Shapley Value nel Marketing: Guida Completa all’Attribuzione Multi-Touch con Esempi, Formula e Python

Shapley Value nel Marketing: Cos’è, Come Calcola l’Attribuzione e Differenze con Markov

Due aziende investono entrambe 100.000 € in marketing. Entrambe utilizzano Google Ads, SEO, email marketing, content e demo commerciali.

Alla fine dell’anno, la prima azienda conclude che Google Ads genera il 70% delle vendite e decide di raddoppiarne il budget. La seconda scopre invece che Google Ads chiude le conversioni soltanto perché la SEO e l’email marketing hanno educato il cliente nei tre mesi precedenti: tagliando i canali d’inizio funnel, la pipeline crollerebbe.

Stessi dati. Decisioni strategiche opposte.

Chi ha ragione?

La risposta sta nell’illusione dell’attribuzione deterministica. La maggior parte delle aziende continua a distribuire il proprio budget guidata da regole arbitrarie come il Last Click o il First Click. Si tratta di scorciatoie euristiche che soffrono di un vizio sistematico: puniscono i canali che creano l’interesse iniziale e premiano oltre misura quelli che si limitano a raccogliere la conversione al traguardo. Il risultato è una distorsione del Costo di Acquisizione Cliente (CAC) e del Return on Ad Spend (ROAS), con conseguenti tagli ingiustificati ai touchpoint educativi e sovra-investimenti in quelli di chiusura.

Per uscire da questo vicolo cieco occorre abbandonare le euristiche e adottare il rigore della teoria dei giochi cooperativi: lo Shapley Value. Formulato nel 1953 dal matematico e Premio Nobel Lloyd Shapley, questo modello offre un framework per misurare il reale contributo marginale di ogni singolo canale quando collabora con tutti gli altri, garantendo una ripartizione provabilmente equa del merito e del budget.

Perché il Last Click Porta a Decisioni di Budget Sbagliate

Assegnare il credito di una conversione è come analizzare un’azione da gol nel calcio. Se guardiamo solo l’ultimo tocco dell’attaccante a porta vuota, ignoriamo il recupero palla del difensore e l’assist del centrocampista.

Nel marketing accade esattamente la stessa cosa. Il modello Last Click scambia la fase di chiusura per l’intero processo di persuasione, portando le aziende a tagliare i budget sui canali di prima acquisizione (SEO, Content) per concentrare le risorse sugli ultimi metri (Ads, Demo). Risultato? Nel breve termine i numeri sembrano reggere, ma nel giro di sei mesi la pipeline si prosciuga perché nessuno alimenta più l’inizio del funnel.

Il confronto diretto su un singolo percorso cliente mostra in modo plastico la differenza di prospettiva tra i diversi approcci:

SEO ───► Email / Newsletter ───► Demo ───► VENDITA

Le 3 Conseguenze del Last Click sulla Gestione del Budget

• Illuso da Falsi Top Performer: I canali di retargeting e le keyword di brand appaiono sempre come i canali più redditizi semplicemente perché intercettano utenti già decisi ad acquistare.
• Sottovalutazione dell’Effetto Alone: La SEO e i contenuti educativi non prendono quasi mai il merito diretto della conversione, ma senza di essi l’efficacia di newsletter e demo crolla drammaticamente.
• Distribuzione Inefficiente del CAC: Il Costo di Acquisizione Cliente viene calcolato in modo distorto, portando a sovra-investire in aste pubblicitarie sature anziché in asset di proprietà a lungo termine.

Le 4 Garanzie Matematiche contro la Distorsione del Budget

Molti modelli di attribuzione falliscono perché non hanno regole d’ingaggio rigorose. Lo Shapley Value non è un’ipotesi arbitraria né una “black box”: è l’unico algoritmo nella teoria dei giochi cooperativi capace di rispettare contemporaneamente quattro garanzie matematiche inviolabili.

Per chi deve difendere le scelte di allocazione del budget davanti a un CFO o al board aziendale, questi quattro assiomi rappresentano la prova che la ripartizione dei ricavi non è frutto di una negoziazione politica, ma di un vincolo logico e matematico.

1. Efficienza (Zero dispersioni e zero ricavi fantasma)

La somma dei crediti attribuiti ai singoli canali deve corrispondere esattamente al [math]100\%[/math] delle conversioni o del valore generato dalla coalizione complessiva. Non si inventano metriche che non esistono e non si perde un singolo euro lungo la strada.

[math]\displaystyle \sum_{i \in N} \phi_i(v) = v(N)[/math]

2. Simmetria (Parità di trattamento tra canali equivalenti)

Se due touchpoint distinti (ad esempio due campagne di retargeting su piattaforme differenti) generano lo stesso identico incremento marginale in qualsiasi scenario di funnel, riceveranno la medesima quota di merito. Il modello elimina ogni favoritismo aprioristico verso uno specifico partner mediatico.

[math]\displaystyle \text{Se } v(S \cup \{i\}) = v(S \cup \{j\}) \quad \forall S \subseteq N \setminus \{i, j\}, \quad \text{allora } \phi_i(v) = \phi_j(v)[/math]

3. Giocatore Nullo (Zero tolleranza per i canali parassita)

Un canale che non apporta alcun valore incrementale a nessuna combinazione di touchpoint riceve un credito pari a zero. Questo assioma individua e neutralizza i canali che si limitano a “intercettare” conversioni già certe senza aver mai spostato la decisione dell’utente.

[math]\displaystyle \text{Se } v(S \cup \{i\}) = v(S) \quad \forall S \subseteq N \setminus \{i\}, \quad \text{allora } \phi_i(v) = 0[/math]

4. Additività (Coerenza cross-campagna e aggregabilità)

Se analizziamo separatamente due micro-obiettivi di business (es. Iscrizione alla Demo e Acquisto Finale), il contributo totale di un canale nel funnel complessivo è esattamente uguale alla somma dei contributi calcolati sui singoli obiettivi. È possibile scomporre le analisi senza che il quadro strategico perda coerenza.

[math]\displaystyle \phi_i(v_1 + v_2) = \phi_i(v_1) + \phi_i(v_2)[/math]

import pandas as pd

journeys = pd.DataFrame({
    "user_id": [
        "U001",
        "U002",
        "U003",
        "U004"
    ],
    "channels": [
        ["SEO", "Email", "Demo"],
        ["LinkedIn Ads", "Webinar", "Demo"],
        ["SEO", "Content", "Email", "Demo"],
        ["Google Ads", "Demo"]
    ],
    "conversion": [
        1,
        1,
        1,
        1
    ],
    "revenue": [
        50000,
        30000,
        50000,
        20000
    ]
})

print(journeys)

from collections import defaultdict

coalitions = defaultdict(float)

for _, row in journeys.iterrows():

    channels = row["channels"]
    value = row["revenue"]

    coalition = frozenset(channels)

    coalitions[coalition] += value

{
 frozenset({"SEO","Email","Demo"}): 50000,
 frozenset({"LinkedIn Ads","Webinar","Demo"}):30000,
 frozenset({"SEO","Content","Email","Demo"}):50000
}

Formulazione Matematica dello Shapley Value

Sia [math]N[/math] l’insieme di tutti i canali di marketing ([math]|N| = n[/math]) e [math]S \subseteq N \setminus \{i\}[/math] una coalizione (sottoinsieme) di canali che non include il canale [math]i[/math]. Sia [math]v(S)[/math] la funzione caratteristica che associa a ogni coalizione [math]S[/math] il valore generato (es. numero di conversioni).

Il valore di Shapley [math]\phi_i(v)[/math] per il canale [math]i[/math] è definito dalla seguente equazione:

[math]\displaystyle \phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!(|N| – |S| – 1)!}{|N|!} \left[ v(S \cup \{i\}) – v(S) \right][/math]

Dove:

• [math]v(S \cup \{i\}) – v(S)[/math] rappresenta il contributo marginale del canale [math]i[/math] alla coalizione [math]S[/math].
• [math]\frac{|S|!(|N| – |S| – 1)!}{|N|!}[/math] costituisce il peso combinatorio, ovvero la probabilità statistica che la coalizione [math]S[/math] si formi quando i canali vengono introdotti in ordine casuale.

Calcolo Pratico  (Esempio a 3 Canali)

Immaginiamo un ecosistema formato da tre canali: [math]N = \{\text{SEO}, \text{Email}, \text{Demo}\}[/math]. Analizzando i dati storici delle conversioni aggregate generate da ciascuna combinazione (coalizione) osserviamo i seguenti risultati:

Con [math]n = 3[/math] canali, esistono [math]3! = 6[/math] possibili sequenze d’ingresso (permutazioni). Per calcolare lo Shapley Value di ciascun canale, valutiamo l’incremento di conversioni fornito da quel canale in ogni singola sequenza:

1. Sequenze di Permutazione e Contributi Marginali

Permutazione (SEO, Email, Demo):

• Contributo SEO (entra per primo): [math]v(\{\text{SEO}\}) – v(\emptyset) = 20 – 0 = \mathbf{20}[/math]
• Contributo Email (entra su SEO): [math]v(\{\text{SEO, Email}\}) – v(\{\text{SEO}\}) = 60 – 20 = \mathbf{40}[/math]
• Contributo Demo (entra su SEO+Email): [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{SEO, Email}\}) = 120 – 60 = \mathbf{60}[/math]

Permutazione (SEO, Demo, Email):

• Contributo SEO: [math]v(\{\text{SEO}\}) – v(\emptyset) = 20 – 0 = \mathbf{20}[/math]
• Contributo Demo: [math]v(\{\text{SEO, Demo}\}) – v(\{\text{SEO}\}) = 90 – 20 = \mathbf{70}[/math]
• Contributo Email: [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{SEO, Demo}\}) = 120 – 90 = \mathbf{30}[/math]

Permutazione (Email, SEO, Demo):

• Contributo Email: [math]v(\{\text{Email}\}) – v(\emptyset) = 15 – 0 = \mathbf{15}[/math]
• Contributo SEO: [math]v(\{\text{SEO, Email}\}) – v(\{\text{Email}\}) = 60 – 15 = \mathbf{45}[/math]
• Contributo Demo: [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{SEO, Email}\}) = 120 – 60 = \mathbf{60}[/math]

Permutazione (Email, Demo, SEO):

• Contributo Email: [math]v(\{\text{Email}\}) – v(\emptyset) = 15 – 0 = \mathbf{15}[/math]
• Contributo Demo: [math]v(\{\text{Email, Demo}\}) – v(\{\text{Email}\}) = 80 – 15 = \mathbf{65}[/math]
• Contributo SEO: [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{Email, Demo}\}) = 120 – 80 = \mathbf{40}[/math]

Permutazione (Demo, SEO, Email):

• Contributo Demo: [math]v(\{\text{Demo}\}) – v(\emptyset) = 30 – 0 = \mathbf{30}[/math]
• Contributo SEO: [math]v(\{\text{SEO, Demo}\}) – v(\{\text{Demo}\}) = 90 – 30 = \mathbf{60}[/math]
• Contributo Email: [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{SEO, Demo}\}) = 120 – 90 = \mathbf{30}[/math]

Permutazione (Demo, Email, SEO):

• Contributo Demo: [math]v(\{\text{Demo}\}) – v(\emptyset) = 30 – 0 = \mathbf{30}[/math]
• Contributo Email: [math]v(\{\text{Email, Demo}\}) – v(\{\text{Demo}\}) = 80 – 30 = \mathbf{50}[/math]
• Contributo SEO: [math]v(\{\text{SEO, Email, Demo}\}) – v(\{\text{Email, Demo}\}) = 120 – 80 = \mathbf{40}[/math]

2. Calcolo della Media sui Permutazioni

Sommando i contributi marginali ottenuti da ogni canale e dividendo per il numero totale di permutazioni ([math]6[/math]):

[math]\phi_{\text{SEO}} = \frac{20 + 20 + 45 + 40 + 60 + 40}{6} = \frac{225}{6} = \mathbf{37.5} \text{ conversioni } (\mathbf{31.25\%})[/math]

[math]\phi_{\text{Email}} = \frac{40 + 30 + 15 + 15 + 30 + 50}{6} = \frac{180}{6} = \mathbf{30.0} \text{ conversioni } (\mathbf{25.00\%})[/math]

[math]\phi_{\text{Demo}} = \frac{60 + 70 + 60 + 65 + 30 + 30}{6} = \frac{315}{6} = \mathbf{52.5} \text{ conversioni } (\mathbf{43.75\%})[/math]

Verifica dell’Assioma di Efficienza:

[math]\phi_{\text{SEO}} + \phi_{\text{Email}} + \phi_{\text{Demo}} = 37.5 + 30.0 + 52.5 = 120.0 = v(\{\text{SEO, Email, Demo}\})[/math]

Il modello riconosce alla Demo il peso maggiore ([math]43.75\%[/math]) per il suo ruolo decisivo di chiusura, ma attribuisce alla SEO ([math]31.25\%[/math]) e all’Email ([math]25.00\%[/math]) il giusto merito per aver alimentato l’interesse lungo il journey.

Complessità Computazionale e Algoritmo Monte Carlo

Il calcolo esatto dello Shapley Value richiede la valutazione di [math]n![/math] permutazioni. L’aumento del numero di canali comporta una crescita fattoriale del costo computazionale:

[math]n = 5 \implies 120[/math] permutazioni

[math]n = 10 \implies 3.628.800[/math] permutazioni

[math]n = 20 \implies 20! \approx 2.43 \times 10^{18}[/math] permutazioni

In contesti reali con decine di touchpoint, il calcolo esatto è impraticabile. Si ricorre quindi a un’approssimazione tramite Campionamento Monte Carlo: si estrae un campione casuale di [math]M[/math] permutazioni (es. [math]M = 5.000[/math]). Per la legge dei grandi numeri, la media dei contributi campionati converge rapidamente al valore teorico reale.

Implementazione Python: Shapley Value con Simulazione Monte Carlo

Nota

Per semplicità il codice assegna valore zero alle coalizioni non presenti nel dizionario. Nei sistemi reali tali valori vengono generalmente stimati mediante modelli statistici o tecniche di smoothing prima del calcolo dello Shapley Value.

import itertools
import random
from typing import Dict, FrozenSet, List, Tuple


class ShapleyAttribution:

    def __init__(self, coalition_values: Dict[FrozenSet[str], float]):
        """coalition_values: dizionario dove le chiavi sono frozenset di canali

        e i valori rappresentano le conversioni generati.
        """
        self.coalition_values = coalition_values
        if frozenset() not in self.coalition_values:
            self.coalition_values[frozenset()] = 0.0

        self.channels = sorted(
            list(
                set().union(*[s for s in coalition_values.keys() if len(s) > 0])
            )
        )
        self.n = len(self.channels)

    def compute_exact(self) -> Dict[str, float]:
        """Calcola lo Shapley Value esatto esaminando tutte le n!

        permutazioni.
        """
        shapley_values = {channel: 0.0 for channel in self.channels}
        permutations = list(itertools.permutations(self.channels))
        total_permutations = len(permutations)

        for perm in permutations:
            current_coalition = set()
            for channel in perm:
                v_before = self.coalition_values.get(
                    frozenset(current_coalition), 0.0
                )
                current_coalition.add(channel)
                v_after = self.coalition_values.get(
                    frozenset(current_coalition), 0.0
                )
                shapley_values[channel] += v_after - v_before

        return {k: v / total_permutations for k, v in shapley_values.items()}

    def compute_monte_carlo(self, n_samples: int = 5000) -> Dict[str, float]:
        """Stima lo Shapley Value tramite campionamento Monte Carlo."""
        shapley_values = {channel: 0.0 for channel in self.channels}

        for _ in range(n_samples):
            perm = list(self.channels)
            random.shuffle(perm)
            current_coalition = set()

            for channel in perm:
                v_before = self.coalition_values.get(
                    frozenset(current_coalition), 0.0
                )
                current_coalition.add(channel)
                v_after = self.coalition_values.get(
                    frozenset(current_coalition), 0.0
                )
                shapley_values[channel] += v_after - v_before

        return {k: v / n_samples for k, v in shapley_values.items()}


# Esecuzione del modello
if __name__ == "__main__":
    data = {
        frozenset(): 0,
        frozenset(["SEO"]): 20,
        frozenset(["Email"]): 15,
        frozenset(["Demo"]): 30,
        frozenset(["SEO", "Email"]): 60,
        frozenset(["SEO", "Demo"]): 90,
        frozenset(["Email", "Demo"]): 80,
        frozenset(["SEO", "Email", "Demo"]): 120,
    }

    model = ShapleyAttribution(data)

    print("--- Shapley Value Esatto ---")
    exact_results = model.compute_exact()
    for ch, val in exact_results.items():
        print(f"{ch}: {val:.2f} conversioni")

    print("\n--- Stima Monte Carlo (5000 campioni) ---")
    mc_results = model.compute_monte_carlo(n_samples=5000)
    for ch, val in mc_results.items():
        print(f"{ch}: {val:.2f} conversioni")

Analisi dell’Output

Eseguendo lo script si ottengono i seguenti risultati:

--- Shapley Value Esatto ---
Demo: 52.50 conversioni
Email: 30.00 conversioni
SEO: 37.50 conversioni

--- Stima Monte Carlo (5000 campioni) ---
Demo: 52.83 conversioni
Email: 29.70 conversioni
SEO: 37.47 conversioni

L’output conferma due principi chiave:

• Accuratezza Statistica: Con 5.000 iterazioni Monte Carlo, l’errore rispetto al calcolo teorico esatto è inferiore allo [math]0.6\%[/math] per ogni canale (es. la Demo registra uno scarto marginale di [math]+0.33[/math] conversioni).
• Efficienza del Calcolo: L’algoritmo riduce la complessità computazionale da fattoriale [math]\mathcal{O}(n!)[/math] a lineare [math]\mathcal{O}(M \cdot n)[/math], consentendo di analizzare decine di touchpoint in pochi secondi con un margine di errore del tutto trascurabile.

Shapley Value vs. Catene di Markov

Oltre allo Shapley Value, l’altro grande modello algoritmico avanzato è rappresentato dalle Catene di Markov. Sebbene entrambi superino le euristiche tradizionali, rispondono a quesiti analitici differenti:

Complementarità dei Modelli

In un’architettura dati avanzata, i due modelli non competono ma si integrano:

• Il Modello di Shapley guida l’allocazione finanziaria del budget tra i vari team e partner di canale.
• Il Modello di Markov aiuta i Growth Manager a diagnosticare dove gli utenti abbandonano il percorso e quali transizioni di fase richiedono ottimizzazione.

Applicazioni Estese: Explainable AI (SHAP) e Finanza

L’eleganza dello Shapley Value ha travalicato i confini del marketing, diventando una pietra angolare della scienza dei dati contemporanea:

Explainable AI (SHAP): Algoritmi complessi come XGBoost o le reti neurali profonde vengono spesso criticati per la loro natura opaca. La libreria SHAP (SHapley Additive exPlanations) sfrutta lo Shapley Value per calcolare l’impatto di ogni singola feature sulle predizioni dell’algoritmo (ad esempio, quantificando quanto il reddito o l’età abbiano inciso sul punteggio di credito assegnato a un cliente).

Gestione del Rischio Finanziario: In finanza, lo Shapley Value viene impiegato per scomporre il Value at Risk (VaR) di un portafoglio di investimenti, attribuendo a ciascun asset la propria quota di responsabilità sulla varianza complessiva del rischio.

Conclusione

Continuare a distribuire il budget di marketing sulla base del Last Click equivale a guidare a fari spenti. Lo Shapley Value restituisce al decision-making strategico la solidità della prova matematica: quantifica il valore generato dalla collaborazione tra i canali, elimina i canali parassita e protegge gli investimenti di prima acquisizione.

Investire in un modello di attribuzione basato sulla teoria dei giochi non è un semplice esercizio tecnico, ma una decisione finanziaria ad alto rendimento capace di ottimizzare l’efficienza di ogni euro speso sul mercato.

Lo Shapley Value non sostituisce l’intuizione del marketing, ma elimina una delle sue principali fonti di errore: attribuire il merito seguendo scorciatoie arbitrarie. In organizzazioni che gestiscono decine di touchpoint e milioni di interazioni, rappresenta uno degli strumenti più solidi per trasformare i dati di customer journey in decisioni di investimento realmente data-driven.