Distribuzione Binomiale Negativa: Guida Pratica con Esercizi Svolti e Codice Python

ESERCIZIO 3 – Livello: Medio

Testo:

Un’azienda di vendita porta a porta sa che, in media, 1 su 10 visite si conclude con una vendita. Un venditore ha come obiettivo giornaliero fare 2 vendite. Qual è la probabilità che per raggiungere l’obiettivo gli servano più di 15 visite? (più di 15 significa 16 o più)

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Risoluzione:

Passo 1 – Parametri.

[math]p=0.1, \quad k=2[/math].
Sia [math]X[/math] = numero di visite per ottenere 2 vendite. Vogliamo calcolare [math]P(X > 15)[/math].

Passo 2 – Usare il complementare.

[math]\displaystyle P(X > 15) = 1 – P(X \le 15)[/math]

Dove la probabilità cumulata è definita da:

[math]\displaystyle P(X \le 15) = \sum_{n=2}^{15} \binom{n-1}{1} (0.1)^2 (0.9)^{n-2}[/math]

Passo 3 – Calcolare la somma.

Sappiamo che [math]\binom{n-1}{1} = n-1[/math]. Quindi la somma diventa:

[math]\displaystyle (0.1)^2 \sum_{n=2}^{15} (n-1)(0.9)^{n-2}[/math]

Poniamo [math]m = n – 2[/math], quindi [math]m[/math] varia da 0 a 13. Allora [math]n – 1 = m + 1[/math].

[math]\displaystyle \text{Somma} = 0.01 \sum_{m=0}^{13} (m+1)(0.9)^m[/math]

Passo 4 – Formula per [math]\sum_{m=0}^{N} (m+1)r^m[/math].

Ricordiamo che per una serie geometrica infinita: [math]\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)r^m = \frac{1}{(1-r)^2}[/math] per [math]|r| < 1[/math].

Procediamo con il calcolo numerico dei termini per la nostra somma finita:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
m=0: & \quad 1 \\
m=1: & \quad 2 \cdot 0.9 = 1.8 \\
m=2: & \quad 3 \cdot 0.81 = 2.43 \\
m=3: & \quad 4 \cdot 0.729 = 2.916 \\
m=4: & \quad 5 \cdot 0.6561 = 3.2805 \\
m=5: & \quad 6 \cdot 0.59049 = 3.54294 \\
m=6: & \quad 7 \cdot 0.531441 = 3.720087 \\
m=7: & \quad 8 \cdot 0.4782969 = 3.8263752 \\
m=8: & \quad 9 \cdot 0.43046721 = 3.87420489 \\
m=9: & \quad 10 \cdot 0.387420489 = 3.87420489 \\
m=10: & \quad 11 \cdot 0.34867844 = 3.83546284 \\
m=11: & \quad 12 \cdot 0.313810596 = 3.765727152 \\
m=12: & \quad 13 \cdot 0.282429536 = 3.671583968 \\
m=13: & \quad 14 \cdot 0.254186583 = 3.558212162 \\
\end{aligned}[/math]

La somma parziale di questi termini è circa 45.0953.

Moltiplichiamo per il fattore [math]p^2 = 0.01[/math]:

[math]\displaystyle 0.01 \times 45.0953 = 0.450953[/math]

Quindi, [math]P(X \le 15) \approx 0.45095[/math].

Passo 5 – Complementare.

[math]\displaystyle P(X > 15) = 1 – 0.45095 = 0.54905[/math]

Risposta finale:
Probabilità circa 0.549 (54.9%).

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Osservazioni

💡 Questo esercizio mostra come per [math]p[/math] piccola la distribuzione sia molto “allungata” verso destra (coda lunga). La probabilità che servano più di 15 visite per soli 2 successi supera il 50%, proprio perché [math]p=0.1[/math] è un valore basso.

dimostriamolo con un piccolo snippet python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import nbinom

# Impostazioni per il grafico
plt.rcParams.update({'font.size': 12})
plt.figure(figsize=(12, 6))

# Parametri dell'Esercizio 3
k = 2  # numero di successi richiesti
p = 0.1  # probabilità di successo (piccola)

# Calcoliamo la PMF (Probability Mass Function) per un range di n
n_values = np.arange(k, 51)  # da k a 50 prove
pmf_values = nbinom.pmf(n_values - k, k, p)  # Nota: scipy usa n_failures = n-k

# Creazione del grafico
plt.bar(n_values, pmf_values, alpha=0.7, color='skyblue', edgecolor='navy', label=f'k={k}, p={p}')

# Evidenziamo la coda oltre 15 (dall'esercizio)
tail_mask = n_values > 15
plt.bar(n_values[tail_mask], pmf_values[tail_mask], alpha=0.7, color='orange', 
        edgecolor='darkorange', label='Coda (n > 15)')

# Linea verticale per n=15
plt.axvline(x=15, color='red', linestyle='--', linewidth=2, 
           label=f'n=15 (P(X>15)={1 - nbinom.cdf(15-k, k, p):.3f})')

# Media e mediana
media = k / p
plt.axvline(x=media, color='green', linestyle='-', linewidth=2, 
           label=f'Media = k/p = {media:.1f}')

# Aggiungiamo una curva per confronto con p più grande
p_large = 0.4
pmf_large = nbinom.pmf(n_values - k, k, p_large)
plt.plot(n_values, pmf_large, 'r-', linewidth=2, alpha=0.6, 
         label=f'Confronto: k={k}, p={p_large}')

plt.xlabel('Numero di prove totali (n)', fontsize=14)
plt.ylabel('Probabilità P(X = n)', fontsize=14)
plt.title('Distribuzione Binomiale Negativa: effetto di p piccola\n(Esercizio 3: k=2 successi richiesti)', fontsize=16, fontweight='bold')
plt.legend(loc='upper right')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim(k-0.5, 50)
plt.ylim(0, max(pmf_values)*1.1)

# Aggiungiamo informazioni nel grafico
plt.text(40, max(pmf_values)*0.9, f'k = {k}\np = {p}', 
         bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="lightyellow", edgecolor="gray"))
plt.text(40, max(pmf_values)*0.75, f'Media = {k/p:.1f}\nVar = {k*(1-p)/(p**2):.1f}', 
         bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="lightgreen", edgecolor="gray", alpha=0.7))

plt.tight_layout()
plt.show()

# Grafico cumulativo per confrontare le code
plt.figure(figsize=(12, 6))

# CDF per p=0.1
cdf_values = nbinom.cdf(n_values - k, k, p)
plt.plot(n_values, cdf_values, 'b-', linewidth=3, label=f'CDF: k={k}, p={p}')

# CDF per p=0.4
cdf_large = nbinom.cdf(n_values - k, k, p_large)
plt.plot(n_values, cdf_large, 'r-', linewidth=3, label=f'CDF: k={k}, p={p_large}')

# Linea orizzontale al 50%
plt.axhline(y=0.5, color='gray', linestyle='--', linewidth=1, label='50%')

# Linea verticale a n=15
plt.axvline(x=15, color='green', linestyle='--', linewidth=2, 
           label=f'n=15: P(X≤15)={cdf_values[13]:.3f} (p={p})')

plt.xlabel('Numero di prove totali (n)', fontsize=14)
plt.ylabel('Probabilità cumulativa P(X ≤ n)', fontsize=14)
plt.title('Funzione di Ripartizione (CDF): confronto tra diverse probabilità p', 
          fontsize=16, fontweight='bold')
plt.legend(loc='lower right')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim(k-0.5, 50)
plt.ylim(0, 1.05)

# Aggiungiamo informazioni sul calcolo dell'Esercizio 3
plt.text(25, 0.3, f'Per p={p}:\nP(X>15) = 1 - P(X≤15)\n= 1 - {cdf_values[13]:.3f}\n= {1-cdf_values[13]:.3f}', 
         bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="lightblue", edgecolor="navy"))
plt.text(25, 0.7, f'Per p={p_large}:\nP(X>15) = {1-cdf_large[13]:.3f}', 
         bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="pink", edgecolor="red"))

plt.tight_layout()
plt.show()

# Grafico aggiuntivo: confronto delle code in scala logaritmica
plt.figure(figsize=(12, 6))

n_extended = np.arange(k, 101)
pmf_extended = nbinom.pmf(n_extended - k, k, p)
pmf_large_extended = nbinom.pmf(n_extended - k, k, p_large)

plt.semilogy(n_extended, pmf_extended, 'b-', linewidth=2, label=f'p={p} (codalunga)')
plt.semilogy(n_extended, pmf_large_extended, 'r-', linewidth=2, label=f'p={p_large}')

plt.axvline(x=15, color='green', linestyle='--', linewidth=1.5, label='n=15')
plt.axvline(x=media, color='purple', linestyle=':', linewidth=2, label=f'Media (p={p}) = {media:.1f}')

plt.xlabel('Numero di prove totali (n)', fontsize=14)
plt.ylabel('Probabilità P(X = n) (scala log)', fontsize=14)
plt.title('Confronto delle code in scala logaritmica', fontsize=16, fontweight='bold')
plt.legend(loc='upper right')
plt.grid(True, alpha=0.3, which='both')
plt.xlim(k-0.5, 100)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Stampiamo alcuni valori numerici per riferimento
print("="*60)
print("VALORI NUMERICI DELL'ESERCIZIO 3")
print("="*60)
print(f"Parametri: k = {k}, p = {p}")
print(f"Media: k/p = {k/p:.2f}")
print(f"Varianza: k(1-p)/p² = {k*(1-p)/(p**2):.2f}")
print(f"Deviazione standard: √var = {np.sqrt(k*(1-p)/(p**2)):.2f}")
print()
print(f"P(X > 15) = 1 - P(X ≤ 15) = {1 - nbinom.cdf(15-k, k, p):.4f}")
print(f"P(X ≤ 15) = {nbinom.cdf(15-k, k, p):.4f}")
print()
print("Confronto con p = 0.4:")
print(f"P(X > 15) = {1 - nbinom.cdf(15-k, k, p_large):.4f}")
print(f"P(X ≤ 15) = {nbinom.cdf(15-k, k, p_large):.4f}")
print("="*60)

Domanda di riflessione:

Cosa succederebbe alla probabilità [math]P(X > 15)[/math] se [math]p[/math] aumentasse (a parità di [math]k[/math])?

Risposta:

Diminuirebbe, perché con una maggiore probabilità di successo l’obiettivo verrebbe raggiunto mediamente con un numero inferiore di prove.