Asimmetria e Curtosi nell’Analisi Dati: Esercizi Svolti e Casi Studio per il Marketing

Cheat Sheet: I ferri del mestiere

Prima di calcolare, capiamo cosa stiamo cercando con questi due indicatori fondamentali.

Utilizzare questi indici permette di andare oltre la semplice media, rivelando rischi e opportunità nascosti nella struttura dei dati aziendali.

ESERCIZIO 2 – Livello Intermedio

Testo: Un call center ha registrato il tempo di attesa (in minuti) prima che 10 clienti vengano serviti:

[math][2.1, 2.3, 2.5, 2.7, 2.9, 3.1, 3.3, 3.5, 3.7, 12.0][/math]

L’ultimo valore è un outlier (cliente in attesa per guasto tecnico).

• Calcola asimmetria e curtosi.
• Rimuovi l’outlier e ricalcola.
• Commenta l’impatto degli outlier su questi indici.

Soluzione

Con outlier (12.0):

Dati: [math]n = 10[/math]

Media:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{x} &= \frac{2.1+2.3+2.5+2.7+2.9+3.1}{10} \\
&{} \quad + \frac{3.3+3.5+3.7+12.0}{10} \\
&= \frac{40.1}{10} = 4.01
\end{aligned}[/math]

Scarti e loro potenze:
Calcoliamo sinteticamente i momenti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
m_2 &\approx 8.4889 \\
m_3 &\approx 78.274 \\
m_4 &\approx 1123.46
\end{aligned}[/math]

Asimmetria:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g_1 &= \frac{78.274}{(8.4889)^{1.5}} \\
&\approx \frac{78.274}{24.786} \approx 3.157
\end{aligned}[/math]

Curtosi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g_2 &= \frac{1123.46}{(8.4889)^2} – 3 \\
&\approx \frac{1123.46}{72.062} – 3 \\
&\approx 15.587 – 3 = 12.587
\end{aligned}[/math]

Senza outlier (12.0):

Nuovi dati: 9 valori, escludendo 12.0

Media:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\bar{x} &= \frac{28.1}{9} \approx 3.122
\end{aligned}[/math]

Nuovi momenti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
m_2 &\approx 0.277 \\
m_3 &\approx -0.0016 \approx 0 \\
m_4 &\approx 0.097
\end{aligned}[/math]

Asimmetria:

[math]g_1 \approx 0[/math]

Curtosi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g_2 &= \frac{0.097}{(0.277)^2} – 3 \\
&\approx \frac{0.097}{0.0767} – 3 \\
&\approx 1.264 – 3 = -1.736
\end{aligned}[/math]

💡 Osservazioni:

• Con outlier: asimmetria fortemente positiva (3.157), curtosi molto alta (12.587 → leptocurtica estrema).
• Senza outlier: asimmetria nulla, curtosi negativa (-1.736 → platicurtica).

Un singolo outlier ha cambiato completamente la forma della distribuzione!

Domanda di riflessione: Quale tra asimmetria e curtosi è più sensibile agli outlier? Perché?

Risposta: La curtosi è più sensibile perché utilizza momenti di ordine 4, mentre l’asimmetria usa momenti di ordine 3. Valori estremi elevati alla quarta potenza diventano enormi.

L’errore del Principiante (e del Manager)

Molti analisti cancellano il valore 12.0 perché “sporca” i grafici. Errore. In azienda, quell’outlier non è un numero sbagliato: è un cliente furioso che sta per abbandonarvi. L’asimmetria a 3.15 è un allarme rosso: ti dice che il processo è instabile. Cancellare il dato significa ignorare il problema operativo.

ESERCIZIO 3 – Livello Intermedio/Avanzato

Testo: Un’azienda analizza il valore degli ordini (in €) su due canali di vendita:

• Canale A: [math][50, 60, 70, 80, 90, 100, 110][/math]
• Canale B: [math][50, 50, 70, 90, 90, 110, 110][/math]

1. Calcola media, varianza, asimmetria e curtosi per entrambi
2. Spiega perché, a parità di media e varianza, la forma è diversa
3. Quale canale ha una distribuzione più “rischiosa” per l’azienda?

Soluzione

Canale A:

Dati simmetrici: 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110

Media: [math]\bar{x}_A = 80[/math]

Varianza campionaria:

[math]\displaystyle s_A^2 = \frac{\sum (x_i – 80)^2}{6} = \frac{900+400+100+0+100+400+900}{6} = \frac{2800}{6} \approx 466.67[/math]

Asimmetria:
Per simmetria perfetta, [math]m_3 = 0 \rightarrow g_1 = 0[/math]

Curtosi:

[math]\displaystyle \begin{aligned} m_4 &= \frac{810000+160000+10000+0+10000+160000+810000}{7} \ &= \frac{1960000}{7} = 280000 \ m_2 &= \frac{2800}{7} = 400 \ g_2 &= \frac{280000}{400^2} – 3 = \frac{280000}{160000} – 3 \ &= 1.75 – 3 = -1.25 \end{aligned}[/math]

Canale B:

Dati bimodali: 50, 50, 70, 90, 90, 110, 110

Media: [math]\bar{x}_B = \frac{570}{7} \approx 81.43[/math]

Varianza campionaria:

[math]\displaystyle s_B^2 \approx \frac{988.98+988.98+130.61+73.47+73.47+816.33+816.33}{6} \approx \frac{3887.17}{6} \approx 647.86[/math]

Momenti rispetto alla media:

[[math]\displaystyle \begin{aligned}
m_2 &\approx 555.10 \\
m_3 &\approx 0 \\
&{} \quad \text{(quasi zero per approssimazione)} \\
m_4 &\approx 447000 \\
g_2 &\approx \frac{447000}{(555.10)^2} – 3 \\
&{} \approx \frac{447000}{308133} – 3 \\
&{} \approx 1.451 – 3 \\
&{} = -1.549
\end{aligned}[/math]

💡 Osservazioni:

• Entrambi i canali hanno asimmetria circa zero.
• Canale A: curtosi = -1.25, Canale B: curtosi = -1.549.
• Il Canale B è più piatto (platicurtica) perché i dati sono concentrati sulle code (50 e 110).
• Nonostante la media simile, il Canale B ha varianza maggiore e una forma diversa.

Domanda di riflessione: Perché il Canale B, pur avendo asimmetria zero, ha una curtosi diversa dal Canale A?

Risposta: Perché la curtosi misura quanto i dati sono concentrati nelle code rispetto al centro. Il Canale B ha più dati nelle code (50 e 110) e meno nel centro, risultando quindi in una forma più “schiacciata” o piatta.

ESERCIZIO 5 – Livello Avanzato (Teoria e Dimostrazione)

Testo: Dimostra che per una distribuzione simmetrica perfetta, il coefficiente di asimmetria di Fisher è zero.

Considera una distribuzione con 5 valori: [math]a, b, c, d, e[/math] tali che:

• [math]c[/math] è la mediana e centro di simmetria
• [math]d – c = c – b[/math] e [math]e – c = c – a[/math] (simmetria perfetta)

Scegli valori numerici esemplificativi, calcola media, momenti e dimostra che [math]m_3 = 0[/math].

Soluzione

Scelta valori: [math]a=10, b=20, c=30, d=40, e=50[/math]

Verifica simmetria:

• [math]c=30[/math] (centro)
• [math]d – c = 10, c – b = 10[/math] [math]\checkmark[/math]
• [math]e – c = 20, c – a = 20[/math] [math]\checkmark[/math]

Media:

[math]\displaystyle \bar{x} = \frac{10+20+30+40+50}{5} = \frac{150}{5} = 30[/math]

La media coincide con il centro di simmetria ([math]c = 30[/math]).

Scarti dalla media:

[math]\displaystyle (x_i – \bar{x}) = [-20, -10, 0, 10, 20][/math]

Calcolo [math]m_3[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x_i – \bar{x})^3 &= [-8000, -1000, 0, \\
&{} \quad 1000, 8000] \\
\sum (x_i – \bar{x})^3 &= -8000 – 1000 + 0 \\
&{} \quad + 1000 + 8000 \\
&= 0 \\
m_3 &= \frac{0}{5} \\
&= 0
\end{aligned}[/math]

Dimostrazione generale

Per simmetria perfetta, per ogni valore [math]x_i[/math] a sinistra del centro, esiste un valore [math]x_j[/math] a destra tale che:

[math]\displaystyle x_j – \mu = -(x_i – \mu)[/math]

dove [math]\mu[/math] è il centro di simmetria (e anche la media).

Quindi:

[math]\displaystyle (x_j – \mu)^3 = [-(x_i – \mu)]^3 = -(x_i – \mu)^3[/math]

I termini cubici si annullano a coppie [math]\rightarrow[/math] somma = 0 [math]\rightarrow m_3 = 0 \rightarrow g_1 = 0[/math].

💡 Osservazioni:

• La dimostrazione vale per qualsiasi distribuzione simmetrica, non solo per 5 valori.
• L’annullamento avviene perché la funzione cubica è dispari: [math]f(-x) = -f(x)[/math].
• Attenzione: l’inverso non è sempre vero! [math]g_1 = 0[/math] non garantisce necessariamente la simmetria perfetta.

Domanda di riflessione: Perché [math]g_1 = 0[/math] non implica necessariamente simmetria perfetta?

Risposta: Perché [math]m_3 = 0[/math] può verificarsi anche con distribuzioni asimmetriche se gli scarti cubici positivi e negativi si bilanciano per puro caso. Ad esempio, il set [math][-3, -3, 0, 1, 5][/math] può avere un momento terzo nullo pur non essendo visivamente simmetrico.