, o del costo di produzione in una fabbrica, noterai subito che la linea non “cattura” bene i punti.
Molti fenomeni accelerano, rallentano, raggiungono un picco per poi scendere, o toccano un minimo prima di risalire. È qui che la classica retta (y = mx + q) mostra i suoi limiti.
Per fortuna, abbiamo uno strumento più flessibile: la Regressione Quadratica (o Regressione Polinomiale di Grado 2). Non è complicata come sembra. Invece di una retta, usiamo una parabola (la curva di secondo grado) per adattarci a questi andamenti.
Questo ci permette di trovare e interpretare punti cruciali come i massimi (il picco di efficienza, il traffico massimo) e i minimi (il costo più basso, il tempo di elaborazione ottimale).
La Regressione Quadratica è una forma di analisi di regressione che modella la relazione tra una variabile indipendente ([math]x[/math]) e una variabile dipendente ([math]y[/math]) come un polinomio di secondo grado. È particolarmente utile quando i dati mostrano una relazione non lineare a forma di parabola (concavità verso l’alto o verso il basso).
La forma generale del modello è:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2
\end{aligned}[/math]Dove:
-
[math]a_0[/math] è l’intercetta (il valore di [math]y[/math] quando [math]x=0[/math]).
-
[math]a_1[/math] è il coefficiente lineare.
-
[math]a_2[/math] è il coefficiente quadratico, che determina la concavità della parabola.
Esercizio 1: L’Apertura del Paracadute
Livello di Difficoltà: Facile
Scenario:Un team di ingegneri testa l’altitudine ([math]y[/math], in metri) di un drone dopo l’apertura di un paracadute in funzione del tempo ([math]x[/math], in secondi).
Ci si aspetta una traiettoria parabolica (decelerazione iniziale e poi caduta costante).
Dati Osservati
| Tempo (s) ([math]x[/math]) | Altitudine (m) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 0.00 | 100.00 |
| 1.00 | 95.00 |
| 2.00 | 84.00 |
| 3.00 | 67.00 |
| 4.00 | 44.00 |
| 5.00 | 15.00 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
Dato che lo scenario suggerisce un andamento con un punto di flesso (massimo o minimo) o una variazione di pendenza, scegliamo il modello di regressione quadratica: [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math].
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Il metodo dei minimi quadrati (OLS) viene applicato per trovare i coefficienti [math]a_0, a_1, a_2[/math] che minimizzano la somma dei quadrati degli errori (la distanza verticale tra i punti dati e la curva). Questo richiede la risoluzione di un sistema di equazioni normali (o l’uso di librerie statistiche avanzate).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]100.0000[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]-2.0000[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]-3.0000[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 100.0000 -2.0000x -3.0000x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = -3.0000[/math] è negativo, il che indica che la parabola ha concavità verso il basso. Questo significa che la funzione ha un punto di massimo (Vertice) in:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (-0.33, 100.33)
\end{aligned}[/math]
Nel contesto dell’esercizio, questo punto rappresenta l’Altitudine Massima del fenomeno modellato.
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]1.0000[/math]. Questo valore, molto vicino a 1, indica che il modello quadratico spiega una percentuale molto alta della variabilità totale dei dati osservati, suggerendo un ottimo adattamento.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda: Qual è il significato fisico del coefficiente [math]a_2[/math] (il termine quadratico) in questo contesto?
Risposta: Il coefficiente [math]a_2[/math] è proporzionale all’accelerazione (o decelerazione) verticale del drone. Un valore negativo indica una concavità verso il basso, tipica di un corpo in caduta (o che sta rallentando la sua salita/caduta iniziale in modo non lineare).
Esercizio 2: L’Efficienza del Pannello Solare
Livello di Difficoltà: Medio-Facile
Scenario: Dati leggermente rumorosi. Un ricercatore misura la potenza generata ([math]y[/math], in Watt) da un pannello solare in funzione dell’angolo di inclinazione ([math]x[/math], in gradi, da 0° a 90°). La potenza massima è attesa intorno ai 45°.
Dati Osservati
| Angolo di Inclinazione (°) ([math]x[/math]) | Potenza (W) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 10.00 | 54.99 |
| 20.00 | 81.98 |
| 30.00 | 100.87 |
| 40.00 | 99.26 |
| 50.00 | 97.09 |
| 60.00 | 83.29 |
| 70.00 | 61.30 |
| 80.00 | 25.91 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
Dato che lo scenario suggerisce un andamento con un punto di flesso (massimo o minimo) o una variazione di pendenza, scegliamo il modello di regressione quadratica: [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math].
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Il metodo dei minimi quadrati (OLS) viene applicato per trovare i coefficienti [math]a_0, a_1, a_2[/math] che minimizzano la somma dei quadrati degli errori (la distanza verticale tra i punti dati e la curva). Questo richiede la risoluzione di un sistema di equazioni normali (o l’uso di librerie statistiche avanzate).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]21.3394[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]3.9872[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]-0.0491[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 21.3394 +3.9872x -0.0491x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = -0.0491[/math] è negativo, il che indica che la parabola ha concavità verso il basso. Questo significa che la funzione ha un punto di massimo (Vertice) in:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (40.61, 102.30)
\end{aligned}[/math]
Nel contesto dell’esercizio, questo punto rappresenta l’Potenza Massima del fenomeno modellato.
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]0.9936[/math]. Questo valore, molto vicino a 1, indica che il modello quadratico spiega una percentuale molto alta della variabilità totale dei dati osservati, suggerendo un ottimo adattamento.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda:: Perché la Regressione Lineare Semplice non sarebbe un modello appropriato per questi dati?
Risposta: La Regressione Lineare Semplice (retta) è adatta solo per relazioni monotone (crescenti o decrescenti). Questi dati mostrano un massimo (un picco) intorno ai 40-50°, indicando una relazione non lineare a forma di parabola, che richiede un termine quadratico per essere modellata correttamente.
Esercizio 3: La Curva di Apprendimento di un Algoritmo
Livello di Difficoltà: Medio
Scenario: Dati con dispersione moderata e coefficienti piccoli. Si analizza il tempo medio ([math]y[/math], in millisecondi) impiegato da un algoritmo di machine learning per elaborare un’immagine in funzione del numero di iterazioni di training ([math]x[/math], in migliaia). L’efficienza migliora rapidamente all’inizio, poi rallenta.
Dati Osservati
| Iterazioni di Training (x1000) ([math]x[/math]) | Tempo di Elaborazione (ms) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 1.00 | 49.70 |
| 2.00 | 34.54 |
| 3.00 | 23.06 |
| 4.00 | 18.12 |
| 5.00 | 14.43 |
| 6.00 | 12.48 |
| 7.00 | 12.01 |
| 8.00 | 10.08 |
| 9.00 | 11.20 |
| 10.00 | 12.43 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
Dato che lo scenario suggerisce un andamento con un punto di flesso (massimo o minimo) o una variazione di pendenza, scegliamo il modello di regressione quadratica: [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math].
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Il metodo dei minimi quadrati (OLS) viene applicato per trovare i coefficienti [math]a_0, a_1, a_2[/math] che minimizzano la somma dei quadrati degli errori (la distanza verticale tra i punti dati e la curva). Questo richiede la risoluzione di un sistema di equazioni normali (o l’uso di librerie statistiche avanzate).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]58.7015[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]-13.2539[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]0.8831[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 58.7015 -13.2539x +0.8831x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = 0.8831[/math] è positivo, il che indica che la parabola ha concavità verso l’alto. Questo significa che la funzione ha un punto di minimo (Vertice) in:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (7.50, 8.97)
\end{aligned}[/math]
Nel contesto dell’esercizio, questo punto rappresenta l’Efficienza Massima del fenomeno modellato (il tempo di elaborazione minimo).
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]0.9695[/math]. Questo valore, molto vicino a 1, indica che il modello quadratico spiega una percentuale molto alta della variabilità totale dei dati osservati, suggerendo un ottimo adattamento.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda: Un valore di [math]R^2[/math] pari a 0.98 indica che il modello è perfetto? Spiega la tua risposta.
Risposta: No, un [math]R^2[/math] di 0.98 indica che il modello quadratico spiega il 98% della varianza dei dati. È un ottimo adattamento, ma non garantisce la perfezione. Il restante 2% è varianza non spiegata (errore residuo), che può derivare da rumore, variabili omesse o una forma funzionale leggermente diversa (es. logaritmica o esponenziale).
Esercizio 4: Previsione del Traffico Web
Livello di Difficoltà: Medio-Difficile
Scenario: Dati rumorosi e necessità di interpretazione del vertice. Un’azienda di e-commerce analizza il numero di visitatori giornalieri ([math]y[/math], in migliaia) in funzione del numero di campagne pubblicitarie attive ([math]x[/math], da 0 a 10). Troppe campagne possono portare a ‘affaticamento’ del pubblico e un calo di efficacia.
Dati Osservati
| Campagne Pubblicitarie Attive ([math]x[/math]) | Visitatori Giornalieri (x1000) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 0.00 | 5.98 |
| 1.00 | 13.98 |
| 2.00 | 16.22 |
| 3.00 | 23.82 |
| 4.00 | 25.30 |
| 5.00 | 28.43 |
| 6.00 | 28.68 |
| 7.00 | 21.85 |
| 8.00 | 16.40 |
| 9.00 | 12.55 |
| 10.00 | 7.15 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
Dato che lo scenario suggerisce un andamento con un punto di flesso (massimo o minimo) o una variazione di pendenza, scegliamo il modello di regressione quadratica: [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math].
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Il metodo dei minimi quadrati (OLS) viene applicato per trovare i coefficienti [math]a_0, a_1, a_2[/math] che minimizzano la somma dei quadrati degli errori (la distanza verticale tra i punti dati e la curva). Questo richiede la risoluzione di un sistema di equazioni normali (o l’uso di librerie statistiche avanzate).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]5.6111[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]8.3992[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]-0.8398[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 5.6111 +8.3992x -0.8398x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = -0.8398[/math] è negativo, il che indica che la parabola ha concavità verso il basso. Questo significa che la funzione ha un punto di massimo (Vertice) in:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (5.00, 26.61)
\end{aligned}[/math]
Nel contesto dell’esercizio, questo punto rappresenta l’Traffico Ottimale del fenomeno modellato.
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]0.9484[/math]. Questo valore, molto vicino a 1, indica che il modello quadratico spiega una percentuale molto alta della variabilità totale dei dati osservati, suggerendo un ottimo adattamento.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda: Come si calcola il numero ottimale di campagne (il vertice della parabola) e cosa rappresenta in termini decisionali?
Risposta: Il vertice della parabola [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math] si trova in [math]x_v = -a_1 / (2a_2)[/math]. Questo valore rappresenta il numero di campagne che massimizza il traffico web secondo il modello, fornendo una base quantitativa per la decisione strategica di marketing.
Esercizio 5: Ottimizzazione della Produzione Industriale
Livello di Difficoltà: Difficile
Scenario: Dati con forte dispersione e coefficienti grandi. Un impianto chimico misura il costo di produzione ([math]y[/math], in migliaia di Euro) in funzione della quantità prodotta ([math]x[/math], in tonnellate). I costi sono alti per piccole quantità (setup) e per grandi quantità (straordinari/usura).
Dati Osservati
| Quantità Prodotta (t) ([math]x[/math]) | Costo di Produzione (x1000 €) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 1.00 | 36.73 |
| 2.00 | 20.26 |
| 3.00 | 22.22 |
| 4.00 | 16.38 |
| 5.00 | 17.88 |
| 6.00 | 16.07 |
| 7.00 | 23.25 |
| 8.00 | 33.54 |
| 9.00 | 39.03 |
| 10.00 | 45.16 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
Dato che lo scenario suggerisce un andamento con un punto di flesso (massimo o minimo) o una variazione di pendenza, scegliamo il modello di regressione quadratica: [math]y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/math].
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Il metodo dei minimi quadrati (OLS) viene applicato per trovare i coefficienti [math]a_0, a_1, a_2[/math] che minimizzano la somma dei quadrati degli errori (la distanza verticale tra i punti dati e la curva). Questo richiede la risoluzione di un sistema di equazioni normali (o l’uso di librerie statistiche avanzate).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]42.5942[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]-10.7684[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]1.1347[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 42.5942 -10.7684x +1.1347x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = 1.1347[/math] è positivo, il che indica che la parabola ha concavità verso l’alto. Questo significa che la funzione ha un punto di minimo (Vertice) in:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (4.75, 17.05)
\end{aligned}[/math]
Nel contesto dell’esercizio, questo punto rappresenta l’Costo Minimo del fenomeno modellato.
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]0.9127[/math]. Questo valore, molto vicino a 1, indica che il modello quadratico spiega una percentuale molto alta della variabilità totale dei dati osservati, suggerendo un ottimo adattamento.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda: Se il modello quadratico risultasse con concavità verso l’alto ([math]a_2 > 0[/math]), cosa indicherebbe questo nel contesto dell’ottimizzazione del costo?
Risposta: Una concavità verso l’alto ([math]a_2 > 0[/math]) indica che la funzione ha un minimo. In questo contesto, il vertice della parabola rappresenterebbe la quantità prodotta che minimizza il costo medio (il punto di massima efficienza operativa). Questo è un risultato economico fondamentale.
Esercizio 6: Analisi della Traiettoria di un Proiettile
Livello di Difficoltà: Molto Difficile
Scenario: Si analizza l’altezza ([math]y[/math], in metri) di un proiettile in funzione della distanza orizzontale ([math]x[/math], in metri). La traiettoria (in assenza di resistenza dell’aria) è una parabola.
Dati Osservati
| Distanza Orizzontale (m) ([math]x[/math]) | Altezza (m) ([math]y[/math]) |
|---|---|
| 0.00 | -7.44 |
| 50.00 | 42.68 |
| 100.00 | 67.94 |
| 150.00 | 88.43 |
| 200.00 | 99.23 |
| 250.00 | 100.13 |
| 300.00 | 79.72 |
| 350.00 | 56.24 |
| 400.00 | 24.35 |
| 450.00 | -1.70 |
| 500.00 | -5.64 |
Soluzione
Passaggio 1: Scelta del Modello
La traiettoria fisica è una parabola, per cui si sceglie il modello di regressione quadratica:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2
\end{aligned}[/math]
Passaggio 2: Calcolo dei Coefficienti (Metodo dei Minimi Quadrati)
Applicazione del metodo OLS (Ordinary Least Squares).
Passaggio 3: Risultati della Regressione
- [math]a_0[/math] (Intercetta): [math]5.2822[/math]
- [math]a_1[/math] (Coefficiente Lineare): [math]0.7514[/math]
- [math]a_2[/math] (Coefficiente Quadratico): [math]-0.0016[/math]
Equazione del Modello:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
y = 5.2822 + 0.7514x – 0.0016x^2
\end{aligned}[/math]
💡 Osservazione Strategica
Il coefficiente quadratico [math]a_2 = -0.0016[/math] è negativo, indicando concavità verso il basso (come atteso dalla fisica). Il punto di massimo (Vertice) si calcola con [math]x_v = -a_1 / (2a_2)[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
V = (x_v, y_v) = (\mathbf{234.81}, \mathbf{93.51})
\end{aligned}[/math]
Questo punto rappresenta l’Altezza Massima stimata dal modello.
Passaggio 4: Analisi della Bontà di Adattamento
Il Coefficiente di Determinazione ([math]R^2[/math]) è pari a [math]0.9061[/math]. Sebbene sia un buon valore, è il più basso tra gli esercizi, suggerendo che fattori fisici (come la resistenza dell’aria) o rumore nei dati causano una deviazione dal modello quadratico puro.
❓ Mini Quiz di Riflessione
Domanda: In un contesto puramente fisico (proiettile sparato da terra), la regressione dovrebbe passare per l’origine [math](0,0)[/math]. Come si può forzare il modello a ignorare il termine [math]a_0[/math]?
Risposta: Per forzare il modello a passare per l’origine, si deve eseguire una regressione “senza intercetta”. Nella maggior parte dei software statistici e librerie di machine learning (es. scikit-learn), si imposta un parametro apposito (es. `fit_intercept=False`). In questo modo, la regressione calcolerà solo i coefficienti [math]a_1[/math] e [math]a_2[/math] per la formula [math]y = a_1 x + a_2 x^2[/math], garantendo che [math]y(0) = 0[/math].
Grafici Riassuntivi
L’immagine seguente mostra i grafici di dispersione dei dati osservati e le rispettive curve di regressione quadratica calcolate per ciascun esercizio.
Altri articoli di approfondimento
- 👉 Validazione del modello di regressione lineare: un’analisi approfondita dei residui
- 👉 Curvare i dati: un’introduzione alla regressione quadratica
- 👉 Prevedere il DAX con la regressione quadratica in Python: guida completa e codice
- 👉 Il quartetto di Anscombe: perché devi sempre visualizzare i tuoi dati (statistiche identiche, storie diverse)
- 👉 Che cos’è l’interpolazione?
- 👉 Metodo dei minimi quadrati vs metodo delle medie
- 👉 R-quadro vs correlazione: differenza, calcolo e guida pratica
Commento Applicativo agli Esercizi: La Regressione Quadratica nel Mondo Reale
Esercizio 1: L’Apertura del Paracadute
Concetto Chiave: La Base (Modello Ideale)
Serve come punto di riferimento teorico, illustrando il caso limite in cui la relazione è perfettamente quadratica. L’ottenimento di [math]R^2=1.00[/math] aiuta gli studenti a comprendere la meccanica del modello (il legame tra [math]a_2[/math] negativo e la concavità verso il basso) senza il “rumore” tipico dei dati reali.
Esercizio 2: L’Efficienza del Pannello Solare
Concetto Chiave: Ottimizzazione e Interpolazione
Questo esercizio dimostra il potere predittivo della regressione. Il modello non si limita a descrivere i dati; esso stima il vero ottimo teorico (il picco) a [math]40.61^{\circ}[/math], un angolo non presente nelle misurazioni discrete. Ciò evidenzia l’utilità della regressione per trovare l’impostazione operativa ideale in ingegneria o fisica applicata.
Esercizio 3: La Curva di Apprendimento di un Algoritmo ML
Concetto Chiave: Trovare un Minimo e l’Overhead
Essendo un esempio con concavità verso l’alto ([math]a_2 > 0[/math]), illustra l’importanza di trovare un minimo. Nel machine learning, questo minimo ([math]x_v = 7.50[/math] mila iterazioni) identifica il punto di massima efficienza prima che l’overhead o l’overfitting porti l’algoritmo a un peggioramento delle prestazioni (tempo di elaborazione che ricomincia a salire).
Esercizio 4: Previsione del Traffico Web
Concetto Chiave: Rendimenti Decrescenti e Decisione Strategica
Questo è un esempio di applicazione aziendale diretta. Il vertice ([math]x_v=5.0[/math] campagne) quantifica in modo chiaro il concetto economico di rendimenti decrescenti. Fornisce al manager un’indicazione strategica cruciale: non investire oltre le 5 campagne, poiché gli investimenti successivi non porteranno un aumento significativo del traffico, anzi, potrebbero ridurlo a causa dell’affaticamento del pubblico.
Esercizio 5: Ottimizzazione della Produzione Industriale
Concetto Chiave: Curva dei Costi a “U” e Segnale nel Rumore
Rappresenta la fondamentale curva dei costi medi in economia. Nonostante l’elevata dispersione dei dati ([math]R^2=0.91[/math], molto realistica), il modello riesce a isolare il segnale: la quantità che minimizza il costo ([math]x_v = 4.75[/math] tonnellate). Dimostra che la regressione è essenziale per trovare l’“lotto economico di produzione” in ambienti industriali rumorosi.
Esercizio 6: Proiettile Balistico (Avanzato)
Concetto Chiave: Conflitto tra Modello Statistico e Vincoli Fisici
L’esercizio più avanzato solleva un quesito cruciale: il conflitto tra la migliore soluzione matematica ([math]a_0 = 5.28[/math]) e la realtà fisica (un proiettile parte da terra, vicino a [math]y=0[/math]). Questo insegna che la regressione è solo un’approssimazione. Sollecita lo studente a chiedersi: quando è necessario “forzare” il modello (regressione senza intercetta) per rispettare un vincolo fisico o teorico noto, anziché accettare la migliore soluzione statistica?
Conclusione
Questi esercizi dimostrano come la regressione quadratica sia uno strumento essenziale per modellare fenomeni che presentano un andamento non lineare, come massimi o minimi, tipici in fisica, economia e data science.
